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物理代写|粒子物理代写particle physics代考|Stability of Isotopes

Since different isotopes have different atomic mass numbers, they will have different binding energies and some isotopes will be more stable than others. It turns out (and can be seen by looking for the most stable isotopes using the semi-empirical mass formula) that for the lighter nuclei, the stable isotopes have approximately the same number of neutrons as protons. This arises as a result of the asymmetry term.

However, above $A \sim 20$ the number of neutrons required for stability increases up to about one and a half times the number of protons for the heaviest nuclei (Fig. 3.4).
Qualitatively, the reason for this arises from the Coulomb term. Protons bind less tightly than neutrons because they have to overcome the Coulomb repulsion between them. It is therefore energetically favourable to have more neutrons than protons. For nuclides with a large atomic mass number, this Coulomb effect beats the asymmetry effect that favours equal numbers of protons and neutrons. Quantitatively, this phenomenon can be seen from (3.10), where for small $A$ the maximum binding energy occurs for $Z \approx \frac{1}{2} A$, i.e. the same number of protons and neutrons, but as $A$ increases the maximum binding energy occurs for $Z<\frac{1}{2} A$, i.e. nuclides with more neutrons than protons.

物理代写|粒子物理代写particle physics代考|Magic Numbers

It turns out that nuclei have a periodic nature analogous to the periodic nature of atoms described by the Mendeleev periodic table of chemical elements. This feature of nuclei is not described by the semi-empirical mass formula. In particular, it was found that the binding energies predicted by that formula underestimate the actual binding energies of “magic nuclides” for which either the number of neutrons, $N=$ $(A-Z)$, or the number of protons, $Z$, is equal to one of the following “magic numbers”:
$2,8,20,28,50,82,126,184$
This effect is especially pronounced for the case of “doubly magic” nuclides in which both the number of neutrons and the number of protons are equal to magic numbers, for example, for ${ }2^4 \mathrm{He},{ }_8^{16} \mathrm{O},{ }{20}^{40} \mathrm{Ca},{ }{82}^{208} \mathrm{~Pb}$. For ${ }_2^4 \mathrm{He}$ the semi-empirical mass formula predicts a binding energy of $21.69 \mathrm{MeV}$, whilst the measured value is $28.30 \mathrm{MeV}$ (underestimated by about $30 \%$ ), for ${ }_8^{16} \mathrm{O}$ (oxygen) these values are $123.18$ and $127.62 \mathrm{MeV}$, respectively (underestimated by about $3 \%$, for ${ }{20}^{40} \mathrm{Ca}$

(calcium) they are $338.90$ and $342.05 \mathrm{MeV}$ (underestimated by about $1 \%$ ) and for ${ }_{82}^{208} \mathrm{~Pb}$ (lead) they are $1612.2$ and $1636.4 \mathrm{MeV}$ (underestimated by about $1.5 \%$ ).
Magic nuclides have special features related to their binding energy properties, such as: The neutron (or proton) separation energies (the energy required to remove the last neutron (or proton)) peak if $N(Z)$ is equal to a magic number. For example, Fig. $4.1$ shows the neutron separation energy for isotopes of ${ }_{56}^{\mathrm{A}} \mathrm{Ba}$ (barium) as a function of neutron number, $N$. We can see a clear step in the binding energy as the number of neutrons crosses the magic number 82 .

There are more stable isotopes if $Z$ is a magic number and more stable isotones if $N$ is a magic number.

If $N$ is a magic number, then the cross section for neutron capture is much lower (by a factor of 10-100) than for other nuclides as demonstrated in Fig. 4.2.

The energies of the excited states are much higher than the ground state if either $N$ or $Z$ or both are magic numbers. As an example, in Fig. $4.3$ we present the values of the excitation energies for various isotopes of ${ }{82}^{{ }^{\mathrm{A}}} \mathrm{Pb}$, where we can see that the magic nuclide ${ }{82}^{126} \mathrm{~Pb}$ has an excitation energy of about a factor of 3 higher than the other isotopes.

Elements with $Z$ or/and $N$ equal to a magic number have a larger natural abundance than those of nearby elements or isotopes with even values of $Z$ or $N$. Let us take a look, for example, at ${ }{20}^{40} \mathrm{Ca}$. Actually, it makes sense to compare nuclides which differ from magic ones in $N$ or $Z$ by even number, since such nuclides are more stable and therefore have larger natural abundance. One should also note that ${ }{20}^{40} \mathrm{Ca}$ is the heaviest stable isotope with $Z=N$. Its abundance amongst other isotopes of $\mathrm{Ca}$ is about $97 \%$. The previous nuclide with $Z=N$ (not equal to a magic number) is ${ }_{18}^{36} \mathrm{Ar}$ (argon), which has an abundance of only $0.34 \%$ amongst other isotopes of Ar, whilst the $Z=N$ isotope with $Z=22$, ${ }^{44} \mathrm{Ti}$ (titanium) is totally absent.

物理代写|粒子物理代写particle physics代考|PHYS575

物理代写|粒子物理代写particle physics代考|Stability of Isotopes

由于不同的同位素具有不同的原子质量数,因此它们将具有不同的结合能,并且某些同位素会比其他同位素更稳定。事实证明(并且可以通过使用半经验质量公式寻找最稳定的同位素来看出)对于较轻的原子核,稳定同位素的中子数量与质子数量大致相同。这是不对称项的结果。

不过,上面一个∼20稳定所需的中子数量增加到最重原子核的质子数量的大约一倍半(图 3.4)。
定性地说,其原因来自库仑项。质子的结合不如中子紧密,因为它们必须克服它们之间的库仑斥力。因此,中子多于质子在能量上是有利的。对于具有大原子质量数的核素,这种库仑效应优于有利于质子和中子数量相等的不对称效应。从(3.10)可以定量地看出这种现象,其中对于小一个最大结合能发生在从≈12一个,即相同数量的质子和中子,但作为一个增加发生的最大结合能从<12一个,即中子多于质子的核素。

物理代写|粒子物理代写particle physics代考|Magic Numbers

事实证明,原子核具有类似于门捷列夫化学元素周期表所描述的原子的周期性质的周期性性质。半经验质量公式没有描述原子核的这一特征。特别是,发现该公式预测的结合能低估了“魔术核素”的实际结合能,其中中子数,ñ= (一个−从),或质子数,从, 等于以下“幻数”之一:
2,8,20,28,50,82,126,184
对于中子数和质子数都等于幻数的“双重幻数”核素,这种效应尤其明显,例如,对于24H和,816○,2040C一个,82208 磷b. 为了24H和半经验质量公式预测的结合能21.69米和在,而测量值为28.30米和在(低估了大约30%), 为了816○(氧气)这些值是123.18和127.62米和在,分别(低估了约3%, 为了2040C一个

(钙)它们是338.90和342.05米和在(低估了大约1%) 并且对于82208 磷b(铅)他们是1612.2和1636.4米和在(低估了大约1.5%)。
神奇核素具有与其结合能特性相关的特殊特征,例如: 中子(或质子)分离能(去除最后一个中子(或质子)所需的能量)峰值ñ(从)等于一个幻数。例如,图。4.1显示了同位素的中子分离能56一个乙一个(钡) 作为中子数的函数,ñ. 当中子数越过幻数 82 时,我们可以看到结合能明显提高。

如果有更稳定的同位素从是一个幻数和更稳定的同位素,如果ñ是一个神奇的数字。

如果ñ是一个幻数,则中子捕获的横截面比其他核素的横截面低得多(10-100 倍),如图 4.2 所示。

激发态的能量比基态高得多,如果有的话ñ或者从或者两者都是幻数。例如,在图 1 中。4.3我们给出了各种同位素的激发能值82一个磷b,我们可以看到神奇的核素82126 磷b具有比其他同位素高约 3 倍的激发能量。

元素与从或/和ñ等于一个幻数的自然丰度比附近的元素或同位素具有更大的自然丰度,其值为偶数从或者ñ. 让我们看一下,例如,在2040C一个. 实际上,比较与魔法核素不同的核素是有意义的ñ或者从偶数,因为这些核素更稳定,因此具有更大的自然丰度。还应注意,2040C一个是最重的稳定同位素从=ñ. 它在其他同位素中的丰度C一个是关于97%. 上一个核素与从=ñ(不等于幻数)是1836一个r(氩),其中只有丰富0.34%在 Ar 的其他同位素中,而从=ñ同位素与从=22, 44吨一世(钛)完全不存在。

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