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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Störungen der Zielfunktion

Im Folgenden untersuchen wir, wie ein primal-dual nichtdegenerierter primal optimaler Punkt $x^$ mit Optimalwert $z^$ auf kleine Störungen von $c$ reagiert. Für Beispiel $1.2$ ist dies in Abbildung $2.1$ illustriert. Störungen von $c$ bei Problemen im $\mathbb{R}^2$ führen zu Verschiebung und Drehung der Höhenlinien der Zielfunktion $f(x)=c^{\top} x$. Aus der Geometrie des Problems in Abbildung $2.1$ ist zunächst anschaulich klar, dass der eindeutige optimale Punkt $x^=(300,150)^{\top}$ unter kleinen Störungen von $c$ seine Position nicht verändert. Bezeichnet man die Menge der optimalen Punkte des Problems zu gestörtem $c$ mit $M_P^(c)$, so gilt also
$$
M_P^(c)=\left{x^\right}
$$
für hinreichend kleine Störungen von $c$.
Für höhere Dimensionen lässt sich dasselbe Resultat mit Hilfe von Stetigkeitsargumenten erzielen, die sich wie folgt grob skizzieren lassen: Ist $\left(x^, y^\right)$ eine primal-dual nichtdegenerierte Basislösung, so hängen sowohl $x^(c)$ als auch $y^(c)$ stetig von $c$ ab. Da alle Basisvariablen von $x^$ positiv sind, bleiben sie es aufgrund der Stetigkeit auch im Punkt $x^(c)$, wenn die Störung in $c$ hinreichend klein ist. Somit besitzen $x^$ und $x^(c)$ auch dieselben Nichtbasisvariablen, so dass in beiden Fällen derselbe Punkt definiert wird. Für eine ausführlichere Beweisführung (für den allgemeineren nichtlinearen Fall) verweisen wir auf [51].

Während der optimale Punkt $x^(c)$ unter kleinen Störungen von $c$ unverändert bleibt, ändert sich allerdings der optimale Wert, denn es gilt $$ z^(c)=c^{\top} x^(c)=c^{\top} x^ .
$$
Beispiel 2.2 (Beispiel $1.2$ – Fortsetzung 13).
Der optimale Punkt $x^=(300,150,0,0,50)^{\top}$ besitzt den optimalen Wert $z^=1500$. Während der optimale Punkt sich unter kleinen Störungen von $c$ nicht verändert, lautet der optimale Wert dann
$$
z^(c)=c^{\top} x^=300 c_1+150 c_2+50 c_5 .
$$
Damit hat beispielsweise eine Störung im Zielfunktionskoeffizienten $c_1$ eine doppelt so große Auswirkung auf den optimalen Wert wie eine Störung in $c_2$.

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Schattenpreise

Wie in diesem Beispiel lässt sich der Wert $y_i^*$ stets als, ,Wichtigkeit” der Restrik tion $i$ für den optimalen Wert interpretieren. Aus diesem Grund nennt man die Werte der dual optimalen Lösung auch Schattenpreise der Restriktionen oder Opportunitätskosten.

Schattenpreise lassen sich also zur Unterstützung der Entscheidung heranziehen, in welche Restriktion (geringe) Invest itionsmittel flieken sollten, um eine möglichst. hohe Auswirkung auf den optimalen Wert (z.B. den Gewinn) zu erzielen. Hierbei ist allerdings darauf zu achten, dass die einzelnen Restriktionen häufig in unterschiedlichen Einheiten gemessen werden, die nicht direkt vergleichbar sind. In Beispiel $1.2$ kann etwa die Investition in eine Einheit der Maschinenstunden erheblich teurer sein als in eine Einheit der Rohstoffmenge:
Beispiel 2.4 (Beispiel 1.2 – Fortsetzung 15).
Der Preis für eine Maschinenstunde sei $50 €$, der Preis für eine Rohstoffeinheit betrage $10 €$. Mit Investitionsmitteln in Höhe von $100 €$ lassen sich demnach entweder die Maschinenkapazität um 2 Stunden ausbauen oder die verfügbare Rohstoffmenge um 10 Einheiten. Die Auswirkungen auf den Gewinn sind
$$
z^(b)-z^=\frac{1}{2}(1200+2)+\frac{3}{10} 3000-1500=\frac{1}{2} \cdot 2=1
$$
bei Investition in die Maschinenstunden und
$$
z^(b)-z^=\frac{1}{2} 1200+\frac{3}{10}(3000+10)-1500=\frac{3}{10} \cdot 10=3
$$
bei Investition in die Rohstoffmenge. Obwohl die Schattenpreise $1 / 2>3 / 10$ erfüllen, ist also eine Investition in die Rohstoffmenge sinnvoll.

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|MAT2200

运筹学代考

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Störungen der Zielfunktion

下面我们研究原始对偶非退化原始最优点 ${ }^{x^{\wedge}}$ 具有最优值与^对小的干扰 $c$ 反应过来。例如 $1.2$ 这是图中 的吗 $2.1$ 揷图。干扰 $c$ 如果出现问题 $\mathbb{R}^2$ 导致目标函数轮廓线的位移和旋转 $f(x)=c^{\top} x$. 从图中问题的几何 2.1首先直观地清楚唯一的最优点 $x^{=}(300,150)^{\top}$ 在小扰动下 $c$ 没有改变立场。表示要扰动的问题的最佳 点集 $c$ 和 $\left.M_P^{(} c\right)$ ,所以它是有效的
$M_{-} P^{\wedge}(c)=\backslash$ left $\left{x^{\wedge} \backslash\right.$ Yight $}$
对于足够小的扰动 $c$.
对于更高的维度,使用连续性参数可以得到相同的结果,大致可以概括如下: 左 $\left(x^{\wedge} , y^{\wedge} \backslash\right.$ 右 $)$ 个个原 始对偶非退化基本解,则两者都依赖 $\left.x^{(} c\right)$ 也 $\left.y^{(} c\right)$ 从稳定 $c$ 离开。由于所有基变量 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 是积极的,因为点的 连续性,它们仍然如此 $x(c)$ ,如果故障在 $c$ 足够小。从而拥有 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 和 $x(c)$ 也具有相同的非基本变量,因此在 两种情况下都定义了相同的点。对于更详细的证明(对于更一般的非线性情况),我们参考[51]。
而最佳点 $\left.x^{(} c\right)$ 在小扰动下 $c$ 保持不变,但是,最优值会发生变化,因为它是有效的
$$
\left.\left.z^{(} c\right)=c^{\top} x^{(} c\right)=c^{\top} x
$$
示例 $2.2$ (示例1.2- 续 13)。
甜蜜点 $x^{\prime}=(300,150,0,0,50)^{\top}$ 有最优值 $z^{=} 1500$. 虽然最优点受到较小的扰动 $c$ 没有改变,那么最优值就 是
$$
\left.z^{(} c\right)=c^{\top} x^{=} 300 c_1+150 c_2+50 c_5
$$
因此,例如,目标函数系数的扰动 $c_1$ 对最优值的影响是干扰的两倍 $c_2$.

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在本例中,值 $y_i^*$ 总是作为限制的“重要性” $i$ 解释最优值。因此,对偶最优解的值也称为限制的影子价格或 机会成本。
因此,影子价格可用于支持决定应流入哪些限制性 (小) 投资资金以实现尽可能多的投资以实现对最佳 价值 (例如利润) 的高度影响。但是,应该注意的是,各个限制通常以无法直接比较的不同单位来衡 量。在示例中 $1.2$ 例如,投资单位机器小时可能比单位原材料成本高得多: 示例 $2.4$ (示例 $1.2-$ 续 15) 。
机器一小时的价格是 $50 € , 一$ 单位原材料的价格 $10 €$. 拥有投资资金 $100 €$ 机器产能可以增加2小时或原材 料可用数量增加10个单位。对利润的影响是
$\$ \$$
$z^{\wedge}(b)-z^{\wedge}=\backslash$ frac ${1}{2}(1200+2)+\backslash$ frac ${3}{10} 3000-1500=\backslash$ frac ${1}{2} \backslash$ 乘以 $2=1$
beiInvestitionindieMaschinenstundenund
$z^{\wedge}(b)-z^{\wedge}=\backslash$ frac ${1}{2} 1200+\backslash \operatorname{frac}{3}{10}(3000+10)-1500=\backslash$ frac ${3}{10} \backslash c d o t ~ 10=3$
$\$ \$$
在投资原材料数量时。虽然影子价格 $1 / 2>3 / 10$ 满足,在原材料的数量上进行投资是有道理的。

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