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数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit example with trig
Example 4 Find $\lim {x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}$. Solution We evaluate the expression at $x=0+\alpha$, which is the same as $x=\alpha$ : $$ \lim {x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=\alpha \sin \frac{1}{\alpha} .
$$
At this point, perhaps we are stuck, because we do not know how to evaluate trigonometric functions at hyperreal numbers. However, the transfer principle does tell us something about the trig functions. In section $1.1$, we learned that since $-1 \leq \sin x \leq 1$ for any real number $x$, the same is true for any hyperreal number $x$. Therefore, $-1 \leq \sin \frac{1}{\alpha} \leq 1$. Then, multiplying through that inequality by $\alpha$ gives either
$$
-\alpha \leq \alpha \sin \frac{1}{\alpha} \leq \alpha
$$
or
$$
-\alpha \geq \alpha \sin \frac{1}{\alpha} \geq \alpha,
$$
depending on whether $\alpha$ is positive or negative. In either case, $\alpha \sin \frac{1}{\alpha}$ is between $\alpha$ and $-\alpha$, so the expression must be infinitesimal, and therefore renders the real result zero. The entire calculation can be written as follows:
$$
\lim {x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=\underbrace{\alpha \cdot \underbrace{\sin \frac{1}{\alpha}}{\begin{array}{c}
\text { between } \
1 \text { and }-1
\end{array}}}_{\text {infinitesimal }} \doteq 0 .
$$
The limit is 0 .
数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit example with polynomial
There is nothing in the definition of limit that requires us to find limits only at places where we are dividing by zero. The procedure is the same, regardless of whether it is at a place where we are dividing by zero.
Example 6 Find $\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^2+7 x-3\right)$.
$$
\begin{aligned}
\lim {x \rightarrow 2}\left(x^2+7 x-3\right) &=(2+\alpha)^2+7(2+\alpha)-3 \ &=4+4 \alpha+\alpha^2+14+7 \alpha-3=15+11 \alpha+\alpha^2 \ & \approx 15 . \end{aligned} $$ The limit is 15 . In this example, the function is defined at $x=2$. In fact, $f(2)=2^2+$ $7(2)-3=15$, and the value of the function matches the limit. In this case there is no hole in the graph (figure 9$)$; the point $(2,15)$ is on the graph. In the last several examples, the function is not defined at $x=b$, so there is no point at $x=b$; but, this is not the casc with this example. This idea is discussed again later in this chapter, in section 1.6. Reading Exercise 17 Find $\lim {x \rightarrow 2}\left(x^2+1\right)$
The definition of limit requires that we render the same real result for every infinitesimal $\alpha$. In our previous examples, this has happened, but sometimes it does not happen.
Example 7 Find $\lim {x \rightarrow 3} \frac{|x-3|}{x-3}$ Solution We evaluate the expression at $x=3+\alpha$ : $$ \lim {x \rightarrow 3} \frac{|x-3|}{x-3}=\frac{|3+\alpha-3|}{3+\alpha-3}=\frac{|\alpha|}{\alpha} .
$$
At this point we are stuck! To evaluate $|\alpha|$, we need to know whether $\alpha$ is positive or negative, but because $\alpha$ is an arbitrary infinitesimal, it could be either. If $\alpha>0$, we continue with
$$
\frac{|\bar{\alpha}|}{\alpha}=\frac{\alpha}{\alpha}=1 .
$$
If $\alpha<0$, we continue with
$$
\frac{|\alpha|}{\alpha}=\frac{-\alpha}{\alpha}=-1
$$
微积分代考
数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit example with trig
示例 4 查找 $\lim x \rightarrow 0 x \sin \frac{1}{x}$. 解决方案我们评估表达式 $x=0+\alpha$, 这与 $x=\alpha$ :
在这一点上，也许我们被困住了，因为我们不知道如何在超实数上评估三角函数。然而，传递原理确实 告诉我们一些关于三角函数的信息。在部分 $1.1$ ，我们了解到，由于 $-1 \leq \sin x \leq 1$ 对于任何实数 $x$ ，对 于任何超实数也是如此 $x$. 所以， $-1 \leq \sin \frac{1}{\alpha} \leq 1$. 然后，将这个不等式乘以 $\alpha$ 给出任何一个
$$
-\alpha \leq \alpha \sin \frac{1}{\alpha} \leq \alpha
$$
或者
$$
-\alpha \geq \alpha \sin \frac{1}{\alpha} \geq \alpha,
$$
取决于是否 $\alpha$ 是正面的还是负面的。在任一情况下， $\alpha \sin \frac{1}{\alpha}$ 在。。。之间 $\alpha$ 和 $-\alpha$ ，所以表达式必须是无 穷小的，因此使实际结果为零。整个计算可以写成:
$$
\lim x \rightarrow 0 x \sin \frac{1}{x}=\underbrace{\alpha \cdot \underbrace{\sin \frac{1}{\alpha}} \text { between } 1 \text { and }-1}_{\text {infinitesimal }} \doteq 0
$$
限制为 0。
数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit example with polynomial
限制的定义中没有任何内容要求我们仅在除以雴的地方找到限制。过程是相同的，无论它是否在我们被 零除的地方。
示例 6 查找 $\lim {x \rightarrow 2}\left(x^2+7 x-3\right)$. $$ \lim x \rightarrow 2\left(x^2+7 x-3\right)=(2+\alpha)^2+7(2+\alpha)-3 \quad=4+4 \alpha+\alpha^2+14+7 \alpha-3=15+11 \alpha+\alpha^2 $$ 限制为 15 。在这个例子中，函数定义在 $x=2$. 实际上， $f(2)=2^2+7(2)-3=15$ ，并且函数的值与 限制匹配。在这种情况下，图中没有孔 (图 9); 重点 $(2,15)$ 是在图表上。在最后几个示例中，函数末定 义在 $x=b$ ，所以没有意义 $x=b$; 但是，这不是这个例子的casc。这个想法将在本章后面的 $1.6$ 节中再次 讨论。阅读练习 17 查找 $\lim x \rightarrow 2\left(x^2+1\right)$ 极限的定义要求我们对每一个无穷小都呈现相同的真实结果 $\alpha$. 在我们之前的示例中，这种情况已经发 生，但有时不会发生。 示例 7 查找 $\lim x \rightarrow 3 \frac{|x-3|}{x-3}$ 解决方室 我们评估表达式 $x=3+\alpha$ : $$ \lim {x \rightarrow 3} \frac{|x-3|}{x-3}=\frac{|3+\alpha-3|}{3+\alpha-3}=\frac{|\alpha|}{\alpha} .
$$
在这一点上，我们被困住了!评估 $|\alpha|$ ，我们需要知道是否 $\alpha$ 是积极的还是消极的，但因为 $\alpha$ 是一个任意 的无穷小，它也可以是。如果 $\alpha>0$ ，我们继续
$$
\frac{|\bar{\alpha}|}{\alpha}=\frac{\alpha}{\alpha}=1 .
$$
如果 $\alpha<0$, 我们继续
$$
\frac{|\alpha|}{\alpha}=\frac{-\alpha}{\alpha}=-1
$$
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