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物理代写|粒子物理代写particle physics代考|Shell Model
The periodicity of the properties of nuclei observed in terms of magic numbers, which is similar to the periodicity of the properties of atoms, gives us a hint about the shell structure of nuclei in analogy to the shell structure of atoms. Indeed magic numbers can be explained in terms of the Shell Model of the nucleus, which considers each nucleon moving in some potential and classifies the energy levels in terms of quantum numbers, $n, \ell$ and $j$, in the same way as the wavefunctions of individual electrons are classified in Atomic Physics. However, contrary to the electromagnetic potential in atoms, the potential in nuclei arises from the strong interactions between nucleons, which have different properties from the electromagnetic interactions that bind electrons in atoms, as we discuss below. The Nuclear Shell Model was proposed by Eugene Gapon and Dmitri Iwanenko in 1932 [32] and was later developed by Eugene Wigner [33], Maria GöppertMayer [34, 35] and J. Hans D. Jensen [36].
For a spherically symmetric potential, the wavefunction (neglecting spin for the moment) for a nucleon, whose position, $\mathbf{r}$, from the centre of the nucleus is given by polar coordinates $(r, \theta, \phi)$, has the form
$$
\Psi_{n \ell m}=R_{n \ell}(r) Y_{\ell}^m(\theta, \phi),
$$
where $Y_{\ell}^m$ are spherical harmonics, which give the angular part of a wavefunction for a particle moving in a spherically symmetric potential.
The energy eigenvalues depend on the principle quantum number, $n$, and the orbital angular momentum quantum number, $\ell$, but are degenerate in the magnetic quantum number, $m$. Unlike the case of a Coulomb potential in Atomic Physics, the quantum number, $\ell$, is not restricted to take values smaller than $n$.
These energy levels come in “bunches” called “shells” with a relatively large energy gap between each shell. In their ground state, the nucleons fill up the available energy levels from the bottom upwards with two protons (and/or two neutrons), with opposite $z$-component of spin, in each available proton (neutron) energy level, as required by the Pauli exclusion principle. Thus a state with a given $n$ and $\ell$ can accommodate up to $2 \times(2 \ell+1)$ protons or neutrons.
Unlike in Atomic Physics, we do not understand, even in principle, the properties of this strong force potential, so we need to make a guess. If we assume a simple harmonic potential (i.e. $V(r) \propto r^2$ ), then we will get equally spaced energy levels and we would not see the shell structure giving rise to magic numbers.
物理代写|粒子物理代写particle physics代考|Spin and Parity of Nuclear Ground States
Nuclear states have an intrinsic spin and a well-defined parity, $\eta=\pm 1$, determined by the behaviour of the wavefunction of all the nucleons under mirror reversal $(r \rightarrow-r)$, with the centre of the nucleus at the origin.
$$
\Psi\left(-r_1,-r_2 \cdots-r_A\right)=\eta \Psi\left(r_1, r_2 \cdots r_A\right) .
$$
The spin and parity of nuclear ground states can usually be determined from the Shell Model. Protons and neutrons tend to pair up so that the total angular momentum of each pair is zero and each pair has even parity ( $\eta=1)$. Therefore, the unpaired neutron and/or proton define nuclear spin and parity. Thus, we have the following:
- Even-even nuclides (both $Z$ and $A$ even) have zero intrinsic spin and even parity.
- Odd- $A$ nuclei have one unpaired nucleon. The spin of the nucleus is equal to the $j$-value of that unpaired nucleon and the parity is $(-1)^{\ell}$, where $\ell$ is the orbital angular momentum of the unpaired nucleon. For example, ${ }{22}^{47} \mathrm{Ti}$ has an even number of protons and 25 neutrons. Twenty of the neutrons fill the shells up to magic number 20 and there are 5 in the $1 f{\frac{7}{2}}$ state $\left(\ell=3, j=\frac{7}{2}\right)$. Four of these form pairs, and the remaining one leads to a nuclear spin of $\frac{7}{2}$ and parity $(-1)^3=-1$
- Odd-odd nuclei: In this case, there is an unpaired proton whose total angular momentum is $j_1$ and an unpaired neutron whose total angular momentum is $j_2$. The total spin of the nucleus is the (vector) sum of these angular momenta and can take values between $\left|j_1-j_2\right|$ and $\left|j_1+j_2\right|$ (in unit steps). The parity is given by $(-1)^{\left(\ell_1+\ell_2\right)}$, where $\ell_1$ and $\ell_2$ are the orbital angular momenta of the unpaired proton and neutron, respectively.
For example, ${ }3^6 \mathrm{Li}$ (lithium) has 3 neutrons and 3 protons. The first two of each fill the $1 s$ level and the third is in the $1 p{\frac{3}{2}}$ level. The orbital angular momentum of each is $\ell=1$, so the parity is $(-1) \times(-1)=+1$ (even), but the spin can take any value between 0 and 3 .
物理代写|粒子物理代写particle physics代考|Shell Model
用幻数观察到的原子核性质的周期性，类似于原子性质的周期性，类似于原子的壳层结构，给了我们关于
原子核壳层结构的暗示。事实上，幻数可以用原子核的壳模型来解释，它考虑每个核子以某种势移动，并 根据量子数对能级进行分类， $n, \ell$ 和 $j$ ，就像在原子物理学中对单个电子的波函数进行分类一样。然而，与 原子中的电磁势相反，原子核中的势由核子之间的强相互作用产生，核子之间的相互作用与结合原子中电 子的电磁相互作用具有不同的性质，如下所述。核壳模型由 Eugene Gapon 和 Dmitri Iwanenko 在 1932 年 提出 [32]，后来由 Eugene Wigner [33]、Maria GöppertMayer [34, 35] 和J. Hans D. Jensen [36] 开发。 对于球对称势，核子的波函数 (暂时忽略自旋)，其位置， $\mathbf{r}$ ，从原子核的中心由极坐标给出 $(r, \theta, \phi)$ ，有 形式
$$
\Psi_{n \ell m}=R_{n \ell}(r) Y_{\ell}^m(\theta, \phi),
$$
在哪里 $Y_{\ell}^m$ 是球谐函数，它给出了粒子在球对称势中运动的波函数的角部分。
能量特征值取决于主量子数， $n$ ，和轨道角动量量子数， $\ell$, 但在磁量子数上是简并的, $m$. 与原子物理学中库 仑势的情况不同，量子数， $\ell$ ，不限于取小于 $n$.
这些能级以“束“的形式出现，称为“壳”，每个壳之间的能隙相对较大。在它们的基态中，核子从底部向上用 两个质子 (和/或两个中子) 填充可用的能级，相反 $z$-自旋分量，在每个可用的质子 (中子) 能级中，根据 泡利不相容原理的要求。因此，具有给定的状态 $n$ 和最多可容纳 $2 \times(2 \ell+1)$ 质子或中子。
与原子物理学不同，我们甚至在原则上都不了解这种强力势的性质，因此我们需要进行猜测。如果我们假 设一个简单的谐波势 (即 $V(r) \propto r^2$ )，那么我们将获得等间距的能级，并且我们不会看到产生幻数的壳结 构。
物理代写|粒子物理代写particle physics代考|Spin and Parity of Nuclear Ground States
核态具有固有的自旋和明确的宇称， $\eta=\pm 1$ ，由镜像反转下所有核子的波函数行为决定 $(r \rightarrow-r)$, 原子 核的中心在原点。
$$
\Psi\left(-r_1,-r_2 \cdots-r_A\right)=\eta \Psi\left(r_1, r_2 \cdots r_A\right) .
$$
核基态的自旋和宇称通常可以从壳模型中确定。质子和中子倾向于配对，因此每对的总角动量为零，并且 每对都有偶数宇称 $(\eta=1)$. 因此，末配对的中子和/或质子定义了核自旋和宇称。因此，我们有以下内 容:
- 偶偶核素 (两者 $Z$ 和 $A$ even) 具有零固有自旋和偶校验。
- 奇怪的- $A$ 核有一个不成对的核子。原子核的自旋等于 $j$-那个不成对的核子的值和宇称是 $(-1)^{\ell}$ ，在哪 里 $\ell$ 是末配对核子的轨道角动量。例如， $22^{47} \mathrm{Ti}$ 有偶数个质子和 25 个中子。二十个中子填满壳层，达 到幻数 20 ，其中有 5 个 $1 f \frac{7}{2}$ 状态 $\left(\ell=3, j=\frac{7}{2}\right)$. 其中四个形成对，剩下的一个导致核自旋 $\frac{7}{2}$ 和平价 $(-1)^3=-1$
- 奇奇核: 在这种情况下，有一个末配对的质子，其总角动量为 $j_1$ 和一个末配对的中子，其总角动量为 $j_2$ . 原子核的总自旋是这些角动量的 (矢量) 和，可以取值之间 $\left|j_1-j_2\right|$ 和 $\left|j_1+j_2\right|$ (以单位步骤) 。奇 偶性由下式给出 $(-1)^{\left(\ell_1+\ell_2\right)}$ ， 在哪里 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 分别是末配对质子和中子的轨道角动量。
例如， $3^6 \mathrm{Li}$ (锂) 有 3 个中子和 3 个质子。每个的前两个填充 $1 s$ 水平和第三是在 $1 p \frac{3}{2}$ 等级。每个的轨道角 动量是 $\ell=1$ ，所以奇偶性是 $(-1) \times(-1)=+1$ (偶数)，但自旋可以取 0 到 3 之间的任何值。
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