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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|k-Hypergeometric Series Solutions

It is well known that many phenomena in physical and technical applications are governed by a variety of differential equations. We should notice that these differential equations have appeared in many different research fields, for instance in the theory of automorphic function, in conformal mapping theory, in the theory of representations of Lie algebras, and in the theory of difference equations. Analytical and numerical methods to solve ordinary differential equations are ancient and interesting research direction in differentiable dynamical systems and their applications. Let us consider a so-called non-homogeneous $k$-hypergeometric differential equation of the form:
$$
k z(1-k z) \frac{d^2 y}{d z^2}+[c-(k+a+b) k z] \frac{d y}{d z}-a b y=f(z)
$$
with the independent variable $z$, where $a, b, c, k$ are several constants with $a, b, c \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{R}^{+}$, and the function $f(z)$ is holomorphic in an interval $\mathcal{D} \subseteq \mathbb{C}$. In the case of $k=1$, if the function $f(z)$ vanishes identically, then Equation (1) degrades into a linear homogeneous hypergeometric ordinary differential equation presented by Euler [1] in 1769, which has the following normalized form:
$$
z(1-z) \frac{d^2 y}{d z^2}+[c-(1+a+b) z] \frac{d y}{d z}-a b y=0 ;
$$
such an equation has been extensively studied.
The solutions of a differential equation relate to many absorbing special functions in mathematics, physics, and engineering. For instance, the solution could be presented by power series [2,3], continued fraction [4-6], zeta function [7-10], and hypergeometric series [11-16]. Among these special functions, the hypergeometric series, denoted by:
$$
{ }2 F_1[a, b ; c ; z]=\sum{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n n !} z^n,
$$ can be applied to the solution of the differential Equation (2). For Equation (2), a hypergeometric series solution ${ }_2 F_1$ can be derived by the Frobenius method. The so-called hypergeometric series was researched firstly by Wallis [11] in 1655. Since then, Euler, too, had researched the topic on the hypergeometric series, but the first full systematic study was introduced by Gauss [12]. Some works and complete references concerning both the hypergeometric series and the certain equation (2) can be found in Kummer [13], Riemann [14], Bailey [15,16], Chaundy [17], Srivastava [18], Whittaker [19], Beukers [20], Gasper [21], Olde Daalhuis [22,23], Dwork [24], Chu [25], Yilmazer et al. [26], Morita et al. [27], Abramov et al. [28], Alfedeel et al. [29], and the literature therein. However, in contrast to the extensive studies on Equation (2), other hypergeometric differential equations with $k \in \mathbb{R}^{+}$are very limited.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Preliminaries

In this section, we briefly review some basic definitions and facts concerning the $k$-hypergeometric series and the ordinary differential equation. Some surveys and literature for $k$-hypergeometric series and the $k$-hypergeometric differential equation can be found in Díaz et al. [30,31], Krasniqi [32,33], and Mubeen et al. [38,39].

Definition 1. Assume that $x \in \mathbb{C}, k \in \mathbb{R}^{+}$and $n \in \mathbb{N}^{+}$, then the Pochhammer $k$-symbol $(x){n, k}$ is defined by: $$ (x){n, k}=x(x+k)(x+2 k) \ldots[x+(n-1) k] .
$$
In particular, we denote $(x){0, k} \equiv 1$. Therefore, we have the following facts: (i) $(x){n+1, k}=(x+n k)(x){n, k}$. (ii) $(1){n, 1}=n ! ; \quad\left(\frac{1}{2}\right){n, 1}=\frac{(2 n-1) ! !}{2^n} ; \quad\left(\frac{3}{2}\right){n, 1}=\frac{(2 n+1) ! !}{2^n}$.
(iii) $(x){n, 1}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$, where $\Gamma(x)$ is the Gamma function defined by $\int_0^{\infty} e^{-t} t^{x-1} d t$. (iv) $(1){n, 2}=(2 n-1) ! ! ;(2){n, 2}=(2 n) ! ! ;(3){n, 2}=(2 n+1) ! ! ;(4){n, 2}=\frac{(2 n+2) ! !}{2}$. Definition 2. Assume that $a, b, c \in \mathbb{C}, k \in \mathbb{R}^{+}$and $n \in \mathbb{N}^{+}$, then the $k$-hypergeometric series with three parameters $a, b$, and $c$ is defined as: $$ { }_2 F{1, k}[(a, k),(b, k) ;(c, k) ; z]=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a){n, k}(b){n, k}}{(c)_{n, k} k !} z^n,
$$
where $c \neq 0,-1,-2,-3, \ldots$ and $z \in \mathbb{C}$.
Definition 3. Assume that $Y_0(z), Y_1(z)$, and $Y_2(z)$ are three functions of $z$. Let a second-order ordinary differential equation be written in the following form:
$$
Y_2(z) \frac{d^2 y}{d z^2}\left|Y_1(z) \frac{d y}{d z}\right| Y_0(z)-0 .
$$
Then, the method about finding an infinite series solution of Equation (7) is called the Frobenius method.

数值方法代考

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众所周知，物理和技术应用中的许多现象都受各种微分方程的支配。我们应该注意到，这些微分方程已 经出现在许多不同的研究领域，例如自守函数理论、共形映射理论、李代数表示理论和差分方程理论。 求解常微分方程的解析和数值方法是可微动力系统及其应用中古老而有趣的研究方向。让我们考虑一个 所谓的非同质 $k$-形式的超几何微分方程:
$$
k z(1-k z) \frac{d^2 y}{d z^2}+[c-(k+a+b) k z] \frac{d y}{d z}-a b y=f(z)
$$
与自变量 $z$ ，在哪里 $a, b, c, k$ 是几个常数 $a, b, c \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{R}^{+}$，和函数 $f(z)$ 在区间内是全纯的 $\mathcal{D} \subseteq \mathbb{C}$. 如 果是 $k=1$ ，如果函数 $f(z)$ 相同地消失，则等式 (1) 退化为欧拉[1]在1769年提出的线性齐次超几何常微 分方程，其具有以下归一化形式:
$$
z(1-z) \frac{d^2 y}{d z^2}+[c-(1+a+b) z] \frac{d y}{d z}-a b y=0
$$
这样的方程已被广泛研究。
微分方程的解与数学、物理学和工程学中的许多吸收特殊函数有关。例如，解决方案可以通过幂级数 [2,3]、连分数 [4-6]、zeta 函数 [7-10] 和超几何级数 [11-16] 来表示。在这些特殊函数中，超几何级数表 示为:
$$
2 F_1[a, b ; c ; z]=\sum n=0^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n n !} z^n,
$$
可以应用于微分方程 (2) 的解。对于方程 (2)，超几何级数解 ${ }_2 F_1$ 可以通过 Frobenius 方法导出。所 谓超几何级数是1655年由Wallis[11]首先研究的。此后，欧拉也开始研究超几何级数的课题，但第一个完 整系统的研究是由Gauss [12]提出的。在 Kummer [13]、Riemann [14]、Bailey [15,16]、Chaundy [17]、 Srivastava [18]、 Whittaker [ 19]、 Beukers [20]、Gasper [21]、 Olde Daalhuis [22,23]、 Dwork [24]、 Chu [25]、 Yilmazer 等人。[26]，森田等人。[27]，阿布拉莫夫等人。[28]，Alfedeel 等人。[29]，以及其中的 文献。然而，与对方程 (2) 的广泛研究相反，其他超几何微分方程与 $k \in \mathbb{R}^{+}$非常有限。

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在本节中，我们将简要回顾有关 $k$-超几何级数和常微分方程。一些调查和文献 $k$ – 超几何级数和 $k$-超几何 微分方程可以在 Díaz 等人中找到。[30,31]、Krasniqi [32,33] 和 Mubeen 等人。[38,39]。
定义 1. 假设 $x \in \mathbb{C}, k \in \mathbb{R}^{+}$和 $n \in \mathbb{N}^{+}$，然后是 Pochhammerk-象征 $(x) n, k$ 定义为:
$$
(x) n, k=x(x+k)(x+2 k) \ldots[x+(n-1) k] .
$$
特别是，我们表示 $(x) 0, k \equiv 1$. 因此，我们有以下事实: (i) $(x) n+1, k=(x+n k)(x) n, k$. (二) (1) $n, 1=n ! ; \quad\left(\frac{1}{2}\right) n, 1=\frac{(2 n-1) ! !}{2^n} ; \quad\left(\frac{3}{2}\right) n, 1=\frac{(2 n+1) ! !}{2^n}$.
$\Leftrightarrow(x) n, 1=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)} ，$ 在哪里 $\Gamma(x)$ 是由下式定义的 Gamma 函数 $\int_0^{\infty} e^{-t} t^{x-1} d t$. (四)
(1) $n, 2=(2 n-1) ! ! ;(2) n, 2=(2 n) ! ! ;(3) n, 2=(2 n+1) ! ! ;(4) n, 2=\frac{(2 n+2) ! !}{2}$. 定义 2 . 假设 $a, b, c \in \mathbb{C}, k \in \mathbb{R}^{+}$和 $n \in \mathbb{N}^{+}$，那么 $k$ – 具有三个参数的超几何级数 $a, b$ ，和 $c$ 定义为:
$$
{ }2 F 1, k[(a, k),(b, k) ;(c, k) ; z]=\sum{n=0}^{\infty} \frac{(a) n, k(b) n, k}{(c)_{n, k} k !} z^n,
$$
在哪里 $c \neq 0,-1,-2,-3, \ldots$ 和 $z \in \mathbb{C}$.
定义 3. 假设 $Y_0(z), Y_1(z)$ ，和 $Y_2(z)$ 是三个函数 $z$. 让一个二阶常微分方程写成以下形式:
$$
Y_2(z) \frac{d^2 y}{d z^2}\left|Y_1(z) \frac{d y}{d z}\right| Y_0(z)-0 .
$$
于是，求方程(7)的无穷级数解的方法称为Frobenius方法。

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