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经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Symmetric Games with Two Strategies per Player
In this section, we consider $N$-player games that, somewhat surprisingly, always have a pure equilibrium, namely symmetric games where each player has only two strategies.
An $N$-player game is symmetric if each player has the same set of strategies, and if the game stays the same after any permutation (shuffling) of the players and, correspondingly, their payoffs. For two players, this means that the game stays the same when exchanging the players and their payoffs, visualized by reflection along the diagonal.
We now consider symmetric $N$-player games where each player has two strategies, which we call 0 and 1 . Normally, any combination of these strategies defines a separate strategy profile, so there are $2^N$ profiles, and each of them specifies a payoff to each player, so the game is defined by $N \cdot 2^N$ payoffs. If the game is symmetric, vastly fewer payoffs are needed. Then a strategy profile is determined by how many players choose 1 , say $k$ players (where $0 \leq k \leq N$ ), and then the remaining $N-k$ players choose 0 , so the profile can be written as
$$
(\underbrace{1, \ldots, 1}k, \underbrace{0, \ldots, 0}{N-k}) .
$$
Because the game is symmetric, any profile where $k$ players choose 1 has to give the same payoff as (3.12) to any player who chooses 1 , and a second payoff to any player who chooses 0 . Hence, we need only two payoffs for these profiles (3.12) when $1 \leq k \leq N-1$. When $k=0$ then the profile is $(0, \ldots, 0)$ and all players play the same strategy 0 and only one payoff is needed, and similarly when $k=N$ where all players play 1 . Therefore, a symmetric $N$-player game with two strategies per player is specified by only $2 \mathrm{~N}$ payoffs.
Proposition 3.7. Consider a symmetric N-player game where each player has two strategies, 0 and 1 . Then this game has a pure equilibrium. The strategy profile $(1,1, \ldots, 1)$ is the unique equilibrium of the game if and only if 1 dominates 0 .
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The display of staggered payoffs in the lower left and upper right of each cell in the payoff table is due to Thomas Schelling. In 2005, he received, together with Robert Aumann, the Nobel memorial prize in Economic Sciences (officially: The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel) “for having enhanced our understanding of conflict and cooperation through game-theory analysis.” According to Dixit and Nalebuff (1991, p. 90), he said with excessive modesty: “If I am ever asked whether I ever made a contribution to game theory, I shall answer yes. Asked what it was, I shall say the invention of staggered payoffs in a matrix.”
The strategic form is taught in every course on non-cooperative game theory (it is sometimes called the “normal form”, now less used in game theory because “normal” is an overworked term in mathematics). Osborne (2004) gives careful historical explanations of the games considered in this chapter, including the original duopoly model of Cournot (1838), and many others. Our Exercise $3.4$ is taken from that book. Gibbons (1992) shows that the Cournot game is dominance solvable, with less detail than our proof of Proposition 3.6. Both Osborne and Gibbons disregard Schelling and use comma-separated payoffs as in (3.1).
The Cournot game in Section $3.6$ is also a potential game with a strictly concave potential function, which has a unique maximum and therefore a unique equilibrium. Neyman (1997) showed that it is also a unique correlated equilibrium (see Chapter 12). Potential games (Monderer and Shapley, 1996) generalize games with a potential function such as the congestion games considered in Section $2.5$.
A classic survey of equilibrium refinements is van Damme (1987). Proposition $3.7$ seems to have been shown first by Cheng, Reeves, Vorobeychik, and Wellman (2004, theorem 1).
博弈论代考
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Symmetric Games with Two Strategies per Player
在本节中，我们考虑 $N$ – 玩家游戏，有点令人惊讶的是，总是有一个纯粹的均衡，即每个玩家只有两种策 略的对称游戏。
一个 $N$ – 玩家博亦是对称的，如果每个玩家都有相同的策略集，并且如果在玩家的任何排列 (洗牌) 以及 相应的他们的收益之后游戏保持不变。对于两个玩家，这意味着在交换玩家和他们的收益时，游戏保持 不变，通过沿对角线的反射可视化。
我们现在考虑对称 $N$-玩家游戏，每个玩家有两种策略，我们称之为 0 和 1。通常，这些策略的任何组合 都会定义一个单独的策略配置文件，因此有 $2^N$ 配置文件，并且每个配置文件都为每个玩家指定了收益， 因此游戏定义为 $N \cdot 2^N$ 回报。如果博亦是对称的，则需要的收益要少得多。然后策略配置文件取决于有 多少玩家选择 1 ，比如说 $k$ 玩家 (在哪里 $0 \leq k \leq N$ )，然后剩下的 $N-k$ 玩家选择 0 ，所以配置文件可 以写为
$$
(\underbrace{1, \ldots, 1} k, \underbrace{0, \ldots, 0} N-k) .
$$
因为游戏是对称的，所以任何轮廓 $k$ 选择 1 的玩家必须给任何选择 1 的玩家提供与 (3.12) 相同的收益，并 为选择 0 的任何玩家提供第二个收益。因此，当这些配置文件 (3.12) 时，我们只需要两个收益 $1 \leq k \leq N-1$. 什么时候 $k=0$ 那么配置文件是 $(0, \ldots, 0)$ 并且所有玩家都玩相同的策略 0 并且只需要 一个收益，并且类似地当 $k=N$ 所有玩家都玩 1 。因此，一个对称的 $N$ – 每个玩家有两种策略的玩家游 戏仅由 2 N回报。
提案 3.7。考虑一个对称的 $\mathrm{N}$ 玩家游戏，其中每个玩家有两种策略， 0 和 1 。那么这个博亦就有了一个纯 粹的均衡。战略概兄 $(1,1, \ldots, 1)$ 是博変的唯一均衡当且仅当 1 支配 0 。
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在支付表中每个单元格的左下角和右上角显示交错的支付是由于 Thomas Schelling。2005 年，他与罗伯特·奥曼 (Robert Aumann) 一起获得了诺贝尔经济学奖（官方名称：瑞典央行纪念阿尔弗雷德·诺贝尔经济科学奖）“通过博弈论分析增强了我们对冲突与合作的理解。 ” 根据 Dixit 和 Nalebuff (1991, p. 90) 的说法，他过于谦虚地说：“如果有人问我是否对博弈论做出过贡献，我会回答是。当被问及它是什么时，我会说矩阵中交错收益的发明。”
战略形式在非合作博弈论的每门课程中都有教授（它有时被称为“正常形式”，现在在博弈论中较少使用，因为“正常”在数学中是一个过度使用的术语）。Osborne (2004) 对本章所考虑的博弈进行了仔细的历史解释，包括 Cournot (1838) 的原始双头垄断模型和许多其他模型。我们的运动3.4取自那本书。Gibbons (1992) 表明 Cournot 博弈是优势可解的，其细节少于我们对命题 3.6 的证明。Osborne 和 Gibbons 都忽略了 Schelling 并使用逗号分隔的收益，如 (3.1) 中所示。
部分中的古诺游戏3.6也是具有严格凹势函数的势博弈，具有唯一的最大值，因此具有唯一的均衡。Neyman (1997) 表明它也是一个独特的相关均衡（见第 12 章）。潜在博弈 (Monderer and Shapley, 1996) 概括了具有潜在功能的博弈，例如第 1 节中考虑的拥塞博弈2.5.
van Damme (1987) 是对均衡细化的经典调查。主张3.7Cheng, Reeves, Vorobeychik, and Wellman (2004, theorem 1) 似乎首先证明了这一点。
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