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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Renewal Theorems
- Elementary Renewal Theorem (Feller 1941)
$$
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{H(t)}{t}= \begin{cases}1 / \mu & \text { if } 0<\mu-E(x)<\infty \ 0 & \text { if } \mu=\infty\end{cases}
$$ - Blackwell’s Renewal Theorem (1948)
$\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{H(t+h)-H(t)}{h}=1 / \mu$ for fixed $h>0$ and $X_1$ is a continuous random variable. period of the lattice.
Definition 4.2 A random variable $X$ is said to have lattice distribution if $P[X=c+n d]>0$ where $c$ and $d(>0)$ are real constants and $n=\pm 1, \pm 2, \ldots$. - Key Renewal Theorem (W.L. Smith, 1953)
- If $Q(t) \geq 0$ and non increasing and $\int_0^{\infty} Q(t) d t<\infty$ then $\lim {t \rightarrow \infty} \int_0^t Q(t-x) d H(x)=\frac{1}{\mu} \int_0^{\infty} Q(t) d t$ whenever $X$ is not arithmatic. A weaker version of the Elementary Renewal Theorem is the following due to J.L. Doob (1948) and is known as Doob’s Renewal Theorem $$ \lim {t \rightarrow \infty} \frac{N(t)}{t}=\frac{1}{\mu} \text { a.s. } $$ Proof Assume that $X_1, X_2, \ldots$ and i.i.d. with $0<\mu<\infty$. and for all $0<\varepsilon<\mu,(\mu-\varepsilon) n \leq S_n \leq(\mu+\varepsilon) n$ for all large $n$. $$ n t1$. Replace $t$ by $n t$ to get
- $$
- n t \geq S_{N(t)} \geq(\mu-\varepsilon) N(t n) \text { for all large } n \text {. }
- $$
统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Delayed and Equilibrium Renewal Processes
There are two types of generalizations of ordinary Renewal Process. When the first interarrival time $X_1$ has a distribution function $G$ different from the common d.f. $F$ of $X_2, X_3, \ldots$, we call such a Renewal process a Modified or Delayed Renewal Process. A Modified Renewal Process in which
$$
G(x)=\int_0^x \frac{1-F(t)}{\mu} d t,
$$
is called the Equilibrium (Stationary) Renewal Process.
Let $H_D(t)=\sum_{n=1}^{\infty} G^* F^{(n-1)}(t)$ be the Renewal function of delayed Renewal process. Earlier we have seen for ordinary Renewal process
$$
\frac{H(t)}{t} \rightarrow \frac{1}{\mu} \text { as } t \rightarrow \infty \text {, where } \mu=\int_0^{\infty} x d F(x) .
$$
Similarly, $\frac{H_D(t)}{t} \rightarrow \frac{1}{\mu}$ as $t \rightarrow \infty$ (by Strong Law).
Hence, the question is whether there is any Delayed Renewal Process for which $H_D(t)=t / \mu$ ? Also we know that for Poisson process, where the underlying variables are exponential, $H(t)=t / \mu$.
Let
$$
F_e(x)=\int_0^x \frac{1-F(t)}{\mu} d t
$$
The following proposition is an answer in affirmative to our last question.
Proposition 4.1 There exists a modified Renewal process where the initial distribution $G=F_e$ exists such that $H_e(t)=t / \mu$.
Proof If $H_e(t=t / \mu$, then Laplace transform
$$
H_e^(s)=\int_0^{\infty} e^{-s t}\left(\frac{t}{\mu}\right) d t=\frac{1}{\mu s^2} $$ Also $$ H_e^(s)=\frac{f_e^(s)}{s\left[1-f^(s)\right]}
$$
where $f_e^(s)$ is the Laplace Transform of $f_e$ and $f^(s)$ is the Laplace Transform of $f$ where $F^{\prime}(x)=f(x)$.

随机过程代考
统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Renewal Theorems
- 基本更新定理 (Feller 1941)
$$
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{H(t)}{t}={1 / \mu \quad \text { if } 0<\mu-E(x)<\infty 0 \quad \text { if } \mu=\infty
$$ - 布莱克威尔的更新定理 (1948)
$\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{H(t+h)-H(t)}{h}=1 / \mu$ 对于固定 $h>0$ 和 $X_1$ 是一个连续随机变量。格的周期。 定义 $4.2$ 随机变量 $X$ 据说有格子分布,如果 $P[X=c+n d]>0$ 在哪里 $c$ 和 $d(>0)$ 是实常数和 $n=\pm 1, \pm 2, \ldots$ - 关键更新定理 (WL Smith, 1953)
- 如果 $Q(t) \geq 0$ 和不增加和 $\int_0^{\infty} Q(t) d t<\infty$ 然后 $\lim t \rightarrow \infty \int_0^t Q(t-x) d H(x)=\frac{1}{\mu} \int_0^{\infty} Q(t) d t$ 每 当 $X$ 不是算术的。由于儿 Doob (1948),基本更新定理的较弱版本如下,被称为 Doob 更新定理
$$
\lim t \rightarrow \infty \frac{N(t)}{t}=\frac{1}{\mu} \text { a.s. }
$$
证明假设 $X_1, X_2, \ldots$ 和 $\mathrm{iid} 0<\mu<\infty$. 并为所有人 $0<\varepsilon<\mu,(\mu-\varepsilon) n \leq S_n \leq(\mu+\varepsilon) n$ 对于所 有大 $n$. $\$ \$ \mathrm{nt} 1$. Replace 吨bynt $\$$ 得到
$5 . \$ \$$ - nt \geq S_{ $N(t)} \backslash g e q(\backslash m u-\backslash$ varepsilon) $N($ tn $) \backslash$ text ${$ 对于所有大 $} n \backslash$ text ${0}}$
- $\$ \$$
统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Delayed and Equilibrium Renewal Processes
普通更新过程有两种概括。当第一次到达间隔时间 $X_1$ 有分布函数 $G$ 不同于普通的 df $F$ 的 $X_2, X_3, \ldots$ ,我 们将这样的更新过程称为修改或延迟更新过程。修改后的更新流程,其中
$$
G(x)=\int_0^x \frac{1-F(t)}{\mu} d t,
$$
称为平衡 (固定) 更新过程。
让 $H_D(t)=\sum_{n=1}^{\infty} G^* F^{(n-1)}(t)$ 是延迟更新过程的更新函数。前面我们已经看到了普通的 Renewal 过 程 $\frac{H(t)}{t} \rightarrow \frac{1}{\mu}$ as $t \rightarrow \infty$, where $\mu=\int_0^{\infty} x d F(x)$.
相似地, $\frac{H_D(t)}{t} \rightarrow \frac{1}{\mu}$ 作为 $t \rightarrow \infty$ (根据强法) 。
因此,问题是是否存在任何延迟更新程序 $H_D(t)=t / \mu$ ? 我们还知道,对于泊松过程,基础变量是指数 的, $H(t)=t / \mu$.
让
$$
F_e(x)=\int_0^x \frac{1-F(t)}{\mu} d t
$$
下面的命题是对我们最后一个问题的肯定回答。
命题 $4.1$ 存在一个修改后的更新过程,其中初始分配 $G=F_e$ 存在使得 $H_e(t)=t / \mu$. 证明如果 $H_e(t=t / \mu$, 然后拉普拉斯变换
$$
\left.H_e^{(} s\right)=\int_0^{\infty} e^{-s t}\left(\frac{t}{\mu}\right) d t=\frac{1}{\mu s^2}
$$
还
$$
\left.H_e^{(} s\right)=\frac{\left.f_e^{(} s\right)}{\left.s\left[1-f^{(} s\right)\right]}
$$
在哪里 $\left.f_e^{\prime} s\right)$ 是拉普拉斯变换 $f_e$ 和 $\left.f^{\prime} s\right)$ 是拉普拉斯变换 $f$ 在哪里 $F^{\prime}(x)=f(x)$.

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