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数学代写|微积分代写Calculus代写|Vertical tangents

There is yet one more feature on a graph that can indicate nondifferentiability.
Example 6 Let $f(x)=x^{1 / 3}$. Find $f^{\prime}(0)$.
Solution We use the derivative formula with $k=0$ :
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(0) &=\frac{f(0+\alpha)-f(0)}{\alpha}=\frac{\alpha^{1 / 3}-0^{1 / 3}}{\alpha} \
&=\frac{\alpha^{1 / 3}}{\alpha}=\frac{1}{\alpha^{2 / 3}}=A^{2 / 3} \
& \doteq \infty .
\end{aligned}
$$
We are not stuck at $A^{2 / 3}$ because of the even numerator in the exponent; $A^{2 / 3}=\left(A^2\right)^{1 / 3}$, and $A^2$ is positive. We can render $\infty$. Because we rendered $\infty$ rather than a real number, $f^{\prime}(0)$ does not exist.

Since $f^{\prime}(0)=\infty$, it seems the slope of the tangent line at $x=0$ is positive infinite. This is true, as verified by the graph; see figure 6 .
The procedure for determining the equation of the tangent line to the curve $y=x^{1 / 3}$ at $x=0$ is not the same as before. Because the equation of a vertical line is of the form $x=k$, we cannot use the pointslope equation of the line. Instead, we simply use the $x$-coordinate at which we are finding the derivative; the equation of the tangent line is $x=0$.

If the derivative renders an infinite value, the tangent line is vertical. Figure 7 shows four of the possibilities.The two graphs on the right contain a cusp, where there is a corner with a vertical tangent line. The cusp is a point on the graph; the function is defined there. Because of the manner in which calculators and computer software calculate and display graphs of functions, it is sometimes difficult to distinguish cusps from vertical asymptotes using only a graph, but calculus can help you determine the difference!

数学代写|微积分代写Calculus代写|Proofs of theorems

The local linearity formula is part of the local linearity theorem.
Theorem 2 LOCAL LINEARITY THEOREM Let $f$ be differentiable at $x=k$ and let $\alpha$ be an infinitesimal.

(1) If not both $f(k)=0$ and $f^{\prime}(k)=0$, then $f(k+\alpha) \approx f(k)+\alpha f^{\prime}(k)$.
(2) If $f(k)=0=f^{\prime}(k)$, then $f(k+\alpha)$ is zero or is on a lower level than $\alpha$.
Proof. (1) Case 1: $f^{\prime}(k) \neq 0$.
Since $f$ is differentiable at $k, \frac{f(k+\alpha)-f(k)}{\alpha} \doteq f^{\prime}(k)$. Since $f^{\prime}(k) \neq 0$ is real, $\frac{f(k+\alpha)-f(k)}{\alpha} \approx f^{\prime}(k)$, and in fact $\frac{f(k+\alpha)-f(k)}{\alpha}=f^{\prime}(k)+\beta$, where $\beta$ is zero or infinitesimal. Then, $f(k+\alpha)-f(k)=\alpha f^{\prime}(k)+\alpha \beta$, and $f(k+\alpha)=f(k)+\alpha f^{\prime}(k)+\alpha \beta$. Because $\alpha \beta$ is either zero or is on a lower level than $\alpha f^{\prime}(k)$, this term can be discarded and $f(k+\alpha) \approx$ $f(k)+\alpha f^{\prime}(k)$
(1) Case 2: $f(k) \neq 0, f^{\prime}(k)=0$.
Then, since $\frac{f(k+\alpha)-f(k)}{\alpha} \doteq f^{\prime}(k)=0, \frac{f(k+a)-f(k)}{\alpha}=\beta$, where $\beta$ is zero or infinitesimal. Then, $f(k+\alpha)=f(k)+\alpha \beta \approx f(k)=f(k)+\alpha f^{\prime}(k)$.
(2) Now suppose $f^{\prime}(k)=f(k)=0$. Then, $\frac{f(k+a)-f(k)}{\alpha}=\frac{f(k+\alpha)}{\alpha} \doteq 0$, so $\frac{f(k+\alpha)}{\alpha}$ is zero or infinitesimal. Thus, either $f(k+\alpha)=0$ or $f(k+\alpha)$ is on a lower level than $\alpha$.

It remains to furnish a complete proof of theorem 1. Let $f$ be a function that is differentiable at $x=k$. We wish to prove that $f$ is continuous at $x=k$.

Proof. (theorem 1) Case (1): $f(k) \neq 0$. By the local linearity theorem part $(1), f(k+\alpha) \approx f(k)+\alpha f^{\prime}(k) \approx f(k)$. By definition, $f$ is continuous at $x=k$.

Case (2): $f(k)=0, f^{\prime}(k) \neq 0$. By the local linearity theorem part (1), $f(k+\alpha) \approx f(k)+\alpha f^{\prime}(k)=\alpha f^{\prime}(k) \doteq 0=f(k)$. By definition, $f$ is continuous at $x=k$.

Case (3): $f(k)=0, f^{\prime}(k)=0$. By the local linearity theorem part (2), $f(k+\alpha) \doteq 0=f(k)$. By definition, $f$ is continuous at $x=k$.

Formal proofs that involve the local linearity formula $f(k+\alpha) \approx$ $f(k)+\alpha f^{\prime}(k)$ nearly always require the use of both parts of the local linearity theorem. In this text, results are usually derived using the local linearity formula only and the rest of the details are left unstated.

数学代写|微积分代写Calculus代写|MAST10006

微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|Vertical tangents

图上还有一个特征可以表示不可微性。
示例 6 让 $f(x)=x^{1 / 3}$. 寻找 $f^{\prime}(0)$.
解决方案我们使用导数公式 $k=0$ :
$$
f^{\prime}(0)=\frac{f(0+\alpha)-f(0)}{\alpha}=\frac{\alpha^{1 / 3}-0^{1 / 3}}{\alpha} \quad=\frac{\alpha^{1 / 3}}{\alpha}=\frac{1}{\alpha^{2 / 3}}=A^{2 / 3} \doteq \infty
$$
我们不困在 $A^{2 / 3}$ 因为指数中的分子是偶数; $A^{2 / 3}=\left(A^2\right)^{1 / 3}$ ,和 $A^2$ 是积极的。我们可以渲染 $\infty$. 因为 我们渲染 $\infty$ 而不是一个实数, $f^{\prime}(0)$ 不存在。
自从 $f^{\prime}(0)=\infty$ ,似乎切线的斜率在 $x=0$ 是正无穷大。正如图表所证实的那样,这是真的;见图 6。 确定曲线切线方程的程序 $y=x^{1 / 3}$ 在 $x=0$ 和以前不一样了。因为垂直线的方程是形式 $x=k$ ,我们不 能使用直线的点斜率方程。相反,我们只需使用 $x$-我们找到导数的坐标; 切线方程为 $x=0$.
如果导数呈现无限值,则切线是垂直的。图 7 显示了四种可能性。右侧的两个图形包含一个尖点,其中 有一个带有垂直切线的角。尖点是图上的一个点;该功能在那里定义。由于计算器和计算机软件计算和 显示函数图形的方式,有时仅使用图形很难区分尖点和垂直渐近线,但微积分可以帮助您确定差异!

数学代写|微积分代写Calculus代写|Proofs of theorems

局部线性公式是局部线性定理的一部分。
定理 2 局部线性定理 Let $f$ 可微分于 $x=k$ 然后让 $\alpha$ 是一个无穷小。
(1) 如果不是两者 $f(k)=0$ 和 $f^{\prime}(k)=0$ ,然后 $f(k+\alpha) \approx f(k)+\alpha f^{\prime}(k)$.
(2) 如果 $f(k)=0=f^{\prime}(k)$ ,然后 $f(k+\alpha)$ 为雴或低于 $\alpha$.
证明。 $(-)$ 案例一: $f^{\prime}(k) \neq 0$.
自从 $f$ 可微分于 $k, \frac{f(k+\alpha)-f(k)}{\alpha} \doteq f^{\prime}(k)$. 自从 $f^{\prime}(k) \neq 0$ 是真实的, $\frac{f(k+\alpha)-f(k)}{\alpha} \approx f^{\prime}(k)$, 事实上 $\frac{f(k+\alpha)-f(k)}{\alpha}=f^{\prime}(k)+\beta \mathrm{~ , 在 哪 里 ~} \beta$ 为霩或无穷小。然后, $f(k+\alpha)-f(k)=\alpha f^{\prime}(k)+\alpha \beta ,$ 和 $f(k+\alpha)=f(k)+\alpha f^{\prime}(k)+\alpha \beta$. 因为 $\alpha \beta$ 为零或低于 $\alpha f^{\prime}(k)$ ,这个术语可以被丟弃并且 $f(k+\alpha) \approx$ $f(k)+\alpha f^{\prime}(k)$
$(-)$ 案例二: $f(k) \neq 0, f^{\prime}(k)=0$.
那么,由于 $\frac{f(k+\alpha)-f(k)}{\alpha} \doteq f^{\prime}(k)=0, \frac{f(k+\alpha)-f(k)}{\alpha}=\beta \mathrm{~ , 在 哪 里 ~} \beta$ 为蘦或无穷小。然后, $f(k+\alpha)=f(k)+\alpha \beta \approx f(k)=f(k)+\alpha f^{\prime}(k)$.
(2) 现在假设 $f^{\prime}(k)=f(k)=0$. 然后, $\frac{f(k+a)-f(k)}{\alpha}=\frac{f(k+\alpha)}{\alpha} \doteq 0$ ,所以 $\frac{f(k+\alpha)}{\alpha}$ 为零或无穷小。因此, 无论是 $f(k+\alpha)=0$ 或者 $f(k+\alpha)$ 低于 $\alpha$.
仍然需要提供定理 1 的完整证明。让 $f$ 是一个可微分的函数 $x=k$. 我们布望证明 $f$ 是连续的 $x=k$.
证明。(定理1) 案例 (1) : $f(k) \neq 0$. 由局部线性定理部分 $(1), f(k+\alpha) \approx f(k)+\alpha f^{\prime}(k) \approx f(k)$.
根据定义, $f$ 是连续的 $x=k$.
案例 (2) : $f(k)=0, f^{\prime}(k) \neq 0$. 由局部线性定理部分 (1),
$f(k+\alpha) \approx f(k)+\alpha f^{\prime}(k)=\alpha f^{\prime}(k) \doteq 0=f(k)$. 根据定义, $f$ 是连续的 $x=k$.
案例 (3): $f(k)=0, f^{\prime}(k)=0$. 由局部线性定理部分 (2), $f(k+\alpha) \doteq 0=f(k)$. 根据定义, $f$ 是 连续的 $x=k$.
涉及局部线性公式的正式证明 $f(k+\alpha) \approx f(k)+\alpha f^{\prime}(k)$ 几乎总是需要使用局部线性定理的两个部分。 在本文中,结果通常仅使用局部线性公式得出,其余细节末说明。

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