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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Prime Number Theory
A positive integer $n>1$ is called prime if its only divisors are $n$ and 1 . A number that is not a prime is called composite.
Properties of Prime Numbers
(i) There are an infinite number of primes.
(ii) There is a prime number $p$ between $n$ and $n$ ! $+1$ such that $n0$, there exist $k$ consecutive composite integers).
Proof (i) Suppose there are a finite number of primes and they are listed as $p_1, p_2$, $p_3, \ldots, p_k$. Then consider the number $N$ obtained by multiplying all known primes and adding one. That is,
$$
N=p_1 p_2 p_3 \ldots p_k+1
$$
Clearly, $N$ is not divisible by any of $p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k$ since they all leave a remainder of 1 . Therefore, $N$ is either a new prime or divisible by a prime $q$ (that is not in the list of $p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k$ ).
This is a contradiction since this was the list of all the prime numbers, and so the assumption that there are a finite number of primes is false, and we deduce that there are an infinite number of primes.
Proof (ii) Consider the integer $N=n !+1$. If $N$ is prime then we take $p=N$. Otherwise, $\mathrm{N}$ is composite and has a prime factor $p$. We will show that $p>n$.
Suppose $p \leq n$ then $p \mid n !$ and since $p \mid N$ we have $p \mid n !+1$ and therefore $p \mid 1$, which is impossible. Therefore, $p>n$ and the result is proved.
Proof (iii) Let $p$ be the smallest prime divisor of $n$. Since $n$ is composite $n=u v$, and clearly $p \leq u$ and $p \leq v$. Then $p^2 \leq u v=n$ and so $p \leq \sqrt{n}$.
Proof (iv) Consider the $k$ consecutive integers $(k+1) !+2,(k+1) !+3, \ldots$, $(k+1) !+k,(k+1) !+k+1$. Then each of these is composite since $j \mid(k+1) !+j$ where $2 \leq j \leq k+1$.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Algorithms
An algorithm is a well-defined procedure for solving a problem, and it consists of a sequence of steps that takes a set of values as input, and produces a set of values as output. It is an exact specification of how to solve the problem, and it explicitly defines the procedure so that a computer program may implement the algorithm. The origin of the word ‘algorithm’ is from the name of the 9th Persian mathematician, Muhammad al-Khwarizmi.
It is essential that the algorithm is correct and that it terminates in a reasonable time. This may require mathematical analysis of the algorithm to demonstrate its correctness and efficiency, and to show that termination is within an acceptable time frame. There may be several algorithms to solve a problem, and so the choice of the best algorithm (e.g. fastest/most efficient) needs to be considered. For example, there are several well-known sorting algorithms (e.g. merge sort and insertion sort), and the merge sort algorithm is more efficient $[\mathrm{\alpha}(n \lg n)]$ than the insertion sort algorithm $\left[0\left(n^2\right)\right]$.
An algorithm may be implemented by a computer program written in some programming language (e.g. C++ or Java). The speed of the program depends on the algorithm employed, the input value(s), how the algorithm has been implemented in the programming language, the compiler, the operating system and the computer hardware.
An algorithm may be described in natural language (care is needed to avoid ambiguity), but it is more common to use a more precise formalism for its description. These include pseudo code (an informal high-level language description); flowcharts; a programming language such as $\mathrm{C}$ or Java; or a formal specification language such as VDM or $\mathrm{Z}$. We shall mainly use a natural language and pseudo code to describe an algorithm. Among the early algorithms developed was an algorithm to determine the prime numbers up to a given number $n$, and Euclid’s algorithm for determining the greatest common divisor of two natural numbers. These are discussed below.
离散数学代写
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Prime Number Theory
一个正整数 $n>1$ 如果它的唯一除数是 $n$ 和 1。不是溸数的数称为合数。
质数的性质
(i) 有无限个质数。
(ii) 有一个㭌数 $p$ 之间 $n$ 和 $n !+1$ 这样 $n 0$ ， 存在 $k$ 连续复合整数）。
证明 (i) 假设有有限数量的素数，它们被列为 $p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k$. 然后考虑数字 $N$ 通过将所有已知的䋏数 相乘并加一而获得。那是，
$$
N=p_1 p_2 p_3 \ldots p_k+1
$$
清楚地， $N$ 不能被任何一个整除 $p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k$ 因为他们都留下了 1 的余数。所以， $N$ 要么是一个新 的溸数，要么可以被一个塐数整除 $q$ （不在列表中 $p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k$ ）.
这是一个矛盾，因为这是所有嗉数的列表，因此存在有限个嗉数的假设是错误的，我们推断存在无限个 素数。
证明 (ii) 考虑整数 $N=n !+1$. 如果 $N$ 是素数，那么我们取 $p=N$. 否则， $\mathrm{N}$ 是复合的并且有一个质因数 $p$ 我们将证明 $p>n$.
认为 $p \leq n$ 然后 $p \mid n$ !并且因为 $p \mid N$ 我们有 $p \mid n !+1$ 因此 $p \mid 1$ ，这是不可能的。所以， $p>n$ 结果得到 证明。
证明 (iii) 让 $p$ 成为的最小主要因数 $n$. 自从 $n$ 是复合的 $n=u v$ ，并且很明显 $p \leq u$ 和 $p \leq v$. 然后 $p^2 \leq u v=n$ 所以 $p \leq \sqrt{n}$.
证明 (iv) 考虑 $k$ 连续整数 $(k+1) !+2,(k+1) !+3, \ldots,(k+1) !+k,(k+1) !+k+1$. 那么这些中的 每一个都是复合的，因为 $j \mid(k+1) !+j$ 在哪里 $2 \leq j \leq k+1$.
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Algorithms
算法是用于解决问题的明确定义的过程，它由一系列步骤组成，这些步骤将一组值作为输入，并产生一组值作为输出。它是如何解决问题的精确规范，它明确定义了程序，以便计算机程序可以实现该算法。“算法”一词的由来是波斯第 9 位数学家花拉子米的名字。
算法是正确的并且在合理的时间内终止是至关重要的。这可能需要对算法进行数学分析，以证明其正确性和效率，并表明终止在可接受的时间范围内。可能有几种算法可以解决一个问题，因此需要考虑选择最佳算法（例如最快/最有效）。例如，有几种众所周知的排序算法（如归并排序和插入排序），归并排序算法效率更高[一个(nlgn)]比插入排序算法[0(n2)].
算法可以由以某种编程语言（例如C++或Java）编写的计算机程序来实现。程序的速度取决于所采用的算法、输入值、算法在编程语言中的实现方式、编译器、操作系统和计算机硬件。
算法可以用自然语言来描述（需要注意避免歧义），但更常见的是使用更精确的形式来描述它。这些包括伪代码（一种非正式的高级语言描述）；流程图；一种编程语言，例如C或Java；或正式的规范语言，如 VDM 或从. 我们将主要使用自然语言和伪代码来描述算法。在早期开发的算法中，有一种算法可以确定给定数的素数n，以及欧几里得算法，用于确定两个自然数的最大公约数。这些将在下面讨论。
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