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数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|THE GENERAL LOAN SCHEDULE
Suppose that at time $t=0$ an investor lends an amount $L$ in return for a series of $n$ payments, the $r$ th payment, of amount $x_r$ being due at time $r(1 \leq r \leq n)$. Suppose further that the amount lent is calculated on the basis of an effective annual interest rate $i_r$ for the rth year $(1 \leq r \leq n)$. In many situations $i_r$ may not depend on $r$, but at this stage it is convenient to consider the more general case.
The amount lent is simply the present value, on the stated interest basis, of the repayments
$$
\begin{aligned}
L=& x_1\left(1+i_1\right)^{-1}+x_2\left(1+i_1\right)^{-1}\left(1+i_2\right)^{-1} \
&+x_3\left(1+i_1\right)^{-1}\left(1+i_2\right)^{-1}\left(1+i_3\right)^{-1}+\cdots \
& \quad \cdots+x_n\left(1+i_1\right)^{-1}\left(1+i_2\right)^{-1} \cdots\left(1+i_n\right)^{-1}
\end{aligned}
$$
The investor may consider part of each payment as interest (for the latest period) on the outstanding loan and regard the balance of each payment as a capital repayment, which is used to reduce the amount of the loan outstanding. If any payment is insufficient to cover the interest on the outstanding loan, the shortfall in interest is added to the amount of the outstanding loan. In this situation the investor may draw up a schedule which shows the amount of interest contained in each payment and also the amount of the loan outstanding immediately after each payment has been received. It is desirable to consider this schedule in greater detail. The division of each payment into interest and capital is frequently necessary for taxation purposes. Also, in the event of default by the borrower, it may be necessary for the lender to know the amount of loan outstanding at the time of default. In addition, a change in the terms of the loan would prompt a recalculation of the repayment rates based on the loan outstanding at that time.
Let $F_0=L$ and, for $t=1,2, \ldots, n$, let $F_t$ be the loan outstanding immediately after the payment due at time $t$ has been made. The amount of loan repaid at time $t$ is simply the amount by which the payment then made, $x_t$ exceeds the interest then due, $i_t F_{t-1}$. Also, the loan outstanding immediately after the tth payment equals the loan outstanding immediately after the previous payment minus the amount of loan repaid at time $t$. Hence,
$$
F_t=F_{t-1}-\left(x_t-i_t F_{t-1}\right) \quad 1 \leq t \leq n
$$
Note that this equation holds for $t=1$, since we have defined $F_0=L$. Therefore,
$$
F_t=\left(1+i_t\right) F_{t-1}-x_t \quad t \geq 1
$$
Hence,
$$
\begin{aligned}
F_1 &=\left(1+i_1\right) F_0-x_1 \
&=\left(1+i_1\right) L-x_1
\end{aligned}
$$
Then
$$
\begin{aligned}
F_2 &=\left(1+i_2\right) F_1-x_2 \
&=\left(1+i_2\right)\left[\left(1+i_1\right) L-x_1\right]-x_2 \
&=\left(1+i_1\right)\left(1+i_2\right) L-\left(1+i_2\right) x_1-x_2
\end{aligned}
$$
and so on.
数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|THE LOAN SCHEDULE FOR A LEVEL ANNUITY
Consider the particular case where, on the basis of an interest rate of $i$ per unit time, a loan of amount $a_n$ is made at time $t=0$ in return for $n$ repayments, each of amount 1 , to be made at times $1,2, \ldots, n$. The lender may construct a schedule showing the division of each payment into capital and interest.
Immediately after the $t$ th repayment has been made, there remain $(n-t)$ outstanding payments, and the prospective method (Eq. 5.1.5) shows that the outstanding loan is simply $a_{n-1}$. In the notation of Section 5.1,
$$
F_{\mathrm{t}}=a_{n-t}
$$
then the amount of loan repaid at time $t$ is
$$
\begin{aligned}
f_t=F_{t-1}-F_t &=a_{n-t+1}-a_{\overline{n-t}} \
&=v^{n-t+1}
\end{aligned}
$$
The lender’s schedule may be presented in the form of Table 5.2.1. More generally, if an amount $L$ is lent in return for $n$ repayments, each of amount $X=L / a_n$, the monetary amounts in the lender’s schedule are simply those in the schedule of Table 5.2.1 multiplied by the constant factor $X$.
金融数学代考
数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|THE GENERAL LOAN SCHEDULE
假设当时 $t=0$ 投资者借出一笔款项 $L$ 换取一系列 $n$ 付款， $r$ 第一次付款，金额 $x_r$ 按时到期 $r(1 \leq r \leq n)$. 进 一步假设借出的金额是根据实际年利率计算的 $i_r$ 第 $r$ 年 $(1 \leq r \leq n)$. 在很多情况下 $i_r$ 可能不依赖于 $r$ ，但在 这个阶段考虑更一般的情况是方便的。
借出的金额只是在规定的利息基础上还款的现值
$$
L=x_1\left(1+i_1\right)^{-1}+x_2\left(1+i_1\right)^{-1}\left(1+i_2\right)^{-1} \quad+x_3\left(1+i_1\right)^{-1}\left(1+i_2\right)^{-1}\left(1+i_3\right)^{-1}+\cdots \quad \cdots+x_n
$$
投资者可以将每笔付款的一部分视为末偿还贷款的利息 (最近一期)，并将每笔付款的余额视为资本偿 还，用于减少末偿还贷款的金额。如果任何付款不足以支付末偿还贷款的利息，则利息差额将被添加到末 偿还贷款的金额中。在这种情况下，投资者可以制定一份计划表，其中显示每次付款中包含的利息金额以 及在收到每次付款后立即末偿还的贷款金额。最好更详细地考虑这个时间表。出于税收目的，通常需要将 每笔付款划分为利息和资本。此外，如果借款人违约，贷方可能需要知道违约时末偿还的贷款金额。此 外，贷款条款的变化将促使根据当时的末偿还贷款重新计算还款率。
让 $F_0=L$ 并且，对于 $t=1,2, \ldots, n$ ，让 $F_t$ 是在当时到期的付款后立即末偿还的贷款 $t$ 已经完成。当年偿 还的贷款金额 $t$ 只是当时付款的金额， $x_t$ 超过当时到期的利息， $i_t F_{t-1}$. 此外，第 $\mathrm{t}$ 次还款后的末偿还贷款 等于上一次还款后的末偿还贷款减去当时偿还的贷款金额t. 因此，
$$
F_t=F_{t-1}-\left(x_t-i_t F_{t-1}\right) \quad 1 \leq t \leq n
$$
请注意，此等式适用于 $t=1$ ，因为我们已经定义了 $F_0=L$. 所以，
$$
F_t=\left(1+i_t\right) F_{t-1}-x_t \quad t \geq 1
$$
因此，
$$
F_1=\left(1+i_1\right) F_0-x_1 \quad=\left(1+i_1\right) L-x_1
$$
㹜周
$$
F_2=\left(1+i_2\right) F_1-x_2 \quad=\left(1+i_2\right)\left[\left(1+i_1\right) L-x_1\right]-x_2=\left(1+i_1\right)\left(1+i_2\right) L-\left(1+i_2\right) x_1-x_2
$$
数学代写|金融数学代写Intro to Mathematics of Finance代考|THE LOAN SCHEDULE FOR A LEVEL ANNUITY
考虑一个特殊情况，根据利率i每单位时间，一笔贷款 $a_n$ 是在时间制作的 $t=0$ 作为回报 $n$ 有时还款，每笔 金额为 $11,2, \ldots, n$. 贷方可以制定一个时间表，显示将每笔付款划分为资本和利息。 紧接着 $t$ 已经还款了，还有 $(n-t)$ 末偿付款，预期方法（Eq. 5.1.5) 表明末偿代款很简单 $a_{n-1}$. 在第 $5.1$ 节 的符号中,
$$
F_{\mathrm{t}}=a_{n-t}
$$
那么当时偿还的贷款金额 $t$ 是
$$
f_t=F_{t-1}-F_t=a_{n-t+1}-a_{\overline{n-t}} \quad=v^{n-t+1}
$$
芶款人的时间表可以以表 5.2.1 的形式呈现。更一般地说，如果金额 $L$ 借来换取 $n$ 还款，每笔金额 $X=L / a_n$ ，贷方时间表中的货币金额只是表 5.2.1 中的金额乘以常数因子 $X$.
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