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经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Game Trees with Perfect Information

This chapter considers game trees, the second main way for defining a noncooperative game in addition to the strategic form. In a game tree, players move sequentially and (in the case of perfect information studied in this chapter) are aware of the previous moves of the other players. In contrast, in a strategic-form game players move simultaneously. In this “dynamic” setting, a play means a specific run of the game given by a sequence of actions of the players.

A game tree is described by a tree whose nodes represent possible states of play. Some nodes are chance nodes where the next node is determined randomly according to a known probability distribution. A decision node belongs to a player who makes a move to determine the next node. Play ends at a terminal node or leaf of the game tree where each player receives a payoff.

Game trees can be solved by backward induction, where one finds optimal moves for each player, given that all future moves have already been determined. Backward induction starts with the decision nodes closest to the leaves, and assumes that a player always makes a payoff-maximizing move. Such a move is in general not unique, so that the players’ moves determined by backward induction may be interdependent (see Figure 4.4).

A strategy in a game tree is a derived concept. A strategy defines a move at every decision node of the player and therefore a plan of action for every possible state of play. Any strategy profile therefore defines a payoff to each player (which may be an expected payoff if there are chance moves), which defines the strategic form of the game.

Because every strategy is a combination of moves, the number of strategies in a game tree is very large. Reduced strategies reduce this number to some extent. In a reduced strategy, moves at decision nodes that cannot be reached due to an earlier own of the player are left unspecified.

Backward induction defines a strategy profile which is an equilibrium of the game (Theorem 4.6). This is called a subgame-perfect equilibrium (SPE) because it defines an equilibrium in every subgame. (In a game tree with perfect information,a subgame is just a subtree of the game. In games with imperfect information, treated in Chapter 10 , an SPE can in general not be found by backward induction.)

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Prerequisites and Learning Outcomes

Chapter 3 is a prerequisite for this chapter. Chapter 1 is not, although combinatorial games are sequential games with perfect information as considered here, and therefore illustrative examples. We will recall the mathematical concepts of directed graphs and trees, and of the expected value of a random variable, as background material.
After studying this chapter, you should be able to

• interpret game trees with their moves and payoffs;
• create the strategies of a player as combinations of moves, and know how to count them;
• combine strategies into reduced strategies, which identify moves at decision nodes that are unreachable due to an earlier own move of the player, and understand where the corresponding “wildcard” symbol ” ${ }^{\prime \prime}$ ” is placed in the move list that represents the strategy;
• write down the strategic form of a game tree, with players’ payoffs in the correct place in each cell, and with computed expected payoffs if needed;
• explain backward induction and why it requires full (unreduced) strategies, which may not be unique;
• construct any equilibrium, even if not subgame-perfect, directly from the game tree, also for more than two players, as in Exercise 4.5;
• create the commitment game from a game in strategic form, and compare its subgame-perfect equilibria with the equilibria in the strategic form.

博弈论代考

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Game Trees with Perfect Information

本章考虑博弈树，这是除了战略形式之外定义非合作博弈的第二种主要方式。在博弈树中，玩家顺序移动并且（在本章研究的完美信息的情况下）知道其他玩家之前的移动。相反，在战略形式的游戏中，玩家同时移动。在这种“动态”设置中，游戏意味着由玩家的一系列动作给出的特定游戏运行。

一棵博弈树由一棵树来描述，其节点代表可能的游戏状态。一些节点是机会节点，其中下一个节点是根据已知概率分布随机确定的。决策节点属于进行移动以确定下一个节点的玩家。游戏在博弈树的终端节点或叶节点处结束，每个玩家在此获得回报。

博弈树可以通过反向归纳法来解决，在假设所有未来的移动都已经确定的情况下，可以为每个玩家找到最佳移动。反向归纳从最靠近叶子的决策节点开始，并假设玩家总是做出最大化收益的移动。这样的走法通常不是唯一的，因此由反向归纳法确定的棋手的走法可能是相互依赖的（见图 4.4）。

博弈树中的策略是一个派生的概念。策略定义了玩家每个决策节点的移动，因此定义了每个可能的游戏状态的行动计划。因此，任何策略配置文件都定义了每个玩家的收益（如果有机会移动，这可能是预期收益），它定义了游戏的策略形式。

因为每个策略都是移动的组合，所以博弈树中的策略数量非常多。减少策略在一定程度上减少了这个数字。在简化策略中，由于玩家较早拥有而无法到达的决策节点处的移动未指定。

反向归纳定义了一个策略配置文件，它是博弈的均衡（定理 4.6）。这被称为子博弈完美均衡（SPE），因为它定义了每个子博弈中的均衡。（在具有完全信息的博弈树中，子博弈只是博弈的子树。在第 10 章讨论的信息不完全博弈中，通常不能通过反向归纳找到 SPE。）

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Prerequisites and Learning Outcomes

第 3 章是本章的先决条件。第 1 章不是，尽管组合博弈是具有完美信息的序列博弈，如这里所考虑的，因此是说明性示例。我们将回忆有向图和树的数学概念，以及作为背景材料的随机变量的期望值。
学完本章，你应该能够

• 用他们的动作和回报来解释游戏树；
• 将玩家的策略创建为移动的组合，并知道如何计算它们；
• 将策略组合成简化策略，识别由于玩家之前自己的移动而无法到达的决策节点处的移动，并了解相应的“通配符”符号在哪里′′” 放置在代表策略的移动列表中；
• 写下博弈树的战略形式，在每个单元格的正确位置写下玩家的收益，并在需要时计算预期收益；
• 解释反向归纳以及为什么它需要完整（非简化）策略，这可能不是唯一的；
• 直接从博弈树构建任何均衡，即使不是子博弈完美的，也适用于两个以上的玩家，如练习 4.5 中所示；
• 从战略形式的博弈创建承诺博弈，并将其子博弈完美均衡与战略形式的均衡进行比较。

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