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计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Shannon’s Theorem

Shannon’s Channel Coding Theorem [1661] guarantees that good codes exist making reliable communication possible. We will discuss this theorem in the context of binary linear codes for which maximum likelihood decoding over a BSC is used. Note however that the theorem can be stated in a more general setting.

Assume thát thẽ communication channeel is a BSC with crossover probabbility @ and that syndrome decoding is used as the implementation of ML decoding to decode an $[n, k, d]2$ code $\mathcal{C}$. The word error rate $P{\text {err }}$ for this channel and decoding scheme is the probability that the decoder makes an error, averaged over all codewords of $\mathcal{C}$; for simplicity assume that each codeword of $\mathcal{C}$ is equally likely to be sent. A decoder error occurs when $\widetilde{\mathbf{c}}=$ syndrome decoder makes a correct decision if $\mathbf{y}-\mathbf{c}$ is a coset leader. The probability that the decoder makes a correct decision is
$$
\varrho^{w t_H(\mathbf{y}-\mathbf{c})}(1-\varrho)^{n-w t_H(\mathbf{y}-\mathbf{c})}
$$
by (1.5). Therefore the probability that the syndrome decoder makes a correct decision averaged over all equally likely transmitted codewords is $\sum_{i=0}^n \alpha_i \varrho^i(1-\varrho)^{n-i}$ where $\alpha_i$ is the number of coset leaders of weight $i$. Thus
$$
\mathrm{P}{\mathrm{err}}=1-\sum{i=0}^n \alpha_i \varrho^i(1-\varrho)^{n-i} .
$$
Example 1.18.1 Suppose binary messages of length $k$ are sent unencoded over a BSC with crossover probability $\varrho$. This in effect is the same as transmitting codewords from the $[k, k, 1]2$ code $\mathcal{C}=\mathbb{F}_2^k$. This code has a unique coset, the code itself, and its leader is the zero codeword of weight 0 . Hence $\alpha_0=1$ and $\alpha_i=0$ for $i>0$. Therefore (1.6) shows that the probability of decoder error is $$ \mathrm{P}{\mathrm{err}}=1-\varrho^0(1-\varrho)^k=1-(1-\varrho)^k .
$$
This is precisely what we expect as the probability of no decoding error is the probability $(1-\varrho)^k$ that the $k$ bits are received without error. For instance if $\varrho=0.01$ and $k=4$, Perr without coding the length 4 messages is $0.03940399$.

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Notation and Introduction

A brief introduction to cyclic codes over finite fields was given in Section $1.12$. The objective of this chapter is to introduce several important families of cyclic codes over finite fields. We will follow the notation of Chapter 1 as closely as possible.

By an $[n, \kappa, d]_q$ code, we mean a linear code over $\mathbb{F}_q$ with length $n$, dimension $\kappa$ and minimum distance $d$. Notice that the minimum distance of a linear code is equal to the minimum nonzern weight of the code. By the parameters of a linear code, we mean its length, dimension and minimum distance. An $[n, \kappa, d]_q$ code is said to be distance-optimal (respectively dimension-optimal) if there is no $[n, \kappa, d+1]_q$ (respectively $[n, \kappa+1, d]_q$ ) code. By the best known parameters of $[n, \kappa]$ linear codes over $\mathbb{F}_q$ we mean an $[n, \kappa, d]_q$ code with the largest known $d$ reported in the tables of linear codes maintained at [845].

In this chapter, we deal with cyclic codes of length $n$ over $\mathbb{F}q$ and always assume that $\operatorname{gcd}(n, q)=1$. Under this assumption, $x^n-1$ has no repeated factors over $\mathbb{F}_q$. Denote by $C_i$ the $q$-cyclotomic coset modulo $n$ that contains $i$ for $0 \leq i \leq n-1$. Put $m=\operatorname{ord}_n(q)$, and let $\gamma$ be a generator of $\mathbb{F}{q^m}^*:=\mathbb{F}{q^m} \backslash{0}$. Define $\alpha=\gamma^{\left(q^m-1\right) / n}$. Then $\alpha$ is a primitive $n^{\text {th }}$ root of unity. The canonical factorization of $x^n-1$ over $\mathbb{F}_q$ is given by $$ x^n-1=M{\alpha^{i_0}}(x) M_{\alpha^{i_1}}(x) \cdots M_{\alpha^{i_t}}(x),
$$

where $i_0, i_1, \ldots, i_t$ are representatives of the $q$-cyclotomic cosets modulo $n$, and
$$
M_{\alpha^{i_j}}(x)=\prod_{h \in C_{i_j}}\left(x-\alpha^h\right),
$$
which is the minimal polynomial of $\alpha^{i_j}$ over $\mathbb{F}q$ and is irreducible over $\mathbb{F}_q$. Throughout this chapter, we define $\mathcal{R}{(n, q)}=\mathbb{F}q[x] /\left\langle x^n-1\right\rangle$ and use $\operatorname{Tr}{q^m / q}$ to denote the trace function from $\mathbb{F}{q^m}$ to $\mathbb{F}_q$ defined by $\operatorname{Tr}{q^m / q}(x)=\sum_{j=0}^{m-1} x^{q^j}$. The ring of integers modulo $n$ is denoted by $\mathbb{Z}_n={0,1, \ldots, n-1}$.

Cyclic codes form an important subclass of linear codes over finite fields. Their algebraic structure is richer. Because of their cyclic structure, they are closely related to number theory. In addition, they have efficient encoding and decoding algorithms and are the most studied linear codes. In fact, most of the important families of linear codes are either cyclic codes or extended cyclic codes.

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|MATH597

编码理论代考

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Shannon’s Theorem

Shannon 的信道编码定理 [1661] 保证存在良好的代码,从而使可靠的通信成为可能。我们将在使用 BSC 上的最大似然解码的二进制线性码的上下文中讨论这个定理。但是请注意,该定理可以在更一般的设置中 陈述。
假设通信通道是一个具有交叉概率@的 BSC,并且使用综合症解码作为 ML 解码的实现来解码一个 $[n, k, d] 2$ 代码 $\mathcal{C}$. 单词错误率 $P$ err 对于这个信道和解码方案,解码器出错的概率是所有码字的平均值 $\mathcal{C}$; 为 简单起见,假设每个码字 $\mathcal{C}$ 发送的可能性相同。发生解码器错误时 $\tilde{\mathbf{c}}=$ 综合症解码器做出正确的决定,如果 $\mathbf{y}-\mathbf{c}$ 是陪护领队。解码器做出正确决定的概率是
$$
\varrho^{w t_H(\mathbf{y}-\mathbf{c})}(1-\varrho)^{n-w t_H(\mathbf{y}-\mathbf{c})}
$$
由 (1.5)。因此,校正子解码器对所有同样可能的传输码字平均做出正确决定的概率为 $\sum_{i=0}^n \alpha_i \varrho^i(1-\varrho)^{n-i}$ 在哪里 $\alpha_i$ 是权重的陪集首领的数量 $i$. 因此
$$
\text { Perr }=1-\sum i=0^n \alpha_i \varrho^i(1-\varrho)^{n-i} .
$$
示例 1.18.1 假设二进制消息的长度 $k$ 通过具有交叉概率的 BSC 末编码发送 $\varrho$. 这实际上与从 $[k, k, 1] 2$ 代码 $\mathcal{C}=\mathbb{F}_2^k$. 这个代码有一个唯一的陪集,代码本身,它的前导是权重为 0 的零代码字。因此 $\alpha_0=1$ 和 $\alpha_i=0$ 为了 $i>0$. 因此 $(1.6)$ 表明解码器错误的概率是
$$
\text { Perr }=1-\varrho^0(1-\varrho)^k=1-(1-\varrho)^k .
$$
这正是我们所期望的,因为没有解码错误的概率就是概率 $(1-\varrho)^k$ 那个 $k$ 位被正确接收。例如,如果 $\varrho=0.01$ 和 $k=4$ ,Perr 不编码长度为 4 的消息是 $0.03940399$.

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Notation and Introduction

第 1 节简要介绍了有限域上的循环码。1.12. 本章的目的是介绍有限域上几个重要的循坏码族。我们将尽 可能地連循第 1 章的符号。
由一个 $[n, \kappa, d]q$ 代码,我们的意思是线性代码 $\mathbb{F}_q$ 有长度 $n$ ,方面 $\kappa$ 和最小距离 $d$. 请注意,线性代码的最小 距离等于代码的最小 nonzern 权重。线性码的参数是指它的长度、尺寸和最小距离。一个 $[n, \kappa, d]_q$ 如果没 有,则称代码是距离最优的 (分别是维度最优的) $[n, \kappa, d+1]_q$ (分别 $[n, \kappa+1, d]_q$ ) 代码。通过最知 名的参数 $[n, \kappa]$ 线性码超过 $\mathbb{F}_q$ 我们的意思是 $[n, \kappa, d]_q$ 已知最大的代码 $d$ 在 $[845]$ 维护的线性代码表中报告。 在本章中,我们处理长度为的循环码 $n$ 超过 $\mathbb{F} q$ 并且总是假设 $\operatorname{gcd}(n, q)=1$. 在这个假设下, $x^n-1$ 没有重 筫的因傃 $\mathbb{F}_q$. 表示为 $C_i$ 这 $q$-分圆陪集模 $n$ 包含 $i$ 为了 $0 \leq i \leq n-1$. 放 $m=\operatorname{ord}_n(q)$ ,然后让 $\gamma$ 成为 $\mathbb{F} q^{m *}:=\mathbb{F} q^m \backslash 0$. 定义 $\alpha=\gamma^{\left(q^m-1\right) / n}$. 然后 $\alpha$ 是原始的 $n^{\text {th }}$ 团结的根。的规范分解 $x^n-1$ 超过 $\mathbb{F} q$ 是(谁) 给的 $$ x^n-1=M \alpha^{i_0}(x) M{\alpha^{i_1}}(x) \cdots M_{\alpha^{i_t}}(x),
$$
在哪里 $i_0, i_1, \ldots, i_t$ 是代表 $q$-分圆陪集模 $n$ ,和
$$
M_{\alpha^{i_j}}(x)=\prod_{h \in C_{i_j}}\left(x-\alpha^h\right),
$$
这是的最小多项式 $\alpha^{i_j}$ 超过 $\mathbb{F} q$ 并且不可约 $\mathbb{F}q$. 在本章中,我们定义 $\mathcal{R}(n, q)=\mathbb{F} q[x] /\left\langle x^n-1\right\rangle$ 并使用 $\operatorname{Tr} q^m / q$ 表示跟踪函数 $\mathbb{F} q^m$ 至 $\mathbb{F} q^{\text {被定义为 } \operatorname{Tr}} q^m / q(x)=\sum{j=0}^{m-1} x^{q^j}$. 整数环模 $n$ 表示为 $\mathbb{Z}_n=0,1, \ldots, n-1$
循环码是有限域上线性码的一个重要子类。它们的代数结构更丰富。由于它们的循环结构,它们与数论密 切相关。此外,它们具有高效的编码和解码算法,是研究最多的线性码。事实上,大多数重要的线性码族 要么是循环码,要么是扩展循环码。

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