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数学代写|概率论代写Probability theory代考|UNIFORM DISTRIBUTION
The $\operatorname{pdf} \mathrm{f}(\mathrm{x})$ of the uniform distribution is given below.
$$
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{b-a},-\infty<a \leq x \leq b<\infty
$$
The uniform distribution with the above pdf is denoted by $\mathrm{U}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$. The pdf of $\mathrm{U}(0,5)$ is given in Figure 4.18.
Mean $\frac{a+b}{2}$
Variance $\frac{(b-a)^2}{1}$
n-th moment about 0
$$
E\left(X^{\mathrm{n}}\right) \frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n a^i b^{n-i}
$$
Moment generating function $\mathrm{M}(\mathrm{t})=\frac{e^{b t}-e^{a t}}{t(b-a)}$
Characteristic function $\varphi(t)=\frac{e^{i b t}-e i^{a t}}{i t(b-a)}$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|DEFINITIONS AND EXAMPLES
Up to these times we basically dealt with random objects representing independent random variables. For example, for working with the sequence of independent variables $\xi_1, \xi_2, \ldots$ it is often enough to know the set of the distribution functions or the corresponding characteristic functions. Our reader remembers that in this case work with sums of independent summands is not essentially complicated: it is enough to remember that this sum corresponds to a product of characteristic functions, and if a product of such independent variables is given, then we can remember that the expected value of such a product is expressed simply in terms of products of individual mean values (if they exist) of the random factors. It becomes essentially more unpleasant to deal with dependent random variables, even if this dependence is not so complicated. In this case, for example, already for finding the dispersion of a sum of several dependent summands not only variances of the individual summands should be known but also all the mixed moments as covariances of these random variables. So, prima facie the situation becomes rather wonderful when dealing with a set of independent variables we consciously go to regarding some random variable transformations leading to wittingly dependent random objects. Order statistics ärc an cxample of such objcets.
1) Let there be a batch of some details (for example, incandescent light bulbs), that must satisfy some standards (for example, the mean time of work should be not less than some value $t$ ). The question is dealt about dealing this batch from a seller to a customer. How can the seller persuade the customer in the compliance of the production to the standard? The simplest thing is to display all the details to the test bench, to get all the data amount their longevity, to count the average longevity and to say that this concrete batch that became broken satisfied all the necessary quantities and qualities. Here two problems arise. One problem: there is nothing to be bought. Another problem: the divergence of the lifetimes of the bulbs can be very great and the customer may not expect the end of the experiment. What is to be done in this situation? First, it is known that methods of mathematical statistics allow us to test only some representatives of the production, such as the number $n$. We can obtain the exact lifetimes $t_l, \ldots, t_n$ of these $n$ details and to use the corresponding statistical methods to verify the hypothesis about the needed quality of all the production. However, a “temporary” problem also arises here. Some of the lamps may soon be broken, while others may be very longevously. But the customer already has booked the means of delivering production into his enterprise. It is good that some bulbs (but not all, for example, $m$ of $n$ bulbs) have already burned out. Let $t_{l, n}<t_{2, n}<\ldots<t_{m, n}$ be the lifetimes of the bulbs.
概率论代考
数学代写|概率论代写Probability theory代考|UNIFORM DISTRIBUTION
这 $\operatorname{pdff}(\mathrm{x})$ 下面给出均匀分布。
$$
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{b-a},-\infty<a \leq x \leq b<\infty
$$
上述 $p d f$ 的均匀分布表示为 $U(a, b)$. 的 $p d f U(0,5)$ 如图 $4.18$ 所示。
意思是 $\frac{a+b}{2}$
方差 $\frac{(b-a)^2}{1}$
第 $n$ 时刻约 0
$$
E\left(X^{\mathrm{n}}\right) \frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n a^i b^{n-i}
$$
力矩生成函数 $\mathrm{M}(\mathrm{t})=\frac{e^{b t}-e^{a t}}{t(b-a)}$
特色功能 $\varphi(t)=\frac{e^{i b t}-e e^{i t}}{i t(b-a)}$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|DEFINITIONS AND EXAMPLES
到目前为止，我们基本上处理的是代表独立随机变量的随机对象。例如，用于处理自变量序列X1,X2,…知道分布函数的集合或相应的特征函数通常就足够了。我们的读者记得，在这种情况下，使用独立和的和并不复杂：记住这个和对应于特征函数的乘积就足够了，如果给定了这些独立变量的乘积，那么我们可以记住这种产品的期望值简单地用随机因素的单个平均值（如果存在）的产品来表示。处理因随机变量本质上变得更加不愉快，即使这种依赖性并不那么复杂。在这种情况下，例如，为了找到几个从属被加数的总和的离散度，不仅应该知道各个被加数的方差，而且还应该知道所有混合矩作为这些随机变量的协方差。因此，表面上看，当处理一组自变量时，情况变得相当美妙，我们有意识地去处理一些导致有意依赖的随机对象的随机变量变换。订单统计是此类对象的一个示例。
1）假设有一批一些细节（例如白炽灯泡），必须满足一些标准（例如，平均工作时间应该不小于某个值吨）。问题是关于将这批从卖方到客户的交易。卖方如何说服客户生产符合标准？最简单的事情是在测试台上显示所有细节，获取所有数据来衡量它们的寿命，计算平均寿命，然后说这批破碎的混凝土满足了所有必要的数量和质量。这里出现了两个问题。一个问题：没有什么可买的。另一个问题：灯泡寿命的差异可能非常大，客户可能不会期望实验结束。在这种情况下该怎么办？首先，众所周知，数理统计方法只允许我们测试一些代表产品，例如数字n. 我们可以得到准确的生命周期吨l,…,吨n这些n详细信息并使用相应的统计方法来验证有关所有产品所需质量的假设。然而，这里也出现了一个“暂时”的问题。有些灯可能很快就坏了，而另一些可能会很长。但是客户已经预订了将生产交付到他的企业的方式。一些灯泡（但不是全部，例如，米的n灯泡）已经烧坏了。让吨l,n<吨2,n<…<吨米,n是灯泡的寿命。
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