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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Hausdorff’s Maximality Principle

The Hausdorff Maximality Principle is a statement that can be used to possibly extend arguments that work in the finite or countable case to sets of arbitrary size. There are a few proofs in this book that make use of this principle; it is only needed to extend results to “uncountably infinite” dimensions. As such, it is mainly of theoretical value, and this section can be skipped if the main interest is in applications.

Consider a collection $\mathcal{M}$ of subsets $M \subseteq X$ that satisfy a certain property $\mathcal{P}$. A chain $\mathcal{C}=\left{M_\alpha\right}$ of such sets is a nested sub-collection, meaning that for any two sets $M_\alpha, M_\beta \in \mathcal{C}$, either $M_\alpha \subseteq M_\beta$ or $M_\beta \subseteq M_\alpha$. A chain can contain any number of nested subsets, even uncountable. A chain is called maximal when it cannot be added to by the insertion of any subset in $\mathcal{M}$. Hausdorff’s maximality principle states that
Every chain in $\mathcal{M}$ is contained in some maximal chain in $\mathcal{M}$.
Hausdorff’s Maximality principle is often used to show there is a maximal set $E$ that satisfies some property $\mathcal{P}$ as follows: the empty chain can be extended to a maximal chain of sets $M_\alpha ;$ if it can be shown that the union of this chain $E:=\bigcup_\alpha M_\alpha$ also satisfies $\mathcal{P}$, then there are no sets properly containing $E$ which satisfy $\mathcal{P}$, by the maximality of $\left{M_\alpha\right}$, i.e., $E$ is a maximal set in $\mathcal{M}$.

At the end of this chapter, it is proved that Hausdorff’s maximality principle implies the Axiom of Choice. Conversely, the Hausdorff Maximality principle can be proved from the Axiom of Choice (using the other standard set axioms), i.e., they are logically equivalent to each other, as well as to a number of other formulations such as Zorn’s lemma and the Well-Ordering principle. These statements are not constructive in the sense that they give no explicit way of finding the choice function or the maximal chain, but simply assert their existence.

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Metric and Vector Properties

By construction, normed spaces are metric spaces, as well as vector spaces. We can apply ideas related to both, in particular open/closed sets, convergence, completeness, continuity, connectedness, and compactness, as well as linear subspaces, linear independence and spanning sets, convexity, linear transformations, etc. Many of these notions have better characterizations in normed spaces, as the following propositions attest.
Proposition $7.8$
Proof Vector addition and the norm are in fact Lipschitz maps,
$\left|\left(x_1+y_1\right)-\left(x_2+y_2\right)\right| \leqslant\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|=\left|\left(x_1, y_1\right)-\left(x_2, y_2\right)\right|_{X^2}$,
$||x|-|y|| \leqslant|x-y|$.
Scalar multiplication is continuous: for any $\epsilon>0$, take $|\lambda-\mu|$ to be smaller than $\min (\epsilon / 3(1+|x|), 1)$ and $|x-y|<\min (\epsilon / 3(1+|\lambda|), 1)$, to get $\begin{aligned}|\lambda x-\mu y| & \leqslant|\lambda x-\mu x|+|\mu x-\mu y| \ &=|\lambda-\mu||x|+|\mu||x-y| \ & \leqslant|\lambda-\mu||x|+|\lambda||x-y|+|\lambda-\mu||x-y| \ &<\epsilon . \end{aligned}$

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|CS294-226

泛函分析代考

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Hausdorff’s Maximality Principle

豪斯多夫极大原则是一个陈述,可用于将在有限或可数情况下工作的参数扩展到任意大小的集合。本书中有一些证明利用了这一原则;只需要将结果扩展到“不可数无限”的维度。因此,它主要具有理论价值,如果主要兴趣是应用程序,则可以跳过本节。

考虑一个集合米子集米⊆X满足某种性质的磷. 一条链子\mathcal{C}=\left{M_\alpha\right}\mathcal{C}=\left{M_\alpha\right}的这样的集合是一个嵌套的子集合,这意味着对于任何两个集合米一个,米b∈C, 任何一个米一个⊆米b或者米b⊆米一个. 一个链可以包含任意数量的嵌套子集,甚至是不可数的。当一条链不能通过插入任何子集来添加时,它被称为最大链米.
Hausdorff的极大原则指出,米包含在某个最大链中米.
豪斯多夫极大原则常用于证明存在极大集合和满足某些性质磷如下:空链可以扩展到集合的最大链米一个;如果可以证明这条链的并集和:=⋃一个米一个也满足磷,则没有正确包含的集合和满足磷,由最大值\left{M_\alpha\right}\left{M_\alpha\right}, 那是,和是一个最大集合米.

本章最后证明了豪斯多夫极大原则蕴含了选择公理。相反,豪斯多夫极大原则可以从选择公理(使用其他标准集公理)证明,即,它们在逻辑上彼此等价,以及与许多其他公式如 Zorn 引理和 Well-订货原则。这些陈述不是建设性的,因为它们没有给出找到选择函数或最大链的明确方法,而只是断言它们的存在。

数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Metric and Vector Properties

通过构造,范数空间是度量空间以及向量空间。我们可以应用与这两者相关的思想,特别是开/闭集、收敛性、完整性、连续性、连通性和紧致性,以及线性子空间、线性独立和跨越集、凸性、线性变换等。其中许多概念具有正如以下命题所证明的那样,可以更好地表征规范空间。
主张7.8
证明向量加法和范数实际上是 Lipschitz 映射,
|(X1+是1)−(X2+是2)|⩽|X1−X2|+|是1−是2|=|(X1,是1)−(X2,是2)|X2,
||X|−|是||⩽|X−是|.
标量乘法是连续的:对于任何ε>0, 拿|l−米|小于分钟(ε/3(1+|X|),1)和|X−是|<分钟(ε/3(1+|l|),1), 要得到|lX−米是|⩽|lX−米X|+|米X−米是| =|l−米||X|+|米||X−是| ⩽|l−米||X|+|l||X−是|+|l−米||X−是| <ε.

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