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计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Weight Distributions

Thẻ weight distribution of a linear code determines thè weight distribution of its dual code via a series of equations, called the MacWilliams Identities or the MacWilliams Equations. They were first developed by F. J. MacWilliams in [1319]. There are in fact several equivalent formulations of these equations. Among these are the Pless Power Moments discovered by V. S. Pless [1513]. The most compact form of these identities is expressed in a single polynomial equation relating the weight distribution of a code and its dual.

Definition 1.15.1 Let $\mathcal{C}$ be a linear code of length $n$ over $\mathbb{F}q$ with weight distribution $A_i(\mathcal{C})$ for $0 \leq i \leq n$. Let $x$ and $y$ be independent indeterminates over $\mathbb{F}_q$. The (Hamming) weight enumerator of $\mathcal{C}$ is defined to be $$ \operatorname{Hwe}{\mathcal{C}}(x, y)=\sum_{i=0}^n A_i(\mathcal{C}) x^i y^{n-i} .
$$
The formulation of the Pless Power Moments involves Stirling numbers.
Definition 1.15.2 The Stirling numbers $S(r, \nu)$ of the second kind are defined for nonnegative integers $r, \nu$ by the equation
$$
S(r, \nu)=\frac{1}{\nu !} \sum_{i=0}^\nu(-1)^{\nu-i}\left(\begin{array}{l}
\nu \
i
\end{array}\right) i^r ;
$$
$\nu ! S(r, \nu)$ is the number of ways to distribute $r$ distinct objects into $\nu$ distinct boxes with no box left empty.

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Encoding

Figure $1.1$ shows a simple communication channel that includes a component called an encoder, in which a message is encoded to produce a codeword. In this section we examine two encoding processes.

As in Figure 1.1, a message is any of the $q^k$ possible $k$-tuples $\mathbf{x} \in \mathbb{F}_q^k$. The encoder will convert $\mathbf{x}$ to an $n$-tuple $\mathbf{c}$ from a code $\mathcal{C}$ over $\mathbb{F}_q$ with $q^k$ codewords; that codeword will then be transmitted over the communication channel.

Suppose that $\mathcal{C}$ is an $[n, k, d]_q$ linear code with generator matrix $G$ and parity check matrix $H$. We first describe an encoder that uses the generator matrix $G$. The most common way to encode the message $\mathbf{x}$ is as $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{c}=\mathbf{x} G$. If $G$ is replaced by another generator matrix, the encoding of $\mathrm{x}$ will, of course, be different. A nice relationship exists between message and codeword if $G$ is in standard form $\left[I_k \mid A\right]$. In that case the first $k$ coordinates of the codeword $\mathbf{c}$ are the information symbols $\mathbf{x}$ in order; the remaining $n-k$ symbols are the parity check symbols, that is, the redundancy added to $x$ in order to help recover $x$ if errors occur during transmission. A similar relationship between message and codeword can exist even if $G$ is not in standard form. Specifically, suppose there exist column indices $i_1, i_2, \ldots, i_k$ such that the $k \times k$ matrix consisting of these $k$ columns of $G$ is the $k \times k$ identity matrix. In that case the message is found in the $k$ coordinates $i_1, i_2, \ldots, i_k$ of the codeword scrambled but otherwise unchanged; that is, the message symbol $x_j$ is in component $i_j$ of the codeword. If this occurs where the message is embedded in the codeword, we say that the encoder is a systematic encoder of $\mathcal{C}$. We can always force an encoder to be systematic. For example, if $G$ is row reduced to a matrix $G_1$ in reduced row echelon form, $G_1$ remains a generator matrix of $\mathcal{C}$ by Remark $1.4 .3$; the encoding $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{c}=\mathbf{x} G_1$ is systematic as $G_1$ has $k$ columns which together form $I_k$. Another way to force an encoder to be systematic is as follows. By Theorem 1.8.4, $\mathcal{C}$ is permutation equivalent to an $[n, k, d]_q$ code $\mathcal{C}^{\prime}$ with generator matrix $G^{\prime}$ in standard form. If the code $\mathcal{C}^{\prime}$ is used in place of $\mathcal{C}$, the encoder $\mathrm{x} \mapsto \mathrm{x} G^{\prime}$ is a systematic encoder of $\mathcal{C}^{\prime}$.

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|CS294-226

编码理论代考

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Weight Distributions

线性码的权重分布通过一系列方程确定其对偶码的权重分布,称为 MacWilliams 恒等式或 MacWilliams 方 程。它们首先由 FJ MacWilliams 在 [1319] 中开发。事实上,这些方程有几个等价的公式。其中包括 VS Pless [1513] 发现的 Pless Power Moments。这些恒等式的最紧凑形式用一个多项式方程表示,该方程与代 码的权重分布及其对偶相关。
定义 $1.15 .1$ 让 $\mathcal{C}$ 是长度的线性码 $n$ 超过 $\mathbb{F} q$ 有重量分布 $A_i(\mathcal{C})$ 为了 $0 \leq i \leq n$. 让 $x$ 和 $y$ 独立不定 $\mathbb{F}q$. (Hamming) 权重枚举器C $\mathcal{r a}^{\text {被定义为 }}$ $$ \operatorname{Hwe} \mathcal{C}(x, y)=\sum{i=0}^n A_i(\mathcal{C}) x^i y^{n-i} .
$$
Pless Power Moments 的公式涉及斯特林数。
定义 1.15.2 斯特林数 $S(r, \nu)$ 第二种是为非负整数定义的 $r, \nu$ 由等式
$$
S(r, \nu)=\frac{1}{\nu !} \sum_{i=0}^\nu(-1)^{\nu-i}(\nu i) i^r
$$
$\nu ! S(r, \nu)$ 是分配方式的数量 $r$ 不同的物体成 $\nu$ 不同的盒子,没有盒子空着。

数字 $1.1$ 显示了一个简单的通信通道,其中包括一个称为编码器的组件,其中对消息进行编码以产生代码 字。在本节中,我们检查两个编码过程。
如图 1.1 所示,消息是 $q^k$ 可能的 $k$-元组 $\mathbf{x} \in \mathbb{F}_q^k$. 编码器将转换 $\mathbf{x}$ 对一个 $n$-元组 $\mathbf{c}$ 从代码 $\mathcal{C}$ 超过 $\mathbb{F}_q$ 和 $q^k$ 码字; 然后该代码字将通过通信信道传输。
假设 $\mathcal{C}$ 是一个 $[n, k, d]_q$ 菷有生成矩阵的线性代码 $G$ 和奇偶校验矩阵 $H$. 我们首先描述一个使用生成矩阵的编 码器 $G$. 最常见的消息编码方式 $\mathbf{x}$ 就像 $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{c}=\mathbf{x} G$. 如果 $G$ 被另一个生成矩阵替换,编码为 $\mathrm{x}$ 当然,会有所 不同。消息和代码字之间存在良好的关系,如果 $G$ 是标准形式 $\left[I_k \mid A\right]$. 在这种情况下,第一个 $k$ 码字坐标 $\mathrm{C}$ 是信息符号 $\mathbf{x}$ 为了; 剩余的 $n-k$ 符号是奇偶校验符号,即添加到的冗余 $x$ 为了帮助恢复 $x$ 如果在传输过程中 发生错误。消息和代码字之间可能存在类似的关系,即使 $G$ 不是标准形式。具体来说,假设存在列索引 $i_1, i_2, \ldots, i_k$ 使得 $k \times k$ 由这些组成的矩阵 $k$ 列 $G$ 是个 $k \times k$ 单位矩阵。在这种情况下,该消息位于 $k$ 坐标 $i_1, i_2, \ldots, i_k$ 码字加扰但其他不变; 也就是消息符号 $x_j$ 在组件中 $i_j$ 的码字。如果这发生在消息嵌入代码字 的地方,我们说编码器是一个系统的编码器 $\mathcal{C}$. 我们总是可以强制编码器系统化。例如,如果 $G$ 被简化为矩 阵 $G_1$ 以减少的行梯队形式, $G_1$ 仍然是一个生成矩阵 $\mathcal{*}$ 按备注 $1.4 .3$; 编码 $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{c}=\mathrm{x} G_1$ 是系统的 $G_1$ 有 $k-$ 起形成的列 $I_k$. 另一种强制编码器系统化的方法如下。根据定理 $1.8 .4, \mathcal{C}$ 是置换等价于 $[n, k, d]_q$ 代码 $\mathcal{C}^{\prime}$ 带 生成矩阵 $G^{\prime}$ 以标准形式。如果代码 $\mathcal{C}^{\prime}$ 用于代莫 $\mathcal{C}$, 编码器 $\mathrm{x} \mapsto \mathrm{x} G^{\prime}$ 是一个系统的编码器 $\mathcal{C}^{\prime}$.

计算机代写|编码理论代写Coding theory代考|Encoding

数字1.1显示了一个简单的通信通道,其中包括一个称为编码器的组件,其中对消息进行编码以产生代码字。在本节中,我们检查两个编码过程。

如图 1.1 所示,消息是qķ可能的ķ-元组X∈Fqķ. 编码器将转换X对一个n-元组C从代码C超过Fq和qķ码字;然后该代码字将通过通信信道传输。

假设C是一个[n,ķ,d]q带有生成矩阵的线性代码G和奇偶校验矩阵H. 我们首先描述一个使用生成矩阵的编码器G. 最常见的消息编码方式X就像X↦C=XG. 如果G被另一个生成矩阵替换,编码为X当然,会有所不同。消息和代码字之间存在良好的关系,如果G是标准形式[我ķ∣一个]. 在这种情况下,第一个ķ码字坐标C是信息符号X为了; 剩余的n−ķ符号是奇偶校验符号,即添加到的冗余X为了帮助恢复X如果在传输过程中发生错误。消息和代码字之间可能存在类似的关系,即使G不是标准形式。具体来说,假设存在列索引一世1,一世2,…,一世ķ使得ķ×ķ由这些组成的矩阵ķ列G是个ķ×ķ单位矩阵。在这种情况下,该消息位于ķ坐标一世1,一世2,…,一世ķ码字加扰但其他不变;也就是消息符号Xj在组件中一世j的码字。如果这发生在消息嵌入代码字的地方,我们说编码器是一个系统的编码器C. 我们总是可以强制编码器系统化。例如,如果G被简化为矩阵G1以减少的行梯队形式,G1仍然是一个生成矩阵C按备注1.4.3; 编码X↦C=XG1是系统的G1有ķ一起形成的列我ķ. 另一种强制编码器系统化的方法如下。根据定理 1.8.4,C是置换等价于[n,ķ,d]q代码C′带生成矩阵G′以标准形式。如果代码C′用于代替C, 编码器X↦XG′是一个系统的编码器C′.

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