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物理代写|弦论代写string theory代考|Explicit Solutions – Periodic Boundary Conditions
So far we have extracted information without solving the equations of motion explicitly. We now turn to this problem, which requires to select solutions of the two-dimensional wave equation (2.52) which satisfy the boundary conditions.
We start with periodic boundary conditions. The most general solution of the twodimensional wave equation which is periodic in $\sigma^1$ can be parametrised in the form
$$
X^\mu(\sigma)=a^\mu+b^\mu \sigma^0+\sum_{n \neq 0} c_n^\mu e^{-2 i n \sigma^{-}}+\sum_{n \neq 0} d_n^\mu e^{-2 i n \sigma^{+}},
$$
where $a^\mu, b^\mu \in \mathbb{R}$ and $\left(c_n^\mu\right)^=c_{-n}^\mu$ and $\left(d_n^\mu\right)^=d_{-n}^\mu$, since $X^\mu$ is real. The term linear in $\sigma^0$ is allowed by the boundary conditions and solves the wave equation.
The conventional parametrisation of the solution used in string theory looks somewhat different from (2.63):
$$
X^\mu(\sigma)=x^\mu+L_S^2 p^\mu \sigma^0+\frac{i}{2} L_S \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \alpha_n^\mu e^{-2 i n \sigma^{-}}+\frac{i}{2} L_S \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \tilde{\alpha}_n^\mu e^{-2 i n \sigma^{+}},
$$
where $x^\mu, p^\mu \in \mathbb{R}$ and $\left(\alpha_n^\mu\right)^=\alpha_{-n}^\mu$ and $\left(\tilde{\alpha}n^\mu\right)^=\tilde{\alpha}{-n}^\mu$. The string length $L_S$ is defined as ${ }^{12}$
$$
L_S=\frac{1}{\sqrt{\pi T}} .
$$
Note that the coordinates $\sigma^\alpha$ and the coefficients $\alpha_n^\mu, \tilde{\alpha}_n^\mu$ are dimensionless, while $p^\mu$ has the dimension of an inverse length, given that $c=1$ and $\hbar=1$. To see explicitly that $X^\mu$ splits into left- and right-moving parts, as in (2.52), note that $p^\mu \sigma^0=\frac{1}{2} p^\mu\left(\sigma^{+}+\sigma^{-}\right)$
While looking more complicated than (2.63), equation (2.64) is better adapted to the physical interpretation of the coefficients. To see this, we compute the total momentum:
$$
P^\mu=T \int_0^\pi d \sigma^1 \dot{X}^\mu=p^\mu .
$$
Thus, the coefficient $p^\mu$ of the term proportional to $\sigma^1$ is equal to the total momentum. Next, we compute the motion of the centre of mass:
$$
x_{C M}^\mu=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi d \sigma^1 X^\mu(\sigma)=x^\mu+p^\mu \sigma^0 .
$$
For time-like $p^\mu$ we can match this with the world-line of a massive relativistic particle,
$$
x^\mu(\tau)=x^\mu(0)+\frac{d x^\mu}{d \tau}(0) \tau,
$$
and conclude that the centre of mass of a string behaves like a relativistic particle and moves, in the absence of forces, on a straight line in Minkowski space.
物理代写|弦论代写string theory代考|Explicit Solutions – Neumann Boundary Conditions
We now turn to open strings. The solution of the two-dimensional wave equation with Neumann boundary conditions is
$$
X^\mu(\sigma)=x^\mu+L_S^2 p^\mu \sigma^0+i L_S \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \alpha_n^\mu e^{-i n \sigma^0} \cos \left(n \sigma^1\right),
$$
where $x^\mu, p^\mu \in \mathbb{R}$ and $\left(\alpha_m^\mu\right)^*=\alpha_{-m}^\mu$. There is only one set of Fourier coefficients, since left- and right-moving waves couple through the boundary conditions and combine into standing waves. We can, of course, re-write (2.73) in the form $X=$ $X_L\left(\sigma^{+}\right)+X_R\left(\sigma^{-}\right):$
$$
X_{L / R}^\mu\left(\sigma^{\pm}\right)=\frac{1}{2} x^\mu+L_S^2 p_{L / R}^\mu \sigma^{\pm}+L_S \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \alpha_{n(\mathrm{~L} / R)}^\mu e^{-i n \sigma^{\pm}},
$$
subject to
$$
p_L^\mu=p_R^\mu=\frac{1}{2} p^\mu, \quad \alpha_{n(\mathrm{~L})}^\mu=\alpha_{n(\mathrm{R})}^\mu .
$$
Exercise 2.2.10 Show that the ends of an open string must move with the speed of light.
We mentioned before that with Neumann boundary conditions there is only one set of conserved charges $L_m$. Here is their explicit form in terms of Fourier coefficients:
$$
\begin{aligned}
L_m &=\frac{T}{2} \int_0^\pi d \sigma^1\left(e^{i m \sigma^1} T_{++}+e^{-t m \sigma^1} T_{–}\right)=\frac{T}{16} \int_{-\pi}^\pi e^{i m \sigma^1}\left(\dot{X}+X^{\prime}\right)^{\prime} \
&=\frac{1}{2} \pi T \sum_n \alpha_{m-n} \alpha_n,
\end{aligned}
$$
where we defined $\alpha_0=p$. The canonical Hamiltonian is $H=L_0$. As for closed strings, the Hamiltonian constraint $H=L_0=0$ is the mass shell condition:
$$
M^2=-p^2=2 \pi T N .
$$
物理代写|弦论代写string theory代考|Explicit Solutions – Periodic Boundary Conditions
到目前为止，我们在没有明确求解运动方程的情况下提取了信息。我们现在转向这个问题，这需要选择满 足边界条件的二维波动方程 (2.52) 的解。
我们从周期性边界条件开始。周期性二维波动方程的最一般解 $\sigma^1$ 可以参数化的形式
$$
X^\mu(\sigma)=a^\mu+b^\mu \sigma^0+\sum_{n \neq 0} c_n^\mu e^{-2 i n \sigma^{-}}+\sum_{n \neq 0} d_n^\mu e^{-2 i n \sigma^{+}},
$$
在哪里 $a^\mu, b^\mu \in \mathbb{R}$ 和 $\left(c_n^\mu\right)=c_{-n}^\mu$ 和 $\left(d_n^\mu\right)^{=} d_{-n}^\mu$ ，自从 $X^\mu$ 是真实的。术语线性在 $\sigma^0$ 由边界条件允许并求解 波动方程。
弦论中使用的解的常规参数化看起来与 (2.63) 有些不同:
$$
X^\mu(\sigma)=x^\mu+L_S^2 p^\mu \sigma^0+\frac{i}{2} L_S \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \alpha_n^\mu e^{-2 i n \sigma^{-}}+\frac{i}{2} L_S \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \tilde{\alpha}n^\mu e^{-2 i n \sigma^{+}}, $$ 在哪里 $x^\mu, p^\mu \in \mathbb{R}$ 和 $\left(\alpha_n^\mu\right)^{=} \alpha{-n}^\mu$ 和 $\left(\tilde{\alpha} n^\mu\right)^{=} \tilde{\alpha}-n^\mu$. 字符串长度 $L_S$ 定义为 ${ }^{12}$
$$
L_S=\frac{1}{\sqrt{\pi T}} .
$$
注意坐标 $\sigma^\alpha$ 和系数 $\alpha_n^\mu, \tilde{\alpha}n^\mu$ 是无量纲的，而 $p^\mu$ 具有反长度的维度，给定 $c=1$ 和 $\hbar=1$. 明确地看到 $X^\mu$ 分裂 成左右移动的部分，如（2.52)，注意 $p^\mu \sigma^0=\frac{1}{2} p^\mu\left(\sigma^{+}+\sigma^{-}\right)$ 虽然看起来比 (2.63) 更复杂，但方程 (2.64) 更适合系数的物理解释。为了看到这一点，我们计算总动 量: $$ P^\mu=T \int_0^\pi d \sigma^1 \dot{X}^\mu=p^\mu . $$ 因此，系数 $p^\mu$ 成比例的术语 $\sigma^1$ 等于总动量。接下来，我们计算质心的运动: $$ x{C M}^\mu=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi d \sigma^1 X^\mu(\sigma)=x^\mu+p^\mu \sigma^0 .
$$
对于时间一样 $p^\mu$ 我们可以将其与大质量相对论粒子的世界线相匹配，
$$
x^\mu(\tau)=x^\mu(0)+\frac{d x^\mu}{d \tau}(0) \tau,
$$
并得出结论，弦的质心表现得像一个相对论粒子，并且在没有力的情况下在 Minkowski 空间中沿直线移 动。
物理代写|弦论代写string theory代考|Explicit Solutions – Neumann Boundary Conditions
我们现在转向开弦。具有 Neumann 边界条件的二维波动方程的解为
$$
X^\mu(\sigma)=x^\mu+L_S^2 p^\mu \sigma^0+i L_S \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \alpha_n^\mu e^{-i n \sigma^0} \cos \left(n \sigma^1\right),
$$
在哪里 $x^\mu, p^\mu \in \mathbb{R}$ 和 $\left(\alpha_m^\mu\right)^*=\alpha_{-m}^\mu$. 只有一组傅立叶系数，因为左右移动波通过边界条件耦合并组合成 驻波。当然，我们可以将 (2.73) 重写为 $X=X_L\left(\sigma^{+}\right)+X_R\left(\sigma^{-}\right)$:
$$
X_{L / R}^\mu\left(\sigma^{\pm}\right)=\frac{1}{2} x^\mu+L_S^2 p_{L / R}^\mu \sigma^{\pm}+L_S \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \alpha_{n(\mathrm{~L} / R)}^\mu e^{-i n \sigma^{\pm}},
$$
受制于
$$
p_L^\mu=p_R^\mu=\frac{1}{2} p^\mu, \quad \alpha_{n(\mathrm{~L})}^\mu=\alpha_{n(\mathrm{R})}^\mu .
$$
练习 2.2.10 证明空弦的末端必须以光速移动。
我们之前提到过，在 Neumann 边界条件下，只有一组守恒电荷 $L_m$. 这是它们在傅立叶系数方面的显式形 式:
$$
L_m=\frac{T}{2} \int_0^\pi d \sigma^1\left(e^{i m \sigma^1} T_{++}+e^{-t m \sigma^1} T_{-}\right)=\frac{T}{16} \int_{-\pi}^\pi e^{i m \sigma^1}\left(\dot{X}+X^{\prime}\right)^{\prime} \quad=\frac{1}{2} \pi T \sum_n \alpha_{m-n} \alpha_n,
$$
我们定义的地方 $\alpha_0=p$. 典型的哈密顿量是 $H=L_0$. 对于闭弦，哈密顿约束 $H=L_0=0$ 是质量壳条件:
$$
M^2=-p^2=2 \pi T N .
$$
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