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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Parametrische lineare Optimierung

Die parametrische lineare Optimierung umfasst die in Abschnitt $2.1$ diskutierte Sensitivitätsanalyse, macht zudem aber auch Aussagen über große Änderungen der Eingangsdaten $A, b$ und $c$. Die Unterscheidung zwischen großen und kleinen Änderungen ist dadurch bedingt, dass hinreichend kleine Änderungen für eine primaldual nichtdegenerierte zulässige Basislösung keinen Basiswechsel verursachen. Aus geometrischer Sicht bedeutet dies für Beispiel 1.2, dass unter kleinen Störungen von $c$ der optimale Punkt $x^*$ unverändert bleibt, und dass er sich unter kleinen Störungen von $b$ zwar verschiebt, aber als Schnittpunkt derselben Restriktionsgeraden definiert bleibt (vgl. Abb. 2.2).

Grobe Änderungen in den Eingangsdaten können dazu führen, dass sich auch die Basis des optimalen Punktes ändert. Wir untersuchen im Folgenden wieder nur den Einfluss von Änderungen in $b$ und $c$, im Gegensatz zu Abschnitt $2.1$ aber sowohl auf optimale Werte als auch auf optimale Punkte.

Anstatt beliebige Änderungen in allen Einträgen von $b$ zuzulassen, konzentrieren wir uns auf große Änderungen in einem Eintrag von $b$ oder (etwas allgemeiner) auf eindimensionale Änderungen der Form
$$
b(t)=b+t \beta
$$
mit einem konstanten Vektor $\beta \in \mathbb{R}^m$ und dem eindimensionalen Parameter $t \in \mathbb{R}$. Wählt man für $\beta$ speziell einen Einheitsvektor $e_i$, so erhält man
$$
b(t)=\left(b_1, \ldots, b_{i-1}, b_i+t, b_{i+1}, \ldots, b_m\right)^{\top},
$$
also gerade eine Änderung des Eintrags $b_i$ um $t$. Wir unterstreichen, dass $\beta$ allerdings nicht notwendigerweise als Einheitsvektor gewählt werden muss.
Beispiel $2.5$ (Beispiel $1.2$ – Fortsetzung 16).
Die Wahl $\beta=1000 e_2$ führt auf
$$
b(t)=b+t \beta=\left(\begin{array}{l}
1200 \
3000+1000 t \
125
\end{array}\right),
$$
also auf die Änderung der verfügbaren Rohstoffmenge um 1000t. Geometrisch führt die Variation von $t$ zu einer Parallelverschiebung der zur Rohstoffrestriktion gehörenden Restriktionsgeraden, während sowohl die anderen Restriktionen als auch die Zielfunktion unverändert bleiben. Insbesondere verändert sich die Gestalt der zulässigen Menge $\mathbb{M}(t)$ in Abhängigkeit von $t$, wobei $\mathbb{M}(0)=\mathbb{M}$ gilt. Abbildung $2.3$ illustriert, dass hinreichend große Änderungen $t$ von $b_2$ zu Basiswechseln beim optimalen Punkt bzw. zu einer leeren zulässigen Menge $\mathbb{M}(t)$ führen.

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Multikriterielle lineare Optimierung

Bisher haben wir nur lineare Optimierungsprobleme mit einer Zielfunktion betrachtet. In vielen Situationen möchte man jedoch mehrere zum Teil gegenläufige Ziele berücksichtigen: Beispiele sind die Produktionsplanung, bei der Qualität maximiert und gleichzeitig Kosten minimiert werden sollen oder die Portfoliooptimierung mit den Zielen der Ertragsmaximierung und Risikominimierung. Die multikriterielle Optimierung beschäftigt sich mit Optimierungsproblemen, bei denen mehrfache Zielsetzungen vorliegen und liefert Ansätze zur Verdeutlichung und Quantifizierung von Zielkonflikten.

Unter einem multikriteriellen linearen Optimierungsproblem verstehen wir ein Problem der Form
$M K P: \quad \max F(x) \quad$ s.t. $\quad A x \leq b, \quad x \geq 0$
mit der $(m, n)$-Koeffizientenmatrix $A$, dem Vektor der rechten Seite $b \in \mathbb{R}^m$ und dem Zielfunktionsvektor
$$
F(x)=\left(\begin{array}{c}
F_1(x) \
\vdots \
F_p(x)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\left(c^1\right)^{\top} x \
\vdots \
\left(c^p\right)^{\top} x
\end{array}\right)
$$
mit $c^i \in \mathbb{R}^n$ für $i=1, \ldots, p$. Die zulässige Menge bezeichnen wir wieder mit $\mathbb{M}$. Da die Zielfunktion vektorwertig ist, fällt $M K P$ in die Klasse der Vektoroptimierungsprobleme. Das , $\max ^{\text {” }}$ in $M K P$ bezieht sich allerdings nur darauf, dass gleichzeitig jede der $p$ Zielfunktionen $F_i(x)$ maximiert werden soll, denn es ist zunächst unklar, was man unter der Maximierung einer vektorwertigen Funktion wie $F(x)$ verstehen soll.

Das zugrundeliegende Problem der multikriteriellen Optimierung besteht nämlich im Fehlen einer Totalordnung auf dem Zielraum $\mathbb{R}^p$ mit $p \geq 2$, d.h., man kann zwei Vektoren $F(x), F(y) \in \mathbb{R}^p$ nicht immer in die zwei Fälle $F(x) \geq F(y)$ oder $F(y) \geq F(x)$ eingruppieren (wobei das $\geq$-Zeichen komponentenweise zu verstehen ist). Abbildung $2.5$ illustriert dies für den bikriteriellen Fall $p=2$ an den Bildvektoren $F\left(x^i\right)$ von sechs Punkten $x^i \in \mathbb{M}$. Dort gilt beispielsweise $F\left(x^3\right) \geq F\left(x^2\right)$ und $F\left(x^4\right) \geq F\left(x^2\right.$ ), aber wegen der fehlenden Totalordnung auf dem $\mathbb{R}^2$ erhalten wir weder $F\left(x^3\right) \geq F\left(x^4\right)$ noch $F\left(x^4\right) \geq F\left(x^3\right)$. Insbesondere ist in diesem Beispiel keiner der sechs Punkte $x^i$ maximal in dem Sinne, dass $F\left(x^i\right) \geq F\left(x^j\right)$ für alle $j=1, \ldots, 6$ erfüllt ist. Während der Bildraum in diesem Beispiel zweidimensional ist, spielt die Dimension des Entscheidungsraums $\mathbb{R}^n$ keine Rolle.

运筹学代考

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Parametrische lineare Optimierung

参数线性优化包括那些在第 $2.1$ 讨论了敏感性分析，但也对输入数据的巨大变化做出了陈述 $A, b$ 和 $c$. 大变 化和小变化之间的区别是由于对于原始非退化可行基本解而言足够小的变化不会引起基的变化。从几何 的角度来看，这意味着对于示例 1.2，在 $c$ 最佳点 $x^*$ 保持不变，并且他受到 $b$ 移动，但仍定义为同一限制 线的交点 (参见图 2.2)。
输入数据的总体变化也会导致甜蜜点的基数发生变化。下面我们只考察变化的影响 $b$ 和 $c$, 而不是节 $2.1$ 但 无论是最优值还是最优点。
而不是在所有条目中任意更改 $b$ 允许，让我们关注条目中的重大变化 $b$ 或 (更一般地说) 到形状的一维变 化
$$
b(t)=b+t \beta
$$
有一个常数向量 $\beta \in \mathbb{R}^m$ 和一维参数 $t \in \mathbb{R}$. 一票赞成 $\beta$ 特别是单位向量 $e_i$ ，所以你得到
$$
b(t)=\left(b_1, \ldots, b_{i-1}, b_i+t, b_{i+1}, \ldots, b_m\right)^{\top},
$$
所以只是一个入口的改变 $b_i$ 一个 $t$. 我们强调 $\beta$ 但是，不一定必须选择作为单位向量。
例子 $2.5$ (例子 $1.2-$ 续 16)。
可选的 $\beta=1000 e_2$ 施行
$$
b(t)=b+t \beta=(12003000+1000 t 125),
$$
即可用原材料数量的变化 $1000 \mathrm{t}$ 。在几何上，变化 $t$ 为属于原料限制的限制线平行移动，而其他限制和目 标函数均保持不变。特别是允许量的形状发生变化 $\mathbb{M}(t)$ 依赖于 $t$ ，由此 $\mathbb{M}(0)=\mathbb{M}$ 适用。揷图 $2.3$ 说明足 够大的变化 $t$ 从 $b_2$ 在最佳点或空的可行集基础上进行更改 $\mathbb{M}(t)$ 领导。

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Multikriterielle lineare Optimierung

到目前为止，我们只考虑了具有目标函数的线性优化问题。然而，在许多情况下，人们会考虑几个部分
矛盾的目标: 例如生产计划，其中要最大化质量，同时要最小化成本，或者以最大化产量和最小化目标 为目标的投资组合优化风险。多目标优化处理具有多个目标的优化问题，并提供用于澄清和量化冲突目 标的方法。
多目标线性优化问题是指形式问题
$M K P: \quad \max F(x)$ 英石 $A x \leq b, \quad x \geq 0$
与 $(m, n)$-系数矩阵 $A$ ，右侧向量 $b \in \mathbb{R}^m$ 和目标函数向量
$$
F(x)=\left(F_1(x) \vdots F_p(x)\right)=\left(\left(c^1\right)^{\top} x \vdots\left(c^p\right)^{\top} x\right)
$$
和 $c^i \in \mathbb{R}^n$ 为了 $i=1, \ldots, p$. 我们再次用 $M$. 由于目标函数是向量值的， $M K P$ 到向量优化问题的类别。 那， $\max ^{\prime \prime}$ 在 $M K P$ 然而，仅指同时每个 $p$ 目标函数 $F_i(x)$ 应该最大化，因为最初不清楚最大化向量值函 数是什么意思 $F(x)$ 应该明白。
多准则优化的潜在问题在于目标空间上缺乏全序 $\mathbb{R}^p$ 和 $p \geq 2$ ，即一个可以有两个向量 $F(x), F(y) \in \mathbb{R}^p$ 并非总是在这两种情况下 $F(x) \geq F(y)$ 或者 $F(y) \geq F(x)$ 分组 (由此 $\geq$-sign 将被理解为组件) 。揷图 $2.5$ 说明了双标准情况 $p=2$ 在图像向量上 $F\left(x^i\right)$ 六分 $x^i \in \mathbb{M}$. 例如，那里适用 $F\left(x^3\right) \geq F\left(x^2\right)$ 和 $F\left(x^4\right) \geq F\left(x^2\right)$ ，但由于缺乏总订单 $\mathbb{R}^2$ 我们都没有 $F\left(x^3\right) \geq F\left(x^4\right)$ 仍然 $F\left(x^4\right) \geq F\left(x^3\right)$. 特别 是，在这个例子中，六个点都没有 $x^i$ 在这个意义上最大 $F\left(x^i\right) \geq F\left(x^j\right)$ 对所有人 $j=1, \ldots$, 很满 意。虽然在这个例子中图像空间是二维的，但决策空间的维度起着重要作用 $\mathbb{R}^n$ 没关系。

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