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物理代写|弦论代写string theory代考|Field Quantisation and Quantum Field Theory

As Exercise 3.1.1 has shown, the Klein-Gordon equation can be viewed as the implementation of the constraint $p^2+m^2=0$ which selects the physical states in the Fock space of a relativistic particle. With this interpretation the Klein-Gordon equation is analogous to the Schrödinger equation, in the sense that it is a condition imposed on quantum states. There is an alternative interpretation of the KleinGordon equation as a classical field equation, analogous to the Maxwell equations. We will now quantise the classical complex Klein-Gordon field and compare the result to the quantisation of a relativistic particle. The Klein-Gordon equation
$$
\left(-\square+m^2\right) \Phi(x)=0
$$
follows from the action
$$
S[\Phi]=\int d^D x\left(-\partial_\mu \Phi \partial^\mu \Phi^-m^2 \Phi \Phi^\right) .
$$
The canonical momentum of this field theory is
$$
\Pi(x)=\frac{\partial L}{\partial \partial_0 \Phi}=\partial_0 \Phi^* .
$$
The Fourier representation of the general solution can be parametrised in the following form:
$$
\Phi(x)=\int d^D k\left(\theta\left(k^0\right) \delta\left(k^2+m^2\right) \tilde{\phi}{+}(k)+\theta\left(-k^0\right) \delta\left(k^2+m^2\right) \tilde{\phi}{-}^(k)\right) . $$ Here we used the step functions $\theta\left(\pm k^0\right)$ to separate the two components of the hyperboloid $k^2+m^2=0$. The $\delta$-function can be used to carry out the $k^0$-integration: $$ \Phi(x)=\frac{1}{(2 \pi)^{(D-1) / 2}} \int \frac{d^{D-1} \vec{k}}{2 \omega_{\vec{k}}}\left(\phi_{+}(k) e^{i k x}+\phi_{-}^(k) e^{-i k x}\right){k^0=\omega{\vec{k}}} .
$$
Here $\phi_{\pm}(k)$ are rescaled versions of $\tilde{\phi}{\pm}(k)$. We now quantise the complex KleinGordon field by declaring $\Phi(x)$ to be an operator ${ }^2$ satisfying the canonical commutation relation $$ [\Phi(x), \Pi(y)]{x^0=y^0}=i \delta^{D-1}(\vec{x}-\vec{y}) .
$$
Since $\Phi(x)$ depends on time $x^0$, we are in the Heisenberg picture, where operators depend on time while states are time-independent. We only need to specify the commutator at equal times, because the commutator at other times is fixed by time evolution. The spatial coordinate is treated as a continuous index labelling degrees of freedom located at different points. The operator $\Phi(x)$ can be represented as a Fourier integral, with the Fourier coefficients $\phi_{\pm}(k)$ promoted to operators. Complex conjugated quantities are now interpreted has Hermitian conjugate operators, and denoted $\Phi^{\dagger}(x), \phi_{\pm}^{\dagger}(k)$. The Fourier modes satisfy the relations: ${ }^3$

物理代写|弦论代写string theory代考|Quantised Relativistic Strings

In the final section of this chapter, we will outline the problem of quantising relativistic strings, and thus motivate why we need to develop certain tools in Part II before being able to formulate a quantum theory of strings in Part III. The classical solutions found in the previous chapter have shown that the degrees of freedom of a free relativistic string in Minkowski space combine those of a relativistic particle with an infinite set of harmonic oscillators. This gives us a clear idea of how the Hilbert space should look like, and we could postulate canonical relations for $x^\mu, p^v$ and the Fourier coefficients $\alpha_m^\mu, \tilde{\alpha}m^\mu$. To be more systematic we start by imposing canonical commutation on the string coordinates $X^\mu\left(\sigma^0, \sigma^1\right)$ and the canonical momenta $\Pi^v\left(\sigma^0, \sigma^1\right)$. We work with the Polyakov action in the conformal gauge, and can interprete $X^\mu$ either as embedding coordinates for a string in spacetime M, or as a set of scalar fields on the world-sheet $\Sigma$. In the conformal gauge $\Pi^\mu=T \dot{X}^\mu$. Both $X^\mu$ and $\Pi^v$ are time-dependent operators, and thus we are in the Heisenberg picture of quantum mechanics. Canonical commutators are imposed at equal world-sheet times, and $\sigma^1$ is treated as a continuous index, similar to the discrete index $\mu$. For concreteness we consider periodic boundary conditions. Then the canonical commutation relations are: $$ \left[X^\mu\left(\sigma^0, \sigma^1\right), \Pi^v\left(\sigma^{\prime 0}, \sigma^{\prime 1}\right]{\sigma^0=\sigma^{\prime 0}}=i \eta^{\mu v} \delta_\pi\left(\sigma^1-\sigma^{\prime 1}\right),\right.
$$
where
$$
\delta_\pi\left(\sigma^1\right)=\frac{1}{\pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-2 i k \sigma^1}=\delta_\pi\left(\sigma^1+\pi\right)
$$
is the periodic $\delta$-function with period $\pi$ (see Appendix C). One can view this as the canonical commutation relations of a two-dimensional field theory on a world-sheet $\Sigma$, which has the topology of a cylinder.

物理代写|弦论代写string theory代考|MAST90069

物理代写|弦论代写string theory代考|Field Quantisation and Quantum Field Theory

如练习 3.1.1 所示, Klein-Gordon 方程可以看作是约束的实现 $p^2+m^2=0$ 它选择相对论粒子的 Fock 空 间中的物理状态。通过这种解释,克莱因-戈登方程类似于薛定谔方程,因为它是强加于量子态的条件。 KleinGordon 方程有另一种解释,它是经典的场方程,类似于麦克斯韦方程。我们现在将量化经典复克莱 因-戈登场,并将结果与相对论粒子的量化进行比较。克莱因-戈登方程
$$
\left(-\square+m^2\right) \Phi(x)=0
$$
从动作而来
该场论的规范动量是
$$
\Pi(x)=\frac{\partial L}{\partial \partial_0 \Phi}=\partial_0 \Phi^* .
$$
通解的傅里叶表示可以用以下形式参数化:
$$
\Phi(x)=\int d^D k\left(\theta\left(k^0\right) \delta\left(k^2+m^2\right) \tilde{\phi}+(k)+\theta\left(-k^0\right) \delta\left(k^2+m^2\right) \tilde{\phi}-(k)\right) .
$$
这里我们使用了阶跃函数 $\theta\left(\pm k^0\right)$ 分离双曲面的两个组成部分 $k^2+m^2=0$. 这 $\delta$-函数可用于执行 $k^0$-一体 化:
$$
\left.\Phi(x)=\frac{1}{(2 \pi)^{(D-1) / 2}} \int \frac{d^{D-1} \vec{k}}{2 \omega_{\vec{k}}}\left(\phi_{+}(k) e^{i k x}+\phi_{-}^{(} k\right) e^{-i k x}\right) k^0=\omega \vec{k}
$$
这里 $\phi_{\pm}(k)$ 是重新缩放的版本 $\tilde{\phi} \pm(k)$. 我们现在通过声明来量化乍杂的 KleinGordon 场 $\Phi(x)$ 做运营商 ${ }^2$ 懑 足规范对易关系
$$
[\Phi(x), \Pi(y)] x^0=y^0=i \delta^{D-1}(\vec{x}-\vec{y})
$$
自从 $\Phi(x)$ 取决于时间 $x^0$ ,我们处于海菻堡图景中,其中运算符依赖于时间,而状态与时间无关。我们只
需要指定相等时间的换向器,因为其他时间的换向器是由时间演化确定的。空间坐标被视为位于不同点的
连续索引标记自由度。运营商 $\Phi(x)$ 可以表示为傅里叶积分,傅里叶系数 $\phi_{\pm}(k)$ 晋升为运营商。复共轭量现 在被解释为具有 Hermitian 共轭算子,并表示为 $\Phi^{\dagger}(x), \phi_{\pm}^{\dagger}(k)$. 俥立叶模式满足以下关系: ${ }^3$

物理代写|弦论代写string theory代考|Quantised Relativistic Strings

在本章的最后一部分,我们将概述量化相对论弦的问题,从而激发我们为什么需要在第二部分中开发某些 工具,然后才能在第三部分中制定弦的量子理论。在前一章中找到的经典解决方萣表明,闵可夫斯基空间 中自由相对论弦的自由度结合了相对论粒子与无限组谐振子的自由度。这让我们清楚地知道希尔伯特空间 应该是什么样子,我们可以假设典型关系 $x^\mu, p^v$ 和傅立叶系数 $\alpha_m^\mu, \tilde{\alpha} m^\mu$. 为了更加系统化,我们首先在字 符串坐标上施加规范交换 $X^\mu\left(\sigma^0, \sigma^1\right)$ 和规范动量 $\Pi^v\left(\sigma^0, \sigma^1\right)$. 我们使用保形规范中的 Polyakov 动作,并 且可以解释 $X^\mu$ 要么作为时空 $M$ 中字符串的嵌入坐标,要么作为世界表上的一组标量场 $\Sigma$. 在保形量规中 $\Pi^\mu=T \dot{X}^\mu$. 两个都 $X^\mu$ 和 $\Pi^v$ 是与时间相关的算子,因此我们处于量子力学的海森堡图景中。规范换向器 是在相同的世界表时间施加的,并且 $\sigma^1$ 被视为连续索引,类似于离散索引 $\mu$. 具体而言,我们考虑周期性边 界条件。那么典型的对易关系为:
$$
\left[X^\mu\left(\sigma^0, \sigma^1\right), \Pi^v\left(\sigma^{\prime 0}, \sigma^{11}\right] \sigma^0=\sigma^{\prime 0}=i \eta^{\mu v} \delta_\pi\left(\sigma^1-\sigma^{11}\right),\right.
$$
在哪里
$$
\delta_\pi\left(\sigma^1\right)=\frac{1}{\pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-2 i k \sigma^1}=\delta_\pi\left(\sigma^1+\pi\right)
$$
是周期性的 $\delta$ – 带句号的功能 $\pi$ (见附录 C) 。可以将其视为世界表上二维场论的规范交换关系 $\Sigma$ ,它具有 圆柱的拓扑结构。

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