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In this chapter, we show how to piece together groups to make larger groups. In Chapter 9 , we will show that we can often start with one large group and decompose it into a product of smaller groups in much the same way as a composite positive integer can be broken down into a product of primes. These methods will later be used to give us a simple way to construct all finite Abelian groups.
Definition External Direct Product
Let $G_1, G_2, \ldots, G_n$ be a finite collection of groups. The external direct product of $G_1, G_2, \ldots, G_n$, written as $G_1 \oplus G_2 \oplus$ $\cdots \oplus G_n$, is the set of all $n$-tuples for which the $i$ th component is an element of $G_i$ and the operation is componentwise. is an element of $G_i$ and the operation is componentwise.
In symbols,
$$
G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots \oplus G_n=\left{\left(g_1, g_2, \ldots, g_n\right) \mid g_i \in G_i\right},
$$
where $\left(g_1, g_2, \ldots, g_n\right)\left(g_1^{\prime}, g_2^{\prime}, \ldots, g_n^{\prime}\right)$ is defined to be $\left(g_1 g_1^{\prime}, g_2 g_2^{\prime}, \ldots\right.$, $\left.g_n g_n^{\prime}\right)$. It is understood that each product $g_i g_i^{\prime}$ is performed with the operation of $G_i$. Note that in the case that each $G_i$ is finite, we have by properties of sets that $\left|G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots \oplus G_n\right|=$ $\left|G_1\right|\left|G_2\right| \cdots\left|G_n\right|$. We leave it to the reader to show that the external direct product of groups is itself a group (Exercise 1).

This construction is not new to students who have had linear algebra or physics. Indeed, $\mathbf{R}^2=\mathbf{R} \oplus \mathbf{R}$ and $\mathbf{R}^3=\mathbf{R} \oplus \mathbf{R} \oplus \mathbf{R}-$ the operation being componentwise addition. Of course, there is also scalar multiplication, but we ignore this for the time being, since we are interested only in the group structure at this point.
EXAMPLE 1
$$
\begin{aligned}
U(8) \oplus U(10)=&{(1,1),(1,3),(1,7),(1,9),(3,1),(3,3),\
&(3,7)(3,9)(5,1)(5,3)(5,7)(5,9), \
&(7,1)(7,3)(7,7)(7,9)}
\end{aligned}
$$
The product $(3,7)(7,9)=(5,3)$, since the first components are combined by multiplication modulo 8 , whereas the second components are combined by multiplication modulo 10 .

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We conclude this chapter with five applications of the material presented here – three to cryptography, the science of sending and deciphering secret messages, one to genetics, and one to electric circuits.

Because computers are built from two-state electronic components, it is natural to represent information as strings of 0 s and $1 \mathrm{~s}$ called binary strings. A binary string of length $n$ can naturally be thought of as an element of $Z_2 \oplus Z_2 \oplus \cdots \oplus Z_2$ (n copies) where the parentheses and the commas have been deleted. Thus the binary string 11000110 corresponds to the element $(1,1,0,0,0,1,1,0)$ in $Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_2$. Similarly, two binary strings $a_1 a_2 \cdots a_n$ and $b_1 b_2 \cdots b_n$ are added componentwise modulo 2 just as their corresponding elements in $Z_2 \oplus Z_2 \oplus \cdots \oplus Z_2$ are. For example,
$$
11000111+01110110=10110001
$$
and
$$
10011100+10011100+00000000 .
$$
The fact that the sum of two binary sequences $a_1 a_2 \cdots a_n+$ $b_1 b_2 \cdots b_n=00 \cdots 0$ if and only if the sequences are identical is the basis for a data security system used to protect Internet transactions.

Suppose that you want to purchase an item from Amazon. Need you be concerned that a hacker will intercept your creditcard number during the transaction? As you might expect, your credit-card number is sent to Amazon in a way that protects the data. We explain one way to send credit-card numbers over the Web securely. When you place an order with Amazon, the company sends your computer a randomly generated string of 0 ‘s and 1 ‘s called a key. This key has the same length as the binary string corresponding to your credit-card number and the two strings are added (think of this process as “locking” the data). The resulting sum is then transmitted to Amazon. Amazon in turn adds the string corresponding to your credit-card number (adding the key a second time “unlocks” the data).

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抽象代数代考

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在本章中,我们将展示如何将组拼湊成更大的组。在第 9 章中,我们将展示我们通常可以从一个大群开 始,然后将其分解为较小群的乘积,就像可以将复合正整数分解为素数的乘积一样。这些方法稍后将用 于为我们提供构造所有有限阿贝尔群的简单方法。
定义外部直接产品
让 $G_1, G_2, \ldots, G_n$ 是一组有限的集合。的外部直接产品 $G_1, G_2, \ldots, G_n$ ,写为 $G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots \oplus G_n$ ,
是所有的集合 $n$ – 元组 $i$ th 组件是 $G_i$ 并且操作是组件化的。是一个元素 $G_i$ 并且操作是组件化的。
在符号中,
在哪里 $\left(g_1, g_2, \ldots, g_n\right)\left(g_1^{\prime}, g_2^{\prime}, \ldots, g_n^{\prime}\right)$ 被定义为 $\left(g_1 g_1^{\prime}, g_2 g_2^{\prime}, \ldots, g_n g_n^{\prime}\right)$. 据了解,每款产品 $g_i g_i^{\prime}$ 与操作 执行 $G_i$. 请注意,在每个 $G_i$ 是有限的,我们有集合的性质 $\left|G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots \oplus G_n\right|=\left|G_1\right|\left|G_2\right| \cdots\left|G_n\right|$. 我们把它留给读者来证明群的外部直接产物本身就是一个群 (练习 1)。
这种结构对于学过线性代数或物理的学生来说并不陌生。的确, $\mathbf{R}^2=\mathbf{R} \oplus \mathbf{R}$ 和 $\mathbf{R}^3=\mathbf{R} \oplus \mathbf{R} \oplus \mathbf{R}-$ 该操作是按分量相加的。当然,还有标量乘法,但我们暂时忽略它,因为此时我们只对组结构感兴趣。 例 1
$\backslash$ begin{aligned} $U(8) \backslash$ 〈oplus $U(10)=\&{(1,1),(1,3),(1,7),(1,9),(3,1),(3,3) \backslash \backslash \&(3,7)(3,9)(5,1)(5,3)(5,7)(5,9), \backslash \&(7,1)(7,3)(7,7)(7,9)} \backslash$
产品 $(3,7)(7,9)=(5,3)$ ,因为第一个分量通过模8乘法组合,而第二分量通过模10乘法组合。

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我们以这里介绍的材料的五种应用作为本章的结尾一三种用于密码学,一种用于发送和破译秘密信息 的科学,一种用于遗传学,一种用于电路。
因为计算机是由两种状态的电子元件构成的,所以很自然地将信息表示为 0 和 $1 \mathrm{~s}$ 称为二进制字符串。长 度为二进制的字符串 $n$ 自然可以认为是 $Z_2 \oplus Z_2 \oplus \cdots \oplus Z_2(\mathrm{n}$ 份) 其中括号和逗号已被删除。因此二进 制字符串 11000110 对应于元綁 $(1,1,0,0,0,1,1,0)$ 在 $Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_2 \oplus Z_2$. 同样,两个二进制字符串 $a_1 a_2 \cdots a_n$ 和 $b_1 b_2 \cdots b_n$ 就像它们在 $Z_2 \oplus Z_2 \oplus \cdots \oplus Z_2$ 是。例如,
$11000111+01110110=10110001$

$10011100+10011100+00000000$.
两个二进制序列的和 $a_1 a_2 \cdots a_n+b_1 b_2 \cdots b_n=00 \cdots 0$ 当且仅当序列相同时,才是用于保护互联网交 易的数据安全系统的基础。
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