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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Euclid’s Algorithm

Euclid’s ${ }^4$ algorithm is one of the oldest known algorithms, and it provides a procedure for finding the greatest common divisor of two numbers. It appears in Book VII of Euclid’s Elements, and the algorithm was known prior to Euclid (Fig. 3.8).
Lemma
Let $a, b, q$ and $r$ be integers with $b>0$ and $0 \leq r<b$ such that $a=b q+r$. Then $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(b, r)$.

Proof Let $K=\operatorname{gcd}(a, b)$ and let $L=\operatorname{gcd}(b, r)$, and we therefore need to show that $K=L$. Suppose $m$ is a divisor of $a$ and $b$, then as $a=b q+r$ we have $m$ is a divisor of $r$ and so any common divisor of $a$ and $b$ is a divisor of $r$.

Similarly, any common divisor $n$ of $b$ and $r$ is a divisor of $a$. Therefore, the greatest common divisor of $a$ and $b$ is equal to the greatest common divisor of $b$ and $r$.

Theorem $3.4$ (Euclid’s Algorithm) Euclid’s algorithm for finding the greatest common divisor of two positive integers $a$ and $b$ involves applying the division algorithm repeatedly as follows:
$$
\begin{array}{lc}
a=b q_0+r_1 & 0<r_1<b \
b=r_1 q_1+r_2 & 0<r_2<r_1 \
r_1=r_2 q_2+r_3 & 0<r_3<r_2
\end{array}
$$
$$
\begin{aligned}
&r_{n-2}=r_{n-1} q_{n-1}+r_n \quad 0<r_n<r_{n-1} \
&r_{n-1}=r_n q_n .
\end{aligned}
$$

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Distribution of Primes

We already have shown that there are an infinite number of primes. However, most integer numbers are composite and a reasonable question to ask is how many primes are there less than a certain number. The number of primes less than or equal to $x$ is known as the prime distribution function (denoted by $\pi(x)$ ) and it is defined by $\pi(x)=\sum_{p \leq x} 1$ (where $p$ is prime).
The prime distribution function satisfies the following properties:
(i) $\lim {x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x}=0$ (ii) $\lim {x \rightarrow \infty} \pi(x)=\infty$.
The first property expresses the fact that most integer numbers are composite, and the second property expresses the fact that there are an infinite number of prime numbers.

There is an approximation of the prime distribution function in terms of the logarithmic function $\left({ }^x / \ln x\right)$ as follows:
$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x / \ln x}=1 \text { (Prime Number Theorem). }
$$
The approximation $x / \ln x$ to $\pi(x)$ gives an easy way to determine the approximate value of $\pi(x)$ for a given value of $x$. This result is known as the Prime Number Theorem, and Gauss originally conjectured this theorem.

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Euclid’s Algorithm

欧几里得 ${ }^4$ 算㳂是已知最古老的算法之一，它提供了一种寻找两个数的最大公约数的过程。它出现在 Euclid’s Elements 的第 VII 卷中，并且该算法在 Euclid 之前就已为人所知 (图 3.8)。 引理
让 $a, b, q$ 和 $r$ 是整数 $b>0$ 和 $0 \leq r<b$ 这样 $a=b q+r$. 然后 $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(b, r)$.
证明让 $K=\operatorname{gcd}(a, b)$ 然后让 $L=\operatorname{gcd}(b, r)$ ，因此我们需要证明 $K=L$. 认为 $m$ 是一个除数 $a$ 和 $b$ ，然后 作为 $a=b q+r$ 我们有 $m$ 是一个除数 $r$ 所以任何公约数 $a$ 和 $b$ 是一个除数 $r$.
同样，任何公约数 $n$ 的 $b$ 和 $r$ 是一个除数 $a$. 因此，最大公约数 $a$ 和 $b$ 等于最大公约数 $b$ 和 $r$.
定理3.4(Euclid’s Algorithm) 求两个正整数的最大公约数的欧几里德算法 $a$ 和 $b$ 包括重复应用除法算法如 下:
$$
a=b q_0+r_1 \quad 0<r_1<b b=r_1 q_1+r_2 \quad 0<r_2<r_1 r_1=r_2 q_2+r_3 \quad 0<r_3<r_2
$$
$$
r_{n-2}=r_{n-1} q_{n-1}+r_n \quad 0<r_n<r_{n-1} \quad r_{n-1}=r_n q_n .
$$

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Distribution of Primes

我们已经证明了素数的数量是无限的。然而，大多数整数都是合数，一个合理的问题是有多少质数小于 某个数字。质数个数小于或等于 $x$ 被称为素数分布函数（表示为 $\pi(x))$ 定义为 $\pi(x)=\sum_{p \leq x} 1$ (在哪里 $p$ 是嗉数)。
素数分布函数满足以下性质:
(i) $\lim x \rightarrow \infty \frac{\pi(x)}{x}=0$ (二) $\lim x \rightarrow \infty \pi(x)=\infty$.
第一个属性表达了大多数整数是合数的事实，第二个属性表达了有无限个嫊数的事实。
有一个以对数函数表示的綁数分布函数的近似值 $(x / \ln x)$ 如下:
$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x / \ln x}=1 \text { (Prime Number Theorem). }
$$
近似值 $x / \ln x$ 至 $\pi(x)$ 提供了一种确定近似值的简单方法 $\pi(x)$ 对于给定的值 $x$. 这个结果被称为素数定 理，高斯最初猜想了这个定理。

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