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数学代写|概率论代写Probability theory代考|STABLE DISTRIBUTION
A random variable $\mathrm{X}$ is defined as stable distribution if for any two independent copies $\mathrm{X}1, \mathrm{X}_2$ and for any two positive numbers $\mathrm{a}$ and $\mathrm{b}$, there exist a positive number $\mathrm{c}$ and a real number $\mathrm{d}$ such that $\mathrm{a} \mathrm{X}_1+\mathrm{bX} \mathrm{X}_2$ and $\mathrm{c} \mathrm{X}+\mathrm{d}$ are identically distributed. If $\mathrm{d}=0$, then we say $\mathrm{X}$ is strictly stable. .An alternative definition of stable random variable is as follows. Suppose $X_1$, $X_2, \ldots, X_n$ are independent copies of $X$, then for $\mathrm{n} \geq 2, \mathrm{~W}=X_1+X_2+\ldots . .+X_n$ and $\mathrm{c}{\mathrm{n}} \mathrm{X}+\mathrm{d}$ are identically distributed. The normal, Cauchy and Levy distributions have closed form stable distribution.
If $\mathrm{X}$ is standard normal, then $\frac{X x_1+X_2+\cdots+X_n}{\sqrt{n}}$ is standard normal. If $\mathrm{X}$ is standard Cauchy, then $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$ is standard Cauchy. If $\mathrm{X}$ is standard Levy, then $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n^2}$ is standard Levy. If $\mathrm{X}$ has standard normal, then $c_n=\sqrt{n}$ and $d=0$.
If $\mathrm{X}$ has standard Cauchy distribution, then $\mathrm{c}{\mathrm{n}}=\mathrm{n}$ and $\mathrm{d}=0$ If $\mathrm{X}$ has $\mathrm{r}$ standard Levy distribution, then $c_n=n^2$ and $\mathrm{d}{\mathrm{n}}=0$.
数学代写|概率论代写Probability theory代考|STUDENT T-DISTRIBUTION
A random variable $\mathrm{X}$ has the Student-t distribution if the pdf is as follows.
$$
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\sqrt{\pi} B\left(\frac{m}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}\left(\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-(n+1) / 2},-\infty0 .\right.
$$
$\mathrm{n}$ is known as degrees of freedom, We denote the Student-t distribution with $\mathrm{n}$ degrees of freedom as ST(n).
The pdfs of, ST(1), ST(3) and ST(24) are given in Figure 4.17.
Mean $\quad 0$ if $\mathrm{n}>1$, undefined for $\mathrm{n}=1$
Variance $\frac{n}{n-2}, n>2$
Moment about the origin $\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{\mathrm{k}}\right)=0$ if $\mathrm{k}$ is odd
$$
=\prod_{i=0}^{k / 2} \frac{2 i-1}{n=2 i}
$$
Moment generating function does not exist.
Characteristic function $\quad \psi_n(t)-\frac{1}{\pi \Gamma(n / 2)}\left(\frac{|t|}{2 \sqrt{n}}\right)^{n / 2} Y_{n / 2}\left(\frac{|t|}{\sqrt{n}}\right)$
where $\mathrm{Y}_{\mathrm{n} / 2}($.$) is the Bessel function of the second kind$
概率论代考
数学代写|概率论代写Probability theory代考|STABLE DISTRIBUTION
随机变量 $\mathrm{X}$ 如果对于任何两个独立副本，则定义为稳定分布 $\mathrm{X} 1, \mathrm{X}_2$ 对于任意两个正数 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ ，存在一个正 数c和一个实数 $\mathrm{d}$ 这样 $\mathrm{a} \mathrm{X}_1+\mathrm{bXX} \mathrm{X}_2$ 和 $\mathrm{CX}+\mathrm{d}$ 是同分布的。如果 $\mathrm{d}=0$ ，那么我们说 $\mathrm{X}$ 是严格稳定的。. 稳定随机变量的另一种定义如下。认为 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立的副本 $X$ ，那么对于 $\mathrm{n} \geq 2, \mathrm{~W}=X_1+X_2+\ldots .+X_n$ 和 $\mathrm{cnX}+\mathrm{d}$ 是同分布的。正态分布、Cauchy 分布和 Levy 分布具 有闭合形式的稳定分布。
如果X是标准正常的，那么 $\frac{X x_1+X_2+\cdots+X_n}{\sqrt{n}}$ 是标准正常的。如果X是标准的柯西，那么 $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$ 是 标准的柯西。如果X是标准征费，那么 $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n^2}$ 是标准的征费。如果X有标准正常，那么 $c_n=\sqrt{n}$ 和 $d=0$.
如果 $\mathrm{X}$ 有标准柯西分布，则 $\mathrm{cn}=\mathrm{n}$ 和 $\mathrm{d}=0$ 如果 $\mathrm{X}$ 有 $\mathrm{r}$ 标准 Levy 分布，则 $c_n=n^2$ 和 $\mathrm{dn}=0$.
数学代写|概率论代写Probability theory代考|STUDENT T-DISTRIBUTION
随机变量 X如果 pdf 如下所示，则具有 Student- $t$ 分布。
$$
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\sqrt{\pi} B\left(\frac{m}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}\left(\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-(n+1) / 2},-\infty 0 .\right.
$$
$\mathrm{n}$ 被称为自由度，我们将 Student-t 分布表示为 $n$ 自由度为 $\mathrm{ST}(\mathrm{n})$ 。
图 4.17 给出了 $\mathrm{ST}(1) 、 \mathrm{ST}(3)$ 和 $\mathrm{ST}(24)$ 的 pdf。
意思是 0 如果 $n>1$, 末定义 $n=1$
方差 $\frac{n}{n-2}, n>2$
关于起源的时刻 $\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{\mathrm{k}}\right)=0$ 如果 $\mathrm{k}$ 很奇怪
$$
=\prod_{i=0}^{k / 2} \frac{2 i-1}{n=2 i}
$$
力矩生成函数不存在。
特色功能 $\quad \psi_n(t)-\frac{1}{\pi \Gamma(n / 2)}\left(\frac{|t|}{2 \sqrt{n}}\right)^{n / 2} Y_{n / 2}\left(\frac{|t|}{\sqrt{n}}\right)$
在哪里 $Y_{n / 2}$ (.)istheBesselfunctionofthesecondkind
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