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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Governing Formula and Modeling

A steady nanofluid flow past a horizontal thin needle is examined. The geometry of the problem is illustrated in Figure 1 with $u$ and $v$ denoting $x$ and $r$ components of velocity, respectively, and $r=$ $R(x)=(v c x / U)^{1 / 2}$ represents the needle radius. The needle is considered to move with uniform velocity $U_w$ in the same or reverse direction of the external flow of constant velocity $U_{\infty}$ with the composite velocity $U=U_w+U_{\infty}$. It is assumed that $T_w$ and $C_w$ are the constant wall temperature and nanoparticle concentration and as $r \rightarrow \infty$, the ambient temperature and nanoparticle fraction are $T_{\infty}$ and $C_{\infty}$ such that $T_w>T_{\infty}$ and $C_w>C_{\infty}$. In view of small needle size, the pressure gradient is ignored, however, the transverse curvature effect is required.

By using Buongiorno’s nanofluid model, the relevant governing boundary layer systems for the flow are $[6,42]$
$$
\begin{gathered}
\frac{\partial}{\partial x}(r u)+\frac{\partial}{\partial r}(r v)=0, \
u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{v}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r}\right), \
u \frac{\partial T}{\partial x}+v \frac{\partial T}{\partial r}=\frac{\alpha}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+\kappa\left[D_B \frac{\partial T}{\partial r} \frac{\partial C}{\partial r}+\frac{D_T}{T_{\infty}}\left(\frac{\partial T}{\partial r}\right)^2\right]+\frac{Q^}{\rho C_p}\left(T-T_{\infty}\right), \ u \frac{\partial C}{\partial x}+v \frac{\partial C}{\partial r}=\frac{D_B}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial C}{\partial r}\right)+\frac{D_T}{T_{\infty}} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial T}{\partial r}\right)-K^\left(C-C_{\infty}\right) .
\end{gathered}
$$
The physical boundary restrictions are
$$
u=U_w, v=0, T=T_w, \quad C=C_w \text { at } r=R(x),
$$
$$
u \rightarrow U_{\infty}, T \rightarrow T_{\infty}, C \rightarrow C_{\infty} \text { as } r \rightarrow \infty,
$$
in which $v$ is kinematic viscosity, $T$ is the temperature of nanofluid, $C$ is the concentration of nangrarlicles, $a$ is the heremal diffusivilys $p$ is the densily, $C_p$ is he heal capacily at uniform pressure, $\kappa=\left(\rho C_p\right)_s /\left(\rho C_p\right)_f$ is the proportion of effectual heat capacity of nanofluid in which subscripts ‘ $s$ ‘ and ‘ $\mathrm{f}^{\prime}$ ‘ refer to solid nanoparticle and base fluid, $Q^=Q_0 / x$ is the dimensionless heat generation, $K^=K_0 / x$ is the dimensionless reaction rate, $Q_0$ is the heat generation coefficient and $K_0$ is the chemical reaction coefficient. It is worth mentioning that the dimensionless parameters $Q^$ and $K^$ are the function of $x$ and its value varies locally throughout the flow motion. Besides, $D_B$ and $D_T$ are Brownian and thermophoresis diffusion coefficients, respectively.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|The similarity transformation technique

The similarity transformation technique has been used for obtaining the ordinary differential equations. Hence, the following non-dimensional parameters are introduced
$$
\psi=v x f(\eta), \quad \eta=\frac{U r^2}{v x}, \quad \theta(\eta)=\frac{T-T_{\infty}}{T_w-T_{\infty}}, \quad \phi(\eta)=\frac{C-C_{\infty}}{C_w-C_{\infty}},
$$
where the stream functions are given as
$$
u=r^{-1} \frac{\partial \psi}{\partial r}, \quad v=-r^{-1} \frac{\partial \psi}{\partial x} .
$$
The stream functions (7) satisfies the continuity Equation (1). Using Equations (6) and (7), we obtain the following equations
$$
\begin{gathered}
2 \eta f^{\prime \prime \prime}+2 f^{\prime \prime}+f f^{\prime \prime}=0 \
\frac{2}{P r}\left(\eta \theta^{\prime}\right)^{\prime}+f \theta^{\prime}+2 \eta\left(N t \theta^{\prime 2}+N b \theta^{\prime} \phi^{\prime}\right)+\frac{1}{2} Q \theta=0, \
2\left(\eta \phi^{\prime}\right)^{\prime}+2 \frac{N t}{N b}\left(\eta \theta^{\prime}\right)^{\prime}+\text { Lef } \phi^{\prime}-\frac{1}{2} L e K \phi=0 .
\end{gathered}
$$
Also, the boundary condition could be rewritten as
$$
\begin{gathered}
f(c)=\frac{\varepsilon}{2} c, f^{\prime}(c)=\frac{\varepsilon}{2}, \theta(c)=1, \phi(c)=1, \
f^{\prime}(\eta) \rightarrow \frac{1}{2}(1-\varepsilon), \theta(\eta) \rightarrow 0, \phi(\eta) \rightarrow 0 \text { as } \eta \rightarrow \infty,
\end{gathered}
$$
where prime denotes the differentiation with regard to similarity variable $\eta$. Besides, assume $\eta=c$ to represent size or thickness of the needle.

Here, Pr, $N t, N b, Q, L e$ and $\varepsilon$ represent the Prandtl number, thermophoresis parameter, Brownian motion parameter, heat generation parameter, Lewis number and velocity ratio parameter. $K$ is the chemical reaction parameter with $K>0$ represents a destructive reaction, and $K<0$ represents generative reaction.

数值方法代考

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Governing Formula and Modeling

检查通过水平细针的稳定纳米流体流。问题的几何图形如图 1 所示 $u$ 和 $v$ 表示 $x$ 和 $r$ 速度分量，分别和 $r=$ $R(x)=(v c x / U)^{1 / 2}$ 表示针半径。针被认为以匀速运动 $U_w$ 与等速外流同向或反向 $U_{\infty}$ 与复合速度 $U=U_w+U_{\infty}$. 假设 $T_w$ 和 $C_w$ 是恒定的壁温和纳米粒子浓度，以及 $r \rightarrow \infty$ ，环境温度和纳米粒子分数 是 $T_{\infty}$ 和 $C_{\infty}$ 这样 $T_w>T_{\infty}$ 和 $C_w>C_{\infty}$. 鉴于针尺寸小，忽略压力梯度，但需要横向曲率效应。
通过使用 Buongiorno 的纳米流体模型，流动的相关控制边界层系统是 $[6,42]$
物理边界限制是
$$
u=U_w, v=0, T=T_w, \quad C=C_w \text { at } r=R(x),
$$
$u \rightarrow U_{\infty}, T \rightarrow T_{\infty}, C \rightarrow C_{\infty}$ as $r \rightarrow \infty$
其中 $v$ 是运动粘度， $T$ 是纳米流体的温度， $C$ 是纳米颗粒的浓度， $a$ 是hemal diffusivilys $p$ 是密集的， $C_p$ 他 是否在均匀的压力下能够治愈， $\kappa=\left(\rho C_p\right)_s /\left(\rho C_p\right)_f$ 是纳米流体的有效热容的比例，其中下标 ‘ $s^{\prime}$ 和 ‘ $\mathrm{f}^{\prime}$ ‘是指固体纳米颗粒和基础流体， $Q^{=} Q_0 / x$ 是无量纲发热， $K=K_0 / x$ 是无量纲反应速率， $Q_0$ 是发热系数 变化。除了， $D_B$ 和 $D_T$ 分别是布朗和热泳扩散系数。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|The similarity transformation technique

相似变换技术已被用于获得常微分方程。因此，引入以下无量纲参数
$$
\psi=v x f(\eta), \quad \eta=\frac{U r^2}{v x}, \quad \theta(\eta)=\frac{T-T_{\infty}}{T_w-T_{\infty}}, \quad \phi(\eta)=\frac{C-C_{\infty}}{C_w-C_{\infty}},
$$
其中流函数给出为
$$
u=r^{-1} \frac{\partial \psi}{\partial r}, \quad v=-r^{-1} \frac{\partial \psi}{\partial x}
$$
流函数 (7) 满足连续性方程 (1)。使用等式 (6) 和 (7)，我们得到以下等式
$$
2 \eta f^{\prime \prime \prime}+2 f^{\prime \prime}+f f^{\prime \prime}=0 \frac{2}{P r}\left(\eta \theta^{\prime}\right)^{\prime}+f \theta^{\prime}+2 \eta\left(N t \theta^{\prime 2}+N b \theta^{\prime} \phi^{\prime}\right)+\frac{1}{2} Q \theta=0,2\left(\eta \phi^{\prime}\right)^{\prime}+2 \frac{N t}{N b}\left(\eta \theta^{\prime}\right)^{\prime}
$$
此外，边界条件可以改写为
$$
f(c)=\frac{\varepsilon}{2} c, f^{\prime}(c)=\frac{\varepsilon}{2}, \theta(c)=1, \phi(c)=1, f^{\prime}(\eta) \rightarrow \frac{1}{2}(1-\varepsilon), \theta(\eta) \rightarrow 0, \phi(\eta) \rightarrow 0 \text { as } \eta \rightarrow \infty,
$$
其中素数表示关于相似性变量的微分 $\eta$. 此外，假设 $\eta=c$ 表示针的大小或粗细。
在这里， $\operatorname{Pr}_{\circ} N t, N b, Q, L e$ 和 $\varepsilon$ 表示普朗特数、热泳参数、布朗运动参数、发热参数、路易斯数和速度 比参数。 $K$ 是化学反应参数 $K>0$ 代表破坏性反应，并且 $K<0$ 代表生成反应。

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