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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|The Rotation Group of a Cube and a Soccer Ball
It cannot be overemphasized that Theorem $7.4$ and Lagrange’s Theorem (Theorem 7.1) are counting theorems. ${ }^3$ They enable us to determine the numbers of elements in various sets. To see how Theorem $7.4$ works, we will determine the order of the rotation group of a cube and a soccer ball. That is, we wish to find the number of essentially different ways in which we can take a cube or a soccer ball in a certain location in space, physically rotate it, and then have it still occupy its original location.
- EXAMPLE 10 Let $G$ be the rotation group of a cube. Label the six faces of the cube 1 through 6 . Since any rotation of the cube must carry each face of the cube to exactly one other face of the cube and different rotations induce different permutations of the faces, $G$ can be viewed as a group of permutations on the set ${1,2,3,4,5,6}$. Clearly, there is some rotation about a central horizontal or vertical axis that carries face number 1 to any other face, so that $\left|\operatorname{orb}_G(1)\right|=6$. Next, we consider $\operatorname{stab}_G(1)$. Here, we are asking for all rotations of a cube that leave face number 1 where it is. Surely, there are only four such motions – rotations of $0^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ}$ and $270^{\circ}$ – about the line perpendicular to the face $0^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ}$, and $270^{\circ}$ – about the line perpendicular to the face and passing through its center (see Figure $7.2$ ). Thus, by Theorem and passing through its center (see Figure $7.2$ ). Thus, by Theorem $7.4,|G|=\left|\operatorname{orb}_G(1)\right|\left|\operatorname{stab}_G(1)\right|=6 \cdot 4=24$.
Now that we know how many rotations a cube has, it is simple to determine the actual structure of the rotation group of a cube. Recall that $S_4$ is the symmetric group of degree 4 .
数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|An Application of Cosets to the Rubik’s Cube
Recall from Chapter 5 that in 2010 it was proved via a computer computation, which took 35 CPU-years to complete, that every Rubik’s cube could be solved in at most 20 moves. To carry out this effort, the research team of Morley Davidson John Dethridge, Herbert Kociemba, and Tomas Rokicki applied a program of Rokicki, which built on early work of Kociemba, that checked the elements of the cosets of a subgroup $H$ of order $(8 ! \cdot 8 ! \cdot 4 !) / 2=$ $19,508,428,800$ to see if each cube in a position corresponding to the elements in a coset could be solved within 20 moves. In the rare cases where Rokicki’s program did not work, an alternate method was employed. Using symmetry considerations, they were able to reduce the approximately 2 billion cosets of $H$ to about 56 million cosets for testing. Cosets played a role in this effort because Rokicki’s program could handle the $19.5+$ billion elements in the same coset in about 20 seconds.
In this chapter, we show how to piece together groups to make larger groups. In Chapter 9, we will show that we can often start with one large group and decompose it into a product of smaller groups in much the same way as a composite positive integer can be broken down into a product of primes. These methods will later be used to give us a simple way to construct all finite Abelian groups.
抽象代数代考
数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Properties of Cosets
在本章中，我们将证明有限群论中最重要的一个定理一一拉格朗日定理。在他关于抽象代数的书中，IN Herstein 将其比作有限群的 $\mathrm{ABC}$ 。但首先我们介绍了一种用于分析群的新的强大工具一一陪集的概念。 这个概念是由伽罗瓦在 1830 年发明的，㞔管这个术语是由 GA Miller 在 1910 年创造的
- $H$ 在 $G$
让 $G$ 成为一个群体，让 $H$ 是的非空子集 $G$. 对于任何 $a \in G$ ，集合 $a h \mid h \in H$ 表示为 $a H$. 类似地， 称为左陪集 $H$ 在 $G$ 包含一个，而 $H a$ 被称为右陪集 $H$ 在 $G$ 包含 $a$. 在这种情况下，元素 $a$ 是表示集合中的元 嗉个数 $a H ，$ 和 $|H a|$ 来表示元㨞的数量 Ha. - 示例 1 让 $G=S_3$ 和 $H=(1),(13)$. 那么左陪集 $H$ 在 $G$ 是:
(1) $H=H_{\text {, }}$
(12) $H=(12),(12)(13)=(12),(132)=(132) H$
(13) $H=(13),(1)=H$
(23) $H=(23),(23)(13)=(23),(123)=(123) H$
$\backslash$ begin ${$ aligned $} R_{-} 0 \backslash$ mathcal ${K} \&=\backslash$ mathcal ${K}$, $\backslash R_{-}{90} \backslash$ mathcal ${K} \& L \backslash \backslash$ left $\left{R_{-}{90}, R_{-}{270} \backslash\right.$ right $}=R_{-}{270} \backslash$ mathcal ${K}$, $\backslash R_{-}{18$ - 例 3 让 $H=0,3,6$ 在 $Z_9$ 补充下。在组运算是加法的情况下，我们使用符号 $a+H$ 代替 $a H$. 然后的陪 集 $H$ 在 $Z_9$ 是
$$
0+H=0,3,6=3+H=6+H \quad 1+H=1,4,7=4+H=7+H 2+H=2,5,8=5+H=8
$$
前面的三个例子说明了一些值得我们关注的关于陪集的事实。首先，陪集通常不是子群。第二， $a H$ 可能 与 $b H$ ，虽然 $a$ 不一样 $b$. 三、由于在例一 (12) $H=(12),(132)$ 然而 $H(12)=(12),(123), a H$ 不必相 同 $H a$.
这些例子和观察提出了许㝖问题。什么时候 $a H=b H ?$ ? 做 $a H$ 和 $b H$ 有什么共同点吗? 什么时候 $a H=H a$ ? 哪些陪集是子群? 为什么陪护很重要? 下一个引理和定理回答了这些问题。（类似的结果适 用于右陪集。)
数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Lagrange’s Theorem and Consequences
此外，根据引理的属性 $1 ， a \in a H$. 因此，每个成员 $G$ 属于陪集之一 $a_i H$. 在符号中，
$$
G=a_1 H \cup \cdots \cup a_r H .
$$
现在，引理的性质 5 表明这个并集是不相交的，所以
$$
|G|=\left|a_1 H\right|+\left|a_2 H\right|+\cdots+\left|a_r H\right| .
$$
最后，由于 $\left|a_i H\right|=|H|$ 对于每个 $i$ ， 我们有 $|G|=r|H|$.
我们停下来强调拉格朗日定理是一个子群候选标准；也就是说，它提供了一个组的子组顺序的候选列 表。因此，一组 12 阶可能具有阶的子组 $12,6,4,3,2,1$ ，但没有其他人。警告！拉格朗日定理的逆是错 误的。例如，12 阶的组不需要具有 6 阶的子组。我们在示例 5 中证明了这一点。
正如我们将在后面的章节中看到的，有几个定理可以保证有限群中某些特定阶的子群的存在。
一个群中一个子群的左 (或右) 陪集的数量采用了一个特殊的名称和符号。子组的索引 $H$ 在 $G$ 是不同左 陪集的数量 $H$ 在 $G$. 这个数字表示为 $|G: H|$. 作为拉格朗日定理证明的直接结果，我们有以下有用的公式 来计算不同左 (或右) 陪集的数量 $H$ 在 $G$.
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