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统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Factorial Experiments

Kempthorne (1952) provides the EMSs for $T, R T, S, S T$, and $R S(T)$ in his Table 19.2. Kempthorne’s EMSs are the same as the EMSs given here, although Kempthorne uses different notation. Kempthorne’s $\sigma^2, t_j, \sigma_s^2, s_k$, and $(t s){j k}$ are equivalent to our $s \sigma{R T}^2,\left(\bar{\mu}{j .}-\bar{\mu}{. .}\right), \sigma_{R S(T)}^2,\left(\bar{\mu}{. k}-\bar{\mu}{. .}\right)$, and $\left(\bar{\mu}{i j}-\bar{\mu}{j .}-\bar{\mu}{. k}+\bar{\mu}{. .}\right)$, respectively.

Example 4.5.4 Consider an experiment where bst experimental units are divided into $b$ homogeneous sets of $s t$ units. Within each of the $b$ sets (or, equivalently, within each of the $b$ random blocks $B$ ) the $s t$ units are randomly assigned to the $s t$ combinations of the two fixed factors $S$ and $T$ where factor $S$ has $s$ levels and $T$ has $t$ levels. This is a classic random block design where the fixed treatments are identified by two fixed factors. Let $Y_{i j k}$ be the random variable representing the observation in the $k^{\text {th }}$ level of factor $T$, the $j^{\text {th }}$ level of factor $S$, and the $i^{\text {th }}$ block for $i=1, \ldots, b, j=1, \ldots, s$, and $k=1, \ldots, t$. This experiment is characterized by the model
$$
Y_{i j k}=\mu_{j k}+B_i+R_{i j k}
$$
where $\mu_{j k}$ are $s t$ constants representing the mean effect of the $j k^{\text {th }}$ combination of factors $S$ and $T$; the $B_i$ are random variables representing the random effect of blocks; and the $R_{i j k}$ are random variables representing the random residual or remainder. It is our intention to write a covariance matrix that contains two variance components, one associated with the variance of the random variables $B_i$ and one associated with the variance of the random variables $R_{i j k}$. However, to use the covariance algorithm, we must first rewrite the variables $R_{i j k}$ in terms of the factor letters $B, S$, and $T$. Note that $R_{i j k}$ can be equivalently written as
$$
R_{i j k}=B S_{i j}+B T_{i k}+B S T_{i j k}
$$
where $B S_{i j}, B T_{i k}$, and $B S T_{i j k}$ are random variables representing the interaction of $B$ with $S, B$ with $T$, and $B$ with $S T$, respectively. We could proceed from here by putting the last two equations together to produce a model
$$
Y_{i j k}=\mu_{j k}+B_i+B S_{i j}+B T_{i k}+B S T_{i j k} .
$$
However, the last model has four sets of random variables and would thus require a definition with four, not two, random components.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|ORDINARY LEAST-SQUARES ESTIMATION

We begin with a simple example. An engineer wants to relate the fuel consumption of a new type of automobile to the speed of the vehicle and the grade of the road traveled. He has a fleet of $n$ vehicles. Each vehicl0e is assigned to operate at a constant speed (in miles per hour) on a specific grade (in percent grade) and the fuel consumption (in $\mathrm{ml} / \mathrm{sec}$ ) is recorded. The engineer believes that the expected fuel consumption is a linear function of the speed of the vehicle and the speed of the vehicle times the grade of the road. Let $Y_i$ be a random variable that represents the observed fuel consumption of the $i^{\text {th }}$ vehicle, operating at a fixed speed, on a road with a constant grade. Let $x_{i 1}$ represent the speed of the $i^{\text {th }}$ vehicle and let $x_{i 2}$ represent the speed times the grade of the $i^{\text {th }}$ vehicle. The expected fuel consumption of the $i^{\text {th }}$ vehicle can be represented by
$$
\mathrm{E}\left(Y_i\right)=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\beta_2 x_{i 2}
$$
where $\beta_0, \beta_1$, and $\beta_2$ are unknown parameters. Due to qualities intrinsic to each vehicle, the observed fuel consumptions differ somewhat from the expected fuel consumptions. Therefore, the observed fuel consumption of the $i^{\text {th }}$ vehicle is represented by
$$
Y_i=\mathrm{E}\left(Y_i\right)+E_i
$$
or
$$
Y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\beta_2 x_{i 2}+E_i
$$
where $E_i$ is a random variable representing the difference between the observed fuel consumption and the expected fuel consumption of the $i^{\text {th }}$ vehicle. An example data set for this fuel, speed, grade experiment is provided in Table 5.1.1. In a more general setting consider a problem where the expected value of a random variable $Y_i$ is assumed to be a linear combination of $p-1$ different variables $x_{i 1}, x_{i 2}, \ldots, x_{i, p-1}$. That is,
$$
\mathrm{E}\left(Y_i\right)=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\cdots+\beta_{p-1} x_{i, p-1} .
$$
Adding a component of error, $E_i$, to represent the difference between the observed value of $Y_i$ and the expected value of $Y_i$ we obtain
$$
Y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\cdots+\beta_{p-1} x_{i, p-1}+E_i .
$$

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT3030

广义线性模型代考

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Kempthorne (1952) 为 $T, R T, S, S T$ ,和 $R S(T)$ 在他的表 $19.2$ 中。Kempthorne 的 EMS 与此处给出的 EMS 相同,尽管 Kempthorne 使用不同的符号。肯普索恩 $\sigma^2, t_j, \sigma_s^2, s_k$ ,和 $(t s) j k$ 相当于我们的 $s \sigma R T^2,(\bar{\mu} j .-\bar{\mu} .),. \sigma_{R S(T)}^2,(\bar{\mu} . k-\bar{\mu} .$.$) , 和 (\bar{\mu} i j-\bar{\mu} j .-\bar{\mu} . k+\bar{\mu} .$.$) ,分别。$
例 4.5.4 考虑一个实验,其中 bst 实验单元被划分为 $b$ 齐次集 $s t$ 单位。在每个b集合(或者,等效地,在每 个 $b$ 随机块 $B)$ 这 $s t$ 单位被随机分配到 $s t$ 两个固定因素的组合 $S$ 和 $T$ 哪里因嗉 $S$ 有 $s$ 水平和 $T$ 有 $t$ 水平。这是 一个经典的随机区组设计,其中固定处理由两个固定因子确定。让 $Y_{i j k}$ 是代表观察的随机变量 $k^{\text {th }}$ 因子水 平 $T$ , 这 $j^{\text {th }}$ 因子水平 $S$ , 和 $i^{\text {th }}$ 阻止 $i=1, \ldots, b, j=1, \ldots, s$ , 和 $k=1, \ldots, t$. 本实验的特点是模型
$$
Y_{i j k}=\mu_{j k}+B_i+R_{i j k}
$$
在哪里 $\mu_{j k}$ 是 $s t$ 代表平均效应的常数 $j k^{\text {th }}$ 综合因䋏 $S$ 和 $T$; 这 $B_i$ 是代表块的随机效应的随机变量;和 $R_{i j k}$ 是表示随机残差或余数的随机变量。我们打算编写一个包含两个方差分量的协方差矩阵,一个与随机变 量的方差相关联 $B_i$ 一个与随机变量的方差有关 $R_{i j k}$. 但是,要使用协方差算法,我们必须首先重写变量 $R_{i j k}$ 就因子字母而言 $B, S ,$ 和 $T$. 注意 $R_{i j k}$ 可以等效地写为
$$
R_{i j k}=B S_{i j}+B T_{i k}+B S T_{i j k}
$$
在哪里 $B S_{i j}, B T_{i k}$ ,和 $B S T_{i j k}$ 是表示相互作用的随机变量 $B$ 和 $S, B$ 和 $T$ ,和 $B$ 和 $S T$ ,分别。我们可 以从这里开始,将最后两个方程放在一起生成一个模型
$$
Y_{i j k}=\mu_{j k}+B_i+B S_{i j}+B T_{i k}+B S T_{i j k} .
$$
然而,最后一个模型有四组随机变量,因此需要一个包含四个而不是两个随机分量的定义。

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我们从一个简单的例子开始。一位工程师想要将新型汽车的油耗与车速和行驶道路的坡度联系起来。他 拥有一支舰队人车辆。每辆车都被分配以恒定速度 (英里/小时) 在特定坡度 (坡度百分比) 和燃料消耗 (以 $\mathrm{ml} / \mathrm{sec}$ ) 被记录下来。工程师认为,预期油耗是车速和车速乘以道路坡度的线性函数。让 $Y_i$ 是一个 随机变量,表示观察到的燃料消耗量 $i$ th 车辆以固定速度行驶,在恒定坡度的道路上行驶。让 $x_{i 1}$ 表示速 度 $i^{\text {th }}$ 车辆并让 $x_{i 2}$ 代表速度乘以等级 $i^{\text {th }}$ 车辆。预计油耗 $i^{\text {th }}$ 车辆可以表示为
$$
\mathrm{E}\left(Y_i\right)=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\beta_2 x_{i 2}
$$
在哪里 $\beta_0, \beta_1$ ,和 $\beta_2$ 是末知参数。由于每辆车的固有特性,观察到的燃料消耗与预期的燃料消耗有些不 同。因此,观察到的油耗 $i^{\text {th }}$ 车辆由
$$
Y_i=\mathrm{E}\left(Y_i\right)+E_i
$$
或者
$$
Y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\beta_2 x_{i 2}+E_i
$$
在哪里 $E_i$ 是一个随机变量,表示观察到的燃料消耗与预期燃料消耗之间的差异 $i^{\text {th }}$ 车辆。表 5.1.1 提供了 该燃料,速度、等级实验的示例数据集。在更一般的设置中,考虑一个随机变量的期望值的问题 $Y_i$ 假设 是一个线性组合 $p-1$ 不同的变量 $x_{i 1}, x_{i 2}, \ldots, x_{i, p-1}$. 那是,
$$
\mathrm{E}\left(Y_i\right)=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\cdots+\beta_{p-1} x_{i, p-1} .
$$
添加错误组件, $E_i$ ,来表示观测值之间的差异 $Y_i$ 和期望值 $Y_i$ 我们获得
$$
Y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i 1}+\cdots+\beta_{p-1} x_{i, p-1}+E_i .
$$

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考

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