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数学代写|微积分代写Calculus代写|Finding limits graphically
In section $1.4$ we evaluated limits “algebraically” and then considered what the graph might look like. Given the limit, we sketched a snippet of graph. The reverse can also be done: from the graph, we should be able to determine the limit. We call this determining a limit graphically. Knowing which limits give rise to holes, jumps, and vertical asymptotes, when we see such features on a graph, we can identify the limit accordingly.
Example 4 Use figure 3 to determine the following limits:
Another way of seeing this limit is to ask: As $x$ nears 2, what happens to the $y$-coordinates on the graph? In figure 5 , the red arrows on the horizontal axis point to $x=2$. Follow the curve above these red arrows; the result is in green. Then, go from the green arrows to the vertical axis, where the resulting arrows are magenta. We conclude that as $x$ nears $2, f(x)$ nears 1 . Therefore, $\lim {x \rightarrow 2} f(x)=1$. (b) To determine $\lim {x \rightarrow 4} f(x)$, we look at the graph near $x=4$, as in figure 6 . We see a vertical asymptote that exits the top of the picture on both sides of $x=4$. This matches the picture in section $1.4$ figure 13 , and we conclude that $\lim {x \rightarrow 4} f(x)=\infty$. The implication in the picture given by the dotted line representing the vertical asymptote is that near $x=4$, the values of $f(x)$ become infinitely large. Using arrows instead, we see that the magenta arrow in figure 6 is pointing, not to a specific real number, but rather off the top of the diagram to an infinite height, so that the limit is $\infty$. (c) For $\lim {x \rightarrow 6} f(x)$, we look near $x=6$, as in figure 7. We see a jump in the graph, which means the limits from the left and the right are not equal. We conclude that $\lim {x \rightarrow 6} f(x)$ DNE. Compare to section $1.4$ figure 11. Using arrows instead, note that the two magenta arrows in figure 7 do not point to the same number, so the rwo-sided limit does not exist. (d) To determine a one-sided limit such as $\lim {x \rightarrow 6^{+}} f(x)$, we only wish to look at one side, not both sides. Instead of looking at figure 7, we look at figure 8 , which shows the graph only on the righthand side of $x=6$. As always, the value of the function at $x=6$ is irrelevant, so it does not matter which circle is filled in and which is not. Instead, we pay attention to the curve and where it is headed, which is toward the $y$-coordinate 0 . We conclude that $\lim _{x \rightarrow 6^{+}}$ $f(x)=0$
数学代写|微积分代写Calculus代写|Sketching functions from limit information
We have previously sketched snippets of the graph of a function from information provided by limits. To practice the connection between graphs and limits even further, we can give several limits and sketch the graph of a function that meets all the given information. The general idea is to sketch the graph snippets as before, all on one graph, and then connect the snippets, yielding the graph of a function.
Example 5 Sketch the graph of a function f satisfing $\lim {x \rightarrow 2^{-}} f(x)=1$, $\lim {x \rightarrow 2^{+}} f(x)=3, \lim _{x \rightarrow-1} f(x)=-1$, and $f(2)=0$.
Solution We begin by drawing the graph snippets corresponding to each of the limits. For $\lim {x \rightarrow 2^{-}} f(x)=1$, we draw an open circle at the point $(2,1)$ with a snippet of graph on the left side. For $\lim {x \rightarrow 2^{+}}$ $f(x)=3$, we draw an open circle at the point $(2,3)$ with a snippet of graph on the right side. For $\lim _{x \rightarrow-1} f(x)=-1$, we draw an open circle at the point $(-1,-1)$ with a snippet of graph on both sides. Last, we have one more piece of information-namely, $f(2)=0$. Just as when plotting points in algebra, we place a point on the graph at the point $(2,0)$. These steps are shown in figure 13.
Now all that is left is to connect the pieces of graph. This can be done in any manner one wishes, as long as the result is a function, and the required limits and function values are preserved. Two of the infinitely many possible answers are in figure 14.
It is apparent that just knowing a few limits on the graph of a function is not enough to specify the function completely. Thankfully, there are additional tools of calculus that can produce information to shape a function’s graph. Stay tuned!
微积分代考
数学代写|微积分代写Calculus代写|Finding limits graphically
在部分1.4我们“以代数方式”评估了极限，然后考虑了图表的样子。鉴于限制，我们绘制了一个图形片段。反过来也可以：从图中，我们应该能够确定极限。我们称之为以图形方式确定限制。知道哪些限制会导致空洞、跳跃和垂直渐近线，当我们在图表上看到这些特征时，我们可以相应地识别限制。
示例 4 使用图 3 确定以下限制：
查看此限制的另一种方法是问：X接近 2，会发生什么是- 图上的坐标？在图5中，横轴上的红色箭头指向X=2. 按照这些红色箭头上方的曲线；结果是绿色的。然后，从绿色箭头转到垂直轴，结果箭头为洋红色。我们得出的结论是X接近2,F(X)接近 1 。所以，林X→2F(X)=1. (b) 确定林X→4F(X)，我们看一下附近的图X=4，如图 6 所示。我们看到一条垂直的渐近线从图片顶部的两侧退出X=4. 这与部分中的图片相匹配1.4图 13 ，我们得出结论林X→4F(X)=∞. 图中由表示垂直渐近线的虚线给出的含义是近X=4, 的值F(X)变得无限大。使用箭头代替，我们看到图 6 中的洋红色箭头指向的不是特定的实数，而是图顶部的无限高，因此极限是∞. (c) 为林X→6F(X), 我们看近X=6，如图 7 所示。我们在图中看到了一个跳跃，这意味着左侧和右侧的限制不相等。我们得出结论林X→6F(X)DNE。比较部分1.4图 11. 使用箭头代替，注意图 7 中的两个洋红色箭头不指向同一个数字，因此不存在 rwo 边限制。(d) 确定单边限制，例如林X→6+F(X)，我们只希望看到一侧，而不是两侧。我们不看图 7，而是看图 8，它仅显示了右侧的图形X=6. 与往常一样，函数的值X=6是无关紧要的，所以无论哪个圆圈被填充，哪个圆圈没有。相反，我们关注曲线及其走向，即朝向是-坐标 0 。我们得出结论林X→6+ F(X)=0
数学代写|微积分代写Calculus代写|Sketching functions from limit information
我们之前根据限制提供的信息绘制了函数图的片段。为了进一步练习图和极限之间的联系，我们可以给出几个极限并画出满足所有给定信息的函数图。一般的想法是像以前一样在一个图上绘制图形片段，然后连接这些片段，产生一个函数的图形。
例 5 画出满足 f 的函数图林X→2−F(X)=1, 林X→2+F(X)=3,林X→−1F(X)=−1， 和F(2)=0.
解决方案 我们首先绘制与每个限制对应的图形片段。为了林X→2−F(X)=1，我们在该点画一个空心圆(2,1)左侧有一个图表片段。为了林X→2+ F(X)=3，我们在该点画一个空心圆(2,3)右侧有一个图表片段。为了林X→−1F(X)=−1，我们在该点画一个空心圆(−1,−1)两边都有一段图表。最后，我们还有一条信息——即，F(2)=0. 就像在代数中绘制点一样，我们在图上放置一个点(2,0). 这些步骤如图 13 所示。
现在剩下的就是连接图形的各个部分。这可以以任何人希望的方式完成，只要结果是一个函数，并且保留所需的限制和函数值。无限多个可能的答案中的两个在图 14 中。
很明显，仅仅知道函数图上的一些限制不足以完全指定函数。值得庆幸的是，还有其他微积分工具可以产生信息来塑造函数的图形。敬请关注！
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