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物理代写|弦论代写string theory代考|Non-oriented Strings
All solutions we have obtained for open and closed strings can be built from solutions which are either even or odd with respect to world-sheet parity
$$
\Omega: \sigma^1 \mapsto \pi-\sigma^1 \cong-\sigma^1 \bmod \pi .
$$
As indicated, $\Omega$ can be interpreted as a reflection up to boundary conditions of the spatial world-sheet coordinate $\sigma^1$. Since $\Omega^2=\mathbb{1}$, the eigenvalues of this transformation are $\pm 1$, and we refer to the corresponding eigenstates as even and odd, respectively. For closed strings world-sheet parity interchanges left- and rightmoving excitations, whereas for open strings the mode number decides which excitations are even and odd:
$$
\Omega: \begin{cases}\alpha_m^\mu \leftrightarrow \tilde{\alpha}_m^\mu, & \text { (closed), } \ \alpha_n^\mu \mapsto(-1)^n \alpha_n^\mu, & \text { (Neumann), } \ \alpha_n^\mu \mapsto(-1)^{n+1} \alpha_n^\mu, & \text { (Dirichlet). }\end{cases}
$$
Non-oriented strings theories are defined by restricting to configurations which are even. Since in such a theory all configurations are invariant under world-sheet parity, one looses the information about the orientation of the string. In other words, one cannot distinguish between the ends of the string and the two sides of the worldsheet. Non-oriented closed strings are symmetric under exchange of left- and rightmoving waves, while for non-oriented open strings, depending on the boundary conditions, either the odd- or the even-numbered modes cannot be excited. While this reduces the number of independent excitations, it increases the number of worldsheet topologies, because we now have to admit non-orientable surfaces, such as the Moebius strip (for non-oriented open strings) and the Klein bottle (for non-oriented closed strings).
物理代写|弦论代写string theory代考|Quantised Relativistic Particles
The usual heuristic approach to quantisation is to promote the canonical coordinates and canonical momenta of a classical theory to self-adjoint operators acting on a separable Hilbert space $\mathcal{H}$, and to impose the canoncial commutation relations. The canonical commutation relations can be motivated through replacing the Poisson brackets ${\cdot, \cdot}$ of the classical theory by quantum commutators $[\cdot, \cdot]$, using the formal substitution rule ${\cdot, \cdot} \rightarrow-i[\cdot, \cdot]$. We will not evaluate the Poisson brackets of the classical theory, but directly postulate the canonical commutation relations.
In the case of a free non-relativistic particle with Cartesian coordinates $x^i$ and momenta $p^j$, the canonical commutation relations are
$$
\left[x^i, p^j\right]=i \delta^{i j},
$$
where we have set $\hbar=1$, and where the unit operator on the Hilbert space $\mathcal{H}$ is understood on the right-hand side. We will procede formally and ignore the technical complications caused by the fact that $x^i, p^j$ are unbounded operators on an infinite dimensional Hilbert space.
For a relativistic particle the natural generalisation of $(3.1)$ is
$$
\left[x^\mu, p^v\right]=i \eta^{\mu v} .
$$
However, we know that the components of the relativistic momentum are subject to the mass shell condition $p^2+m^2=0$. One option is to solve this constraint in the classical theory, and then to quantise the theory using only gauge-inequivalent quantities. A specific version of this procedure is the so-called light cone quantisation, which will be discussed later (see Chapter 10). Any such scheme has the disadvantage that Lorentz invariance is no longer manifest. Here we will follow the complementary, covariant approach, where canonical commutation relations are imposed on Lorentz covariant quantities, while the constraint $p^2+m^2=0$ is imposed afterwards and selects a subspace of physical states.
We start by constructing a representation space $\mathcal{F}$ for the commutations relations (3.2), which we call the Fock space. This is done by postulating the existence of a distinguished state, the vacuum or ground state $|0\rangle$, which is translation invariant:
$$
p^v|0\rangle=0 .
$$
The Fock space $\mathcal{F}$ is generated by applying operators built out of the canonically conjugate operator $x^\mu$. We assume that $p^v$ has a complete set of eigenstates, so that $\mathcal{F}$ is spanned by momentum eigenstates $|k\rangle$,
$$
p^v|k\rangle=k^v|k\rangle .
$$
物理代写|弦论代写string theory代考|Non-oriented Strings
我们为开弦和闭弦获得的所有解都可以从关于世界表奇偶校验的偶数或奇数解构建
$$
\Omega: \sigma^1 \mapsto \pi-\sigma^1 \cong-\sigma^1 \bmod \pi .
$$
如..所示， $\Omega$ 可以解释为对空间世界表坐标边界条件的反映 $\sigma^1$. 自从 $\Omega^2=1$ ，这个变换的特征值为 $\pm 1$ ，我 们将相应的本征态分别称为偶数和奇数。对于闭弦世界表奇偶校验交换左移和右移激发，而对于开弦，模 式数决定哪些激发是偶数和奇数:
$\Omega:\left{\alpha_m^\mu \leftrightarrow \tilde{\alpha}_m^\mu, \quad\right.$ (closed), $\alpha_n^\mu \mapsto(-1)^n \alpha_n^\mu, \quad$ (Neumann), $\alpha_n^\mu \mapsto(-1)^{n+1} \alpha_n^\mu, \quad$ (Dirichlet).
无向弦理论是通过限制为偶数的配置来定义的。由于在这样的理论中，所有配置在世界表奇偶校验下都是 不变的，因此丟失了有关弦的方向的信息。换句话说，人们无法区分字符串的末端和世界表的两侧。非定 向闭弦在左右移动波的交换下是对称的，而对于非定向开弦，取决于边界条件，奇数或偶数模式都不能被 激发。虽然这减少了独立激发的数量，但它增加了世界表拓扑的数量，因为我们现在必须承认不可定向的 表面，例如莫比乌斯芇 (用于非定向开弦) 和克莱因瓶 (用于非定向开弦) 闭合字符串)。
物理代写|弦论代写string theory代考|Quantised Relativistic Particles
量化的常用启发式方法是将经典理论的规范坐标和规范动量提升为作用于可分离苃尔伯特空间的自伴算子 $\mathcal{H}$, 并施加正则交换关系。可以通过替换泊松括号来激发规范对易关系, , 量子换向器的经典理论 $[\cdot, \cdot]$, 使用 正式的替换规则,$\cdot \rightarrow-i[\cdot, \cdot]$. 我们不会评估经典理论的泊松括号，而是直接假设规范对易关系。
对于具有笛卡尔坐标的自由非相对论粒子 $x^i$ 和动量 $p^j$ ，规范对易关系为
$$
\left[x^i, p^j\right]=i \delta^{i j},
$$
我们设置的地方 $\hbar=1$, 以及希尔伯特空间上的单位算子 在右手边可以理解。我们将正式进行并忽略由以 下事实引起的技术复杂性 $x^i, p^j$ 是无限维希尔伯特空间上的无界算子。 对于一个相对论粒子，自然概括 $(3.1)$ 是
$$
\left[x^\mu, p^v\right]=i \eta^{\mu v} .
$$
然而，我们知道相对论动量的分量受制于质量壳条件 $p^2+m^2=0$. 一种选择是解决经典理论中的这一约 束，然后仅使用规范不等量来量化该理论。这个过程的一个特定版本是所谓的光雉量化，稍后将讨论 (见 第 10 章) 。任何这样的方案都有洛伦兹不变性不再明显的缺点。在这里，我们将遵循互补的协变方法， 其中规范对易关系被施加在洛伦兹协变量上，而约束 $p^2+m^2=0$ 之后施加并选择物理状态的子空间。
我们首先构建一个表示空间 $\mathcal{F}$ 对于交换关系（3.2），我们称之为 Fock 空间。这是通过假设存在一个显着 的状态，真空或基态来完成的 $|0\rangle$ ，这是平移不变的:
$$
p^v|0\rangle=0 .
$$
福克空间 $\mathcal{F}$ 是通过应用由规范共轭运算符构建的运算符生成的 $x^\mu$. 我们假设 $p^v$ 有一套完整的本征态，所以 $\mathcal{F}$ 由动量本征态跨越 $|k\rangle$ ，
$$
p^v|k\rangle=k^v|k\rangle .
$$
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