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经济代写|博弈论代写Game Theory代考|The Cournot Duopoly of Quantity Competition
In this section, we discuss an economic model of competition between two competing firms who choose the quantity of their product, where the price decreases with the total quantity on the market. It is also called a Cournot duopoly named after Augustin Cournot (1838) who proposed this model, nowadays described as a game with an equilibrium. In this game, the strategy sets of the players are infinite. Finite versions of the game are dominance solvable, and in principle also the infinite version, as we describe at the end of this section.
The players I and II are two firms who choose a nonnegative quantity of producing some good up to some upper bound $M$, say, so $S_1=S_2=[0, M]$. Let $x$ and $y$ be the strategies chosen by player I and II, respectively. For simplicity there are no costs of production, and the total quantity $x+y$ is sold at a price $12-(x+y)$ per unit, which is also the firm’s profit per unit, so the payoffs $a(x, y)$ and $b(x, y)$ to players $\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ are given by
payoff to I : $\quad a(x, y)=x \cdot(12-y-x)$,
payoff to II : $\quad b(x, y)=y \cdot(12-x-y)$.
$\Rightarrow$ Exercise $3.3$ describes an extension that incorporates production costs.
The game (3.6) is clearly symmetric in $x$ and $y$. Figure $3.8$ shows a finite version of this game where the players’ strategies are restricted to the four quantities 0 ,3,4 , or 6 . The payoffs are determined by (3.6). For example, for $x=3$ and $y=4$ player I gets payoff 15 and player II gets 20 . Best-response payoffs, as determined by this payoff table, are marked by boxes. The game has the unique equilibrium $(4,4)$ where each player gets payoff 16.
Figure $3.9$ shows that the game can be solved by iterated elimination of dominated strategies. In the $4 \times 4$ game, strategy 0 is dominated by 3 or 4 , and after eliminating it directly for both players one obtains the $3 \times 3$ game shown on the left in Figure 3.9. In that game, strategy 6 is dominated by 4 , and after eliminating this strategy for both players the middle $2 \times 2$ game is reached. This game has the structure of a Prisoner’s Dilemma game because 4 dominates 3 (so that 3 will be eliminated), but the final strategy pair of undominated strategies $(4,4)$ gives both players a lower payoff than the strategy pair $(3,3)$. Here the Prisoner’s Dilemma arises in an economic context: The two firms could cooperate by equally splitting the optimal “monopoly” quantity 6, but in response the other player would “defect” and choose 4 rather than 3 . If both players do this, the total quantity 8 reduces the price to 4 and both players have an overall lower payoff.
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Games without a Pure-Strategy Equilibrium
Not every game has an equilibrium in pure strategies. Figure $3.12$ shows two well-known examples. In Matching Pennies, the two players reveal a penny which can show Heads $(H)$ or Tails $(T)$. If the pennies match, then player I wins the other player’s penny, otherwise player II. No strategy pair can be stable because the losing player would always deviate.
Rock-Paper-Scissors is a $3 \times 3$ game where both players choose simultaneously one of their three strategies Rock $(R)$, Paper $(P)$, or Scissors $(S)$. Rock loses to Paper, Paper loses to Scissors, and Scissors lose to Rock, and it is a draw otherwise. No two strategies are best responses to each other. Like Matching Pennies, this is a zero-sum game because the payoffs in any cell of the table sum to zero. Unlike Matching Pennies, Rock-Paper-Scissors is symmetric. Hence, when both players play the same strategy (the cells on the diagonal), they get the same payoff, which is zero because the game is zero-sum.
The game-theoretic recommendation is to play randomly in games like Matching Pennies or Rock-Paper-Scissors that have no equilibrium, according to certain probabilities that depend on the payoffs. As we will see in Chapter 6, any finite game has an equilibrium when players are allowed to use randomized strategies.
博弈论代考
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|The Cournot Duopoly of Quantity Competition
在本节中，我们讨论了两个竞争企业之间竞争的经济模型，这些企业选择了他们的产品数量，其中价格随着市场上的总数量而下降。它也被称为古诺双头垄断，以奥古斯丁古诺（Augustin Cournot，1838 年）的名字命名，他提出了这个模型，现在被描述为具有均衡的博弈。在这个游戏中，玩家的策略集是无限的。正如我们在本节末尾所描述的，游戏的有限版本是优势可解的，原则上也是无限版本的。
参与者 I 和 II 是两家公司，他们选择生产某种商品的非负数量达到某个上限米， 这样说的小号1=小号2=[0,米]. 让X和是分别是玩家 I 和 II 选择的策略。为简单起见，没有生产成本，总数量X+是以一定的价格出售12−(X+是)每单位，这也是公司每单位的利润，所以收益一个(X,是)和b(X,是)给玩家我和我我由
支付给 I ：一个(X,是)=X⋅(12−是−X),
支付给 II :b(X,是)=是⋅(12−X−是).
⇒锻炼3.3描述了包含生产成本的扩展。
博弈（3.6）显然是对称的X和是. 数字3.8显示了这个游戏的一个有限版本，其中玩家的策略被限制在四个数量 0 ,3,4 或 6 中。收益由（3.6）确定。例如，对于X=3和是=4玩家 I 获得收益 15 ，玩家 II 获得 20 。由该收益表确定的最佳响应收益由方框标记。游戏具有独特的均衡(4,4)每个玩家获得 16 的回报。
数字3.9表明该博弈可以通过迭代消除主导策略来解决。在里面4×4游戏中，策略 0 由 3 或 4 主导，在双方直接消除后，一个获得3×3游戏如图 3.9 左侧所示。在那场比赛中，策略 6 由 4 主导，并且在为双方玩家消除此策略后，中间2×2游戏到达。该博弈具有囚徒困境博弈的结构，因为 4 支配 3（因此 3 将被淘汰），但最终策略对是非支配策略(4,4)给予双方玩家比策略对更低的收益(3,3). 这里的囚徒困境出现在经济背景下：两家公司可以通过平分最优“垄断”数量 6 来合作，但作为回应，另一方将“背叛”并选择 4 而不是 3。如果两个玩家都这样做，总数量 8 将价格降低到 4，并且两个玩家的总体收益都较低。
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Games without a Pure-Strategy Equilibrium
并非每场博弈都有纯策略均衡。数字3.12展示了两个众所周知的例子。在 Matching Pennies 中，两名玩家展示一个可以显示正面的便士(H)或尾巴(吨). 如果硬币匹配，则玩家 I 赢得其他玩家的便士，否则玩家 II。没有策略对是稳定的，因为失败的玩家总是会偏离。
石头剪刀布是3×3两个玩家同时选择他们的三种策略之一的游戏 Rock(R)， 纸(磷), 或剪刀(小号). Rock输给Paper，Paper输给Scissors，Scissors输给Rock，否则就是平局。没有两种策略是对彼此的最佳反应。就像匹配便士一样，这是一个零和游戏，因为表格中任何单元格的收益总和为零。与匹配便士不同，石头剪刀布是对称的。因此，当两个玩家玩相同的策略（对角线上的单元格）时，他们得到相同的收益，因为游戏是零和游戏，所以收益为零。
博弈论的建议是，根据取决于收益的某些概率，在没有平衡的游戏中随机玩，比如匹配便士或石头剪刀布。正如我们将在第 6 章中看到的，当允许玩家使用随机策略时，任何有限博弈都会达到均衡。
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