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数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|Option Hedging Strategies
The previous section mostly discussed speculators in option contracts. Options can also be valuable opportunities for hedgers whose primary purpose is to reduce risk. The following examples illustrate the use of options for hedging purposes while illustrating the variety of options available to hedgers.
A producer of rings for college graduations may by concerned that the price of gold is going to rise prior to the spring when most graduation ceremonies are held. However, the jeweler needs to announce prices for the rings earlier in the year before the orders for rings are placed. If the manufacturer knew how many rings would be ordered in the months prior to graduation, the manufacturer could buy the gold now or could enter a forward contract to purchase the gold. But the manufacturer does not want to be heavily exposed to the risk that their forecasts may be quite erroneous and the firm would end up with a large surplus or shortage of gold. Options can come to the rescue. The firm might enter forward contracts for a low estimate of their gold usage and purchase a call option on the additional amount of gold to reach the high end of their estimates. The purchase price of the call option on gold may be reasonable when compared to the potential outlay involved with ordering too much or too little gold in the spot, forward, or futures markets.
Next, consider the uncertainty faced by farmers, food processors, and food exporters with regard to the prices of grains near an important harvest season. The farmer fears that the price of her crop will fall before it can be harvested and sold. But the farmer is concerned about entering a short position in a forward contract since if her crop fails she will still be responsible for settling the promise made to deliver the crop to satisfy the terms of the forward contract. A potentially attractive solution to the farmer’s dilemma is to purchase a put option on some or all of the anticipated harvest. The put option will lock in a minimum price while limiting the farmer’s downside risk to the purchase price of the option.
数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|Put-Call Parity and Arbitrage
An important relationship exists between call option prices, $C$, and put option prices, $P$. The price of a European put option and European call option with the same underlying asset, same strike price $K$, and same expiration date $T$ must satisfy the following relationship known as put-call parity:
$$
C+K e^{-r T}=P+S_0
$$
From left to right, Equation $1.14$ can be expressed as “owning a call plus a bond is equivalent to owning a put plus the stock.” This well-known equation is often arranged differently or expressed with different notation. This particular arrangement is convenient for demonstrating why the relationship must be true in a well-functioning market with no arbitrage. The left and right sides of Equation $1.14$ can be viewed as payoff to two portfolios, A and B.
Portfolio A (left side): Buy a call on a stock + buy a zero-coupon bond that pays $K$ at time $T$.
Portfolio B (right side): Buy a put on the same stock + buy the stock.
Note that the two payoff columns on the right side of Table $1.2$ demonstrate that the total payoff to Portfolio A ( $S_T$ or $K$ ) equals the total payoff to Portfolio B $\left(S_T\right.$ or $\left.K\right)$ whether the call option is exercised at expiration (i.e., $S_T>K$ ), or whether the put option is exercised $\left(K>S_T\right)$. Obviously, when $S_T=$ $K$ neither option has a value at expiration and portfolios A and B have equal values $(K)$. Since under all scenarios both portfolios have the same total payoffs, they must therefore be worth the same today. This means that Equation $1.14$ holds:
$$
C+K e^{-r T}=P+S_0 .
$$
Another way to explain put-call parity is that the payout at time $T$ for call (C) minus put $(P)$ is the same as $S_T-K$. (This can be seen by combining the payout diagrams). The cost today to replicate $S_T-K$ by buying the stock today and borrowing $K e^{-r T}$ dollars from the bank is $S_0-K e^{-r T}$.
金融数学代考
数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|Option Hedging Strategies
上一节主要讨论了期权合约中的投机者。对于主要目的是降低风险的套期保值者来说，期权也可能是宝贵的机会。以下示例说明了将期权用于对冲目的，同时说明了对冲者可用的各种期权。
大学毕业戒指的生产商可能会担心黄金价格会在春季举行大多数毕业典礼之前上涨。但是，珠宝商需要在下订单之前在今年早些时候宣布戒指的价格。如果制造商知道在毕业前几个月将订购多少戒指，则制造商可以现在购买黄金，或者可以签订远期合约来购买黄金。但制造商不希望大量暴露于他们的预测可能非常错误的风险中，并且公司最终会出现大量的黄金过剩或短缺。选项可以来救援。该公司可能会就其黄金使用量的低估计签订远期合约，并购买额外黄金数量的看涨期权以达到其估计的高端。与在现货、远期或期货市场订购过多或过少黄金所涉及的潜在支出相比，黄金看涨期权的购买价格可能是合理的。
接下来，考虑农民、食品加工商和食品出口商在重要收获季节附近的谷物价格方面面临的不确定性。农民担心她的庄稼在收割和出售之前价格会下跌。但农民担心在远期合约中建立空头头寸，因为如果她的作物歉收，她仍将负责兑现为满足远期合约条款而做出的交付作物的承诺。解决农民困境的一个潜在有吸引力的解决方案是购买部分或全部预期收成的看跌期权。看跌期权将锁定最低价格，同时将农民的下行风险限制在期权的购买价格上。
数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|Put-Call Parity and Arbitrage
看涨期权价格之间存在重要关系， $C$ ，和看跌期权价格 $P$. 相同标的资产、相同执行价格的欧式看跌期权 和欧式看涨期权的价格 $K$ ，和相同的到期日期 $T$ 必须满足以下称为 put-call parity 的关系：
$$
C+K e^{-r T}=P+S_0
$$
从左到右，方程 $1.14$ 可以表达为“拥有看涨期权加债券等于拥有看跌期权加股票”。这个众所周知的方程 通常以不同的方式排列或用不同的符号表示。这种特殊的安排便于说明为什么在没有夽利的运作良好的 市场中这种关系必须是真实的。方程的左边和右边 $1.14$ 可以被视为对两个投资组合 $A$ 和 $B$ 的回报。 投资组合 A (左侧) : 购买股票看涨期权 $+$ 购买支付的零息债券 $K$ 有时 $T$.
投资组合 B (右侧) ：买入同一只股票的看跌期权 $+$ 买入该股票。
请注意，表格右侧的两个收益列 $1.2$ 证明投资组合 $\mathrm{A}$ 的总收益 $\left(S_T\right.$ 或者 $\left.K\right)$ 等于投资组合 B 的总收益 $\left(S_T\right.$ 或者 $K$ ) 看涨期权是否在到期时行使 (即， $S_T>K$ )，或看跌期权是否被行使 $\left(K>S_T\right)$ ). 显然，当 $S_T=K$ 两种期权都没有到期价值，投资组合 A 和 B 的价值相等 $(K)$. 由于在所有情况下，两个投资组合 都具有相同的总收益，因此它们今天的价值必须相同。这意味着方程1.14持有:
$$
C+K e^{-r T}=P+S_0 .
$$
另一种解释看跌期权平价的方法是 $T$ 看涨期权 (C) 减去看跌期权 $(P)$ 是相同的 $S_T-K$. (这可以通过结 合支出图来看出) 。今天复制的成本 $S_T-K$ 通过今天购买股票并借入 $K e^{-r T}$ 来自银行的美元是 $S_0-K e^{-r T}$.
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