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数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Connected and Compact Subsets
Recall that connected sets may be complicated objects in general metric spaces. This is still true in normed spaces, but at least for open subsets, connectedness reduces to path-connectedness, which is more intuitive and usually easier to prove.
Proof Let $C$ be a non-empty open connected set in $X$. Recall that “path-connected” means that any two points in $C$ can be joined by a continuous path $r:[0,1] \rightarrow C$ starting at one point and ending at the other. Fix any $x \in C$, and let $P$ be the subset of $C$ consisting of those points that are path-connected to $x$. We wish to show that $P=C$.
$P$ has no boundary in $C$ : Given any boundary point $z$ of $P$, there is a ball $B_\epsilon(z) \subseteq C$ since $C$ is open, and thus a point $y \in P$ in the ball. This means that there is a path $r$ from $x$ to $y$. In normed spaces, it is obvious that balls, like all convex sets, are path-connected (by straight paths). So we can extend the path $r$ to one that starts from $x$ and ends at any other $w \in B_\epsilon(z)$, simply by adjoining the straight line at the end. More rigorously, the function $\tilde{r}:[0,1] \rightarrow C$ defined by
$$
\tilde{r}(t):= \begin{cases}r(2 t) & t \in\left[0, \frac{1}{2}\right] \ y+(2 t-1)(w-y) & \left.t \in] \frac{1}{2}, 1\right]\end{cases}
$$
is continuous. So $z$ is surrounded by points of $P$, a contradiction.
But a connected set such as $C$, cannot contain a subset, such as $P$, without a boundary (Proposition 5.3), unless $P=\varnothing$ (which is not the case here) or $P=C$.
There is quite a bit to say about bounded and totally bounded sets. As we will see later on, they are the same in finite dimensional normed spaces, but in infinite dimensional ones, no open set can be totally bounded, although balls are bounded sets. For now, let us show that translations and scalings of bounded and totally bounded sets remain so.
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Every normed space can be completed to a Banach space
Proof Let $\tilde{X}$ be the completion of the normed space $X$ (Theorem 4.6). We need to prove that vector addition, scalar multiplication and the norm on $X$ can be extended to $\widetilde{X}$. Using the notation of Theorem 4.6, let $\boldsymbol{x}=\left[x_n\right], \boldsymbol{y}=\left[y_n\right]$ be elements of $\widetilde{X}$, with $\left(x_n\right),\left(y_n\right)$ Cauchy sequences in $X$. Since
$$
\begin{aligned}
\left|x_n+y_n-x_m-y_m\right| & \leqslant\left|x_n-x_m\right|+\left|y_n-y_m\right| \rightarrow 0 \
\left|\lambda x_n-\lambda x_m\right| &=|\lambda|\left|x_n-x_m\right| \rightarrow 0 \
\left|\left|x_n\right|-\left|x_m\right|\right| & \leqslant\left|x_n-x_m\right| \rightarrow 0,
\end{aligned}
$$
as $n, m \rightarrow \infty$, we find that $\left(x_n+y_n\right),\left(\lambda x_n\right)$ and $\left(\left|x_n\right|\right)$ are all Cauchy sequences. For the same reasons, if $\left(x_n^{\prime}\right)$ is asymptotic to $\left(x_n\right)$, and $\left(y_n^{\prime}\right)$ to $\left(y_n\right)$, then $\left(x_n^{\prime}+y_n^{\prime}\right)$ and $\left(x_n+y_n\right),\left(\lambda x_n^{\prime}\right)$ and $\left(\lambda x_n\right)$, and $\left|x_n^{\prime}\right|$ and $\left|x_n\right|$, are asymptotic to each other, respectively. So we can define
$$
\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}:=\left[x_n+y_n\right], \quad \lambda \boldsymbol{x}:=\left[\lambda x_n\right], \quad|\boldsymbol{x}|:=\lim {n \rightarrow \infty}\left|x_n\right| . $$ Note that $\tilde{d}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|$. It is easy to check that they give a legitimate vector addition, scalar multiplication and a norm; the required axioms follow from the same properties in $X$ and the continuity of these operations, e.g. $$ \begin{aligned} |\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}| &=\lim {n \rightarrow \infty}\left|x_n+y_n\right| \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left|x_n\right|+\left|y_n\right|\right)=|\boldsymbol{x}|+|\boldsymbol{y}|, \
|\boldsymbol{x}| &=0 \Rightarrow\left|x_n\right| \rightarrow 0 \Rightarrow \boldsymbol{x}=\left[x_n\right]=[0]=\mathbf{0} .
\end{aligned}
$$
Note that the zero can be represented by the Cauchy sequence (0), and $-\boldsymbol{x}$ by $\left(-x_n\right)$. Furthermore, recall that there is a copy of $X$ in $\tilde{X}$ (as constant sequences); the operations just defined on $\tilde{X}$ reduce to the given operations on $X$, when restricted to it.
泛函分析代考
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Connected and Compact Subsets
回想一下，连通集可能是一般度量空间中的䂓杂对象。这在规范空间中仍然是正确的，但至少对于开放子 集，连通性降低为路径连通性，这更直观且通常更容易证明。
证明让 $C$ 是一个非空的开连通集 $X$. 回想一下，“路径连接”意味着在 $C$ 可以通过连续路径连接 $r:[0,1] \rightarrow C$ 从一个点开始，在另一个点结束。修复任何 $x \in C$ ，然后让 $P$ 是的子集 $C$ 由路径连接到的那些点组成 $x$. 我 们苃望表明 $P=C$.
$P$ 没有边界 $C$ : 给定任何边界点 $z$ 的 $P$ ，有一个球 $B_\epsilon(z) \subseteq C$ 自从 $C$ 是开放的，因此有一点 $y \in P$ 在球中。 这意味着有一条路径 $r$ 从 $x$ 至 $y$. 在范数空间中，很明显球，像所有凸集一样，是路径连接的（通过直线路 径)。所以我们可以扩展路径 $r$ 开始于 $x$ 并在任何其他结束 $w \in B_\epsilon(z)$ ，只需在末端连接直线即可。更严格 地说，函数 $\tilde{r}:[0,1] \rightarrow C$ 被定义为
$$
\left.\tilde{r}(t):=\left{r(2 t) \quad t \in\left[0, \frac{1}{2}\right] y+(2 t-1)(w-y) \quad t \in\right] \frac{1}{2}, 1\right]
$$
是连续的。所以 $z$ 被点包围 $P$ ，矛盾。
但是一个连接的集合，例如 $C$ ，不能包含子集，例如 $P$ ，没有边界（命题 5.3)，除非 $P=\varnothing($ 这里不是这 种情况) 或 $P=C$.
关于有界集和完全有界集，有很多话要说。正如我们稍后将看到的，它们在有限维范数空间中是相同的， 但在无限维空间中，没有开集可以是完全有界的，尽管球是有界集。现在，让我们证明有界和完全有界集 的平移和缩放仍然如此。
数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Every normed space can be completed to a Banach space
证明让 $\tilde{X}$ 是规范空间的完成 $X$ (定理 4.6) 。我们需要证明向量加法、标量乘法和范数 $X$ 可以扩展到 $\widetilde{X}$. 使 用定理 $4.6$ 的符号，让 $\boldsymbol{x}=\left[x_n\right], \boldsymbol{y}=\left[y_n\right]$ 成为元素 $\widetilde{X}$ ，和 $\left(x_n\right),\left(y_n\right)$ 柯西序列 $X$. 自从
$$
\left|x_n+y_n-x_m-y_m\right| \leqslant\left|x_n-x_m\right|+\left|y_n-y_m\right| \rightarrow 0\left|\lambda x_n-\lambda x_m\right| \quad=|\lambda|\left|x_n-x_m\right| \rightarrow 0|| x_n|-| x_m|| \leqslant
$$
作为 $n, m \rightarrow \infty$, 我们发现 $\left(x_n+y_n\right),\left(\lambda x_n\right)$ 和 $\left(\left|x_n\right|\right)$ 都是柯西序列。出于同样的原因，如果 $\left(x_n^{\prime}\right)$ 是渐近 的 $\left(x_n\right)$ ，和 $\left(y_n^{\prime}\right)$ 至 $\left(y_n\right)$ ，然后 $\left(x_n^{\prime}+y_n^{\prime}\right)$ 和 $\left(x_n+y_n\right),\left(\lambda x_n^{\prime}\right)$ 和 $\left(\lambda x_n\right)$ ，和 $\left|x_n^{\prime}\right|$ 和 $\left|x_n\right|$, 分别是渐近的。 所以我们可以定义
$$
\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}:=\left[x_n+y_n\right], \quad \lambda \boldsymbol{x}:=\left[\lambda x_n\right], \quad|\boldsymbol{x}|:=\lim n \rightarrow \infty\left|x_n\right| .
$$
注意 $\tilde{d}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|$. 很容易检查它们是否给出了合法的向量加法，标量乘法和范数；所需的公理来自 相同的属性 $X$ 以及这些操作的连续性，例如
$$
|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}|=\lim n \rightarrow \infty\left|x_n+y_n\right| \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left|x_n\right|+\left|y_n\right|\right)=|\boldsymbol{x}|+|\boldsymbol{y}|,|\boldsymbol{x}| \quad=0 \Rightarrow\left|x_n\right| \rightarrow 0 \Rightarrow \boldsymbol{x}=\left[x_n\right]=[0]
$$
请注意，零可以用柯西序列 (0) 表示，并且 $-\boldsymbol{x}$ 经过 $\left(-x_n\right)$. 此外，请记住，有一份 $X$ 在 $\tilde{X}$ (作为恒定序 列)；刚刚定义的操作 $\tilde{X}$ 减少到给定的操作 $X$ ，当限制为它时。
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