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数学代写|微积分代写Calculus代写|Vertical asymptotes
One way for a limit not to exist is if it renders the real result $\infty$ or $-\infty$.
Example 9 Determine $\lim {x \rightarrow 4} \frac{x+3}{(x-4)^2}$. Solution This is not a one-sided limit (we have $x \rightarrow 4$, not $x \rightarrow 4^{+}$ or $x \rightarrow 4^{-}$). As mentioned, such limits are sometimes called two-sided limits. We therefore use $x=4+\alpha$ : $$ \begin{aligned} \lim {x \rightarrow 4} \frac{x+3}{(x-4)^2} &=\frac{4+\alpha+3}{(4+\alpha-4)^2}=\frac{7+\alpha}{\alpha^2} \
& \approx \frac{7}{\alpha^2}=7 A^2 \
& \doteq \infty
\end{aligned}
$$
We are not stuck, because squared values cannot be negative; we know that $7 A^2$ is positive. Because the limit is infinite, the limit does not exist.
What is the graphical interpretation of this limit? Because the limit’s value is $\infty$, we know that near $x=4$, the values of the expression must become infinite. Therefore, the graph must rise above a $y$-coordinate of 100 , above 1000 , above 1000000 , above any real number! The function’s values must therefore rise above the top of our picture. We express this idea by saying that the function has a vertical asymptote at $x=4$. We denote the vertical asymptote in a graph by a dotted line. The graph of this function is in figure 12 .
In example 2, division by zero resulted in a hole in the graph. In example 9 , division by zero resulted in a vertical asymptote. Merely knowing that we are dividing by zero does not tell us what is happening on the graph; we can only tell by determining the limit.
数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit examples with piecewise-defined functions
Sometimes a piecewise-defined function can be evaluated as simply as any other limit.
Example 1 Let $f(x)=\left{\begin{array}{ll}2 x, & x \leq 0 \ 4 x, & x>0\end{array}\right.$. Investigate $\lim {x \rightarrow-3} f(x)$. Solution Because the limit is two-sided, we use $x=-3+\alpha$ : $$ \lim {x \rightarrow-3} f(x)=f(-3+\alpha)=2(-3+\alpha)=-6+2 \alpha \approx-6 .
$$
The limit is $-6$.
Recall that when evaluating a piecewise-defined function, the first task is to determine which rule applies to the function’s input. This was not a difficult task in example 1 . If, however, the limit is requested at a value where the function rules change, the situation can be a little more complicated.
Example 2 Let $f(x)=\left{\begin{array}{cl}x, & x \leq 0 \ x^2, & x>0\end{array}\right.$. Investigate $\lim {x \rightarrow 0} f(x)$. Solution Because the limit is two-sided, we use $x=0+\alpha=\alpha$ : $$ \lim {x \rightarrow 0} f(x)=f(\alpha),
$$
and we are stuck because we do not know which rule to use to evaluate $f$. If $\alpha>0$, then we use the rule $f(x)=x^2$; but, if $\alpha<0$, we use the rule $f(x)=x$. Just as when we are stuck for other reasons, let’s use one-sided limits to help. We evaluate the limit from the right by using $x=0+\omega=\omega$
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=f(\omega)=\omega^2 \doteq 0 .
$$
We are not stuck because $\omega$ is positive and we can use the rule for $x>0$, which is $f(x)=x^2$. The limit from the right is 0 .
We evaluate the limit from the left using $x=0-\omega=-\omega$ :
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=f(-\omega)=-\omega \doteq 0 .
$$
We are not stuck because $-\omega$ is negative and we can use the rule for $x \leq 0$, which is $f(x)=x$. The limit from the left is 0 .
Because both one-sided limits have the same value, 0 , the two-sided limit exists:
$$
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0
$$
微积分代考
数学代写|微积分代写Calculus代写|Vertical asymptotes
限制不存在的一种方法是，如果它呈现真实结果 $\infty$ 或者 $-\infty$.
示例 9 确定 $\operatorname{im} x \rightarrow 4 \frac{x+3}{(x-4)^2}$. 解决方案 这不是一个单方面的限制 (我们有 $x \rightarrow 4 ，$ 不是 $x \rightarrow 4^{+}$或者 $x \rightarrow 4^{-}$) 。如前所述，这种限制有时称为双边限制。因此我们使用 $x=4+\alpha$ :
$$
\lim x \rightarrow 4 \frac{x+3}{(x-4)^2}=\frac{4+\alpha+3}{(4+\alpha-4)^2}=\frac{7+\alpha}{\alpha^2} \quad \approx \frac{7}{\alpha^2}=7 A^2 \doteq \infty
$$
我们没有被卡住，因为平方值不能为负；我们知道 $7 A^2$ 是积极的。因为极限是无限的，所以极限不存 在。
这个限制的图形解释是什么? 因为极限值是 $\infty$ ，我们知道近 $x=4$ ，表达式的值必须变为无穷大。因此， 图形必须高于 $y-100 ， 1000 ， 1000000$ ， 任何实数以上的坐标! 因此，函数的值必须高于我们图片的 顶部。我们通过说函数在处有一条垂直渐近线来表达这个想法 $x=4$. 我们用虚线表示图中的垂直渐近 线。该函数的图形如图 12 所示。
在示例 2 中，除以雺会导致图中出现空洞。在示例 9 中，除以雺导致垂直渐近线。仅仅知道我们除以零 并不能告诉我们图表上发生了什么。我们只能通过确定极限来判断。
数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit examples with piecewise-defined functions
有时，可以像任何其他限制一样简单地评估分段定义的函数。
示例 1 令 $\$ \mathrm{f}(\mathrm{x})=\backslash \backslash \mathrm{left}$
$$
2 x, \quad x \leq 04 x, \quad x>0
$$
【正确的。. Investigate $\backslash \lim {x \backslash$ \rightarrow- 3$} \mathrm{f}(\mathrm{x})$. Solution Becausethelimitistwo – sided, weuse $\mathrm{x}=-3+\backslash$ alpha:lim $x \rightarrow-3 f(x)=f(-3+\alpha)=2(-3+\alpha)=-6+2 \alpha \approx-6$.Thelimitis $-6$
Recallthatwhenevaluatingapiecewise – definedfunction, the firsttaskistodeterminewhichruleap $f(x)=\sqrt{1}{$
$$
x, \quad x \leq 0 x^2, \quad x>0
$$
【正确的。 . Investigate $\backslash \lim {\mathrm{x} \backslash$ \ightarrow 0$} \mathrm{f}(\mathrm{x})$. SolutionBecausethelimitistwo – sided, weuse $\mathrm{x}=0+\backslash$ \alpha $=\backslash$ \alpha: $\lim x \rightarrow 0 f(x)=f(\alpha)$,
andwearestuckbecausewedonotknowwhichruletousetoevaluateF. If $\alpha>0$, thenweusetherule $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{\wedge} 2 ;$ but, if $\backslash$ alpha $<0$, weusetherule $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}$
. Justaswhenwearestuck forotherreasons, let’suseone – sidedlimitstohelp. Weevaluatethelimitfr $\mathrm{x}=0+$ ¡omega $=$ ¡omegalim $\mathrm{m}{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=f(\omega)=\omega^2 \doteq 0 . \$$ 我们没有被困住，因为 $\omega$ 是积极的，我们可以使用规则 $x>0$ ，即 $f(x)=x^2$. 右边的极限是 0 。 我们使用左恻评估极限 $x=0-\omega=-\omega$ : $$ \lim {x \rightarrow 0^{-}} f(x)=f(-\omega)=-\omega \doteq 0 .
$$
我们没有被困住，因为 $-\omega$ 是负数，我们可以使用规则 $x \leq 0$ ，即 $f(x)=x$. 左边的限制是 0 。
因为两个单边限制具有相同的值 0 ，所以存在双边限制:
$$
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0
$$
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