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数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|INTEREST PAYABLE pTHLY
Suppose that, as in the preceding chapter, the force of interest per unit time is constant and equal to $\delta$. Let $i$ and $d$ be the corresponding rates of interest and discount, respectively. In Section $3.1$ we showed that $d$ payable at time 0, $i$ payable at time 1 , and $\delta$ payable continuously at a constant rate over the time interval $[0,1]$ all have the same value (on the basis of the force of interest $\delta$ ). Each of these payments may be regarded as the interest for the period $[0,1]$ payable on a loan of 1 made at time $t=0$.
Suppose, however, that a borrower, who is lent 1 at time $t=0$ for repayment at time $t=1$, wishes to pay the interest on his loan in pequal installments over the interval. How much interest should he pay? This question motivates what follows.
We define $i^{(p)}$ to be that total amount of interest, payable in equal installments at the end of each $p$ th subinterval (i.e., at times $1 / p, 2 / p, 3 / p, \ldots, 1$ ), which has the same value as each of the interest payments just described. Likewise, we define $d^{(p)}$ to be that total amount of interest, payable in equal installments at the start of each $p$ th subinterval (i.e., at times $0,1 / p, 2 / p, \ldots \ldots(p-1) / p)$, which has the same value as each of these other payments.
We may easily express $i^{(p)}$ in terms of $i$. Since $i^{(p)}$ is the total interest paid, each interest payment is of amount $i^{(p)} / p$ and, when we consider the present value of the payments at the end of the interval, our definition implies the following
$$
\sum_{t=1}^p \frac{i^{(p)}}{p}(1+i)^{(p-t) / p}=i
$$ or, if $i \neq 0$,
$$
\frac{i^{(p)}}{p}\left[\frac{(1+i)-1}{(1+i)^{1 / p}-1}\right]=i
$$
Hence,
$$
i^{(p)}=p\left[(1+i)^{1 / p}-1\right]
$$
and
$$
\left[1+\frac{i^{(p)}}{p}\right]^p=1+i
$$
Note that the last two equations are valid even when $i=0$.
数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|ANNUITIES PAYABLE pTHLY: PRESENT VALUES
The nominal rates of interest and discount introduced in the preceding section are of particular importance in relation to annuities which are payable more frequently than once per unit time. We shall refer to an annuity which is payable $p$ times per unit time as payable pthly.
If $p$ and $n$ are positive integers, the notation $a_m^{(\rho)}$ is used to denote the present value at time 0 of a level annuity payable $p$ thly in arrears at the rate of 1 per unit time over the time interval $[0, n]$. For this annuity the payments are made at times $1 / p, 2 / p, 3 / p, \ldots, n$, and the amount of each payment is $1 / p$.
It is a simple matter to derive an expression for $a_n^{(\rho)}$ from first principles. However, the following argument, possibly less immediately obvious, is an important illustration of a kind of reasoning which has widespread application.
By definition, a series of $p$ payments, each of amount $i^{(p)} / p$ in arrears at $p$ thly subintervals over any unit time interval, has the same present value as a single payment of amount $i$ at the end of the interval. By proportion, $p$ payments, each of amount $1 / p$ in arrears at $p$ thly subintervals over any unit time interval, have the same present value as a single payment of amount $i / i^{(p)}$ at the end of the interval. Consider now that annuity for which the present value is $a_\pi^{(p)}$. The $p$ payments after time $r-1$ and not later than time $r$ therefore have the same value as a single payment of amount $i / i^{(p)}$ at time $r$. This is true for $r=1,2, \ldots, n$, so the annuity has the same value as a series of $n$ payments, each of amount $i / i^{(p)}$, at times $1,2, \ldots, n$.
金融数学代考
数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|INTEREST PAYABLE pTHLY
假设和前一章一样，每单位时间的兴趣力是恒定的，等于 $\delta$. 让 $i$ 和 $d$ 分别为相应的利率和贴现率。在部分 $3.1$ 我们证明了 $d$ 在时间 0 支付， $i$ 在时间 1 支付，和 $\delta$ 在时间间隔内以恒定的利率连续支付 $[0,1]$ 都具有相同的 价值 (基于利益的力量 $\delta$ ) 。这些付款中的每一项都可以被视为该期间的利息 $[0,1]$ 以当时发放的 1 笔贷款 应付 $t=0$.
然而，假设一个借款人，他在时间借出 $1 t=0$ 按时还款 $t=1$ ，希望在此期间分期支付他的贷款利息。他应 该支付多少利息? 这个问题激发了接下来的内容。
我们定义 $i^{(p)}$ 为利息总额，在每期末等额支付 $p$ th 子区间 (即，有时 $1 / p, 2 / p, 3 / p, \ldots, 1$ ，它与刚才描述 的每笔利息支付的价值相同。同样，我们定义 $d^{(p)}$ 是利息总额，在每个开始时分期支付 $p$ th 子区间（即， 有时 $0,1 / p, 2 / p, \ldots \ldots(p-1) / p)$ ，它与这些其他付款中的每一个具有相同的价值。
我们可以很容易地表达 $i^{(p)}$ 按照 $i$. 自从 $i^{(p)}$ 是支付的总利息，每笔利息支付的金额 $i^{(p)} / p$ 并且，当我们考虑 间隔结束时支付的现值时，我们的定义意味着以下
$$
\sum_{t=1}^p \frac{i^{(p)}}{p}(1+i)^{(p-t) / p}=i
$$
或者如果 $i \neq 0$ ，
$$
\frac{i^{(p)}}{p}\left[\frac{(1+i)-1}{(1+i)^{1 / p}-1}\right]=i
$$
因此，
$$
i^{(p)}=p\left[(1+i)^{1 / p}-1\right]
$$
和
$$
\left[1+\frac{i^{(p)}}{p}\right]^p=1+i
$$
请注意，最后两个等式是有效的，即使 $i=0$.
数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|ANNUITIES PAYABLE pTHLY: PRESENT VALUES
上一节介绍的名义利率和贴现率对于每单位时间支付一次以上的年金特别重要。我们将提及应付的年金p每单位时间的倍数按pthly 支付。
如果p和n是正整数，符号一个米(r)用于表示应付水平年金在时间 0 的现值p在时间间隔内以每单位时间 1 次的比率拖欠[0,n]. 对于这个年金，有时会支付1/p,2/p,3/p,…,n，每笔支付的金额为1/p.
导出表达式是一件简单的事情一个n(r)从第一原则。然而，下面的论点，可能不太明显，是一种具有广泛应用的推理的重要例证。
根据定义，一系列p付款，每笔金额一世(p)/p拖欠p任何单位时间间隔内的第 thly 个子间隔，具有与单次支付金额相同的现值一世在间隔结束时。按比例，p付款，每笔金额1/p拖欠p任何单位时间间隔内的第 thly 个子间隔，具有与单次支付金额相同的现值一世/一世(p)在间隔结束时。现在考虑现值为一个圆周率(p). 这p逾期付款r−1并且不迟于时间r因此具有与单笔支付金额相同的价值一世/一世(p)有时r. 这是真的r=1,2,…,n，所以年金与一系列n付款，每笔金额一世/一世(p)， 有时1,2,…,n.
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