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物理代写|粒子物理代写particle physics代考|Magnetic Dipole Moments

Since nuclei with an odd number of protons and/or neutrons have intrinsic spin, they also generally possess a magnetic dipole moment.

The unit of the magnetic dipole moment for a nucleus, the “nuclear magneton”, is defined as
$$
\mu_N=\frac{e \hbar}{2 m_p},
$$
which is analogous to the Bohr magneton but with the electron mass replaced by the proton mass. It is defined such that the magnetic moment of a proton due to its orbital angular momentum $\ell$ is $\mu_N \ell$. Experimentally it is found that the magnetic moment of the proton due to its spin is
$$
\mu_p=2.79 \mu_N=5.58 \mu_N s, \quad\left(s=\frac{1}{2}\right)
$$
and that of the neutron is
$$
\mu_n=-1.91 \mu_N=-3.82 \mu_N s, \quad\left(s=\frac{1}{2}\right) .
$$
If we apply a magnetic field in the $z$-direction to a nucleus, then the unpaired proton with orbital angular momentum $\boldsymbol{\ell}$, spin $\boldsymbol{s}$ and total angular momentum $\boldsymbol{j}$ will give a contribution to the $z$-component of the nuclear magnetic moment
$$
\mu_z=\left(5.58 s_z+\ell_z\right) \mu_N .
$$

As in the case of the “Zeeman effect”, we can use the vector model approach to project $s$ and $\ell$ onto the total momentum, $\boldsymbol{j}$, and then project $\boldsymbol{j}$ onto the $z$-axis yielding
$$
\mu_z=\frac{(5.58\langle\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{j}\rangle+\langle\boldsymbol{\ell} \cdot \boldsymbol{j}\rangle)}{\left\langle\boldsymbol{j}^2\right\rangle} j_z \mu_N .
$$

物理代写|粒子物理代写particle physics代考|The Collective Model

The Shell Model has its shortcomings. In spite of its great success, the usefulness of the Shell Model should not be overstated. It has a limited range of validity – it can explain phenomena mainly relevant to the light spherical nuclei, but even in this case one observes discrepancies between the predictions of the model and experiment. These discrepancies are even larger for heavier nuclei. We have already seen that the Shell Model does not predict magnetic dipole moments or the spectra of excited states very well.

One further failing of the Shell Model is the prediction of electric quadrupole moments. The Shell Model predicts very small values for thesese. Ilowever, for heavier nuclei with $A$ in the range of 150-190 and for $A>220$, these electric quadrupole moments are found to be rather large. The failure of the Shell Model to correctly predict electric quadrupole moments arises from the assumption that the nucleons move in a spherically symmetric potential.

A model that generalizes the Shell Model is the Collective Model, which considers the effect of a non-spherically symmetric potential (leading to substantial deformations for large nuclei and consequently large electric quadrupole moments) and takes into account interactions between nucleons. One of the most striking consequences of the Collective Model is the explanation of low-lying excited states of heavy nuclei. These excitations are of two types:

  • Rotational States. A nucleus whose nucleon density distributions are spherically symmetric (zero quadrupole moment) cannot have rotational excitations (this is analogous to the application of the principle of equipartition of energy to monatomic molecules for which there are no degrees of freedom associated with rotation). On the other hand, a nucleus with a non-zero quadrupole moment can have excited levels due to rotation perpendicular to the (rotational) axis of symmetry.

For an even-even nucleus whose ground state has zero spin, these states have energies
$$
E_{\mathrm{rot}}=\frac{I(I+1) \hbar^2}{2 \mathcal{I}},
$$
where $\mathcal{I}$ is the moment of inertia of the nucleus about an axis through the centre perpendicular to the axis of rotational symmetry as shown in Fig. 4.6, and the integer $I$ is the quantum number of rotational angular momentum.

物理代写|粒子物理代写particle physics代考|PHYS422

物理代写|粒子物理代写particle physics代考|Magnetic Dipole Moments

由于具有奇数个质子和/或中子的原子核具有固有的自旋,它们通常也具有磁偶极矩。
原子核的磁偶极矩单位,”核磁子”,定义为
$$
\mu_N=\frac{e \hbar}{2 m_p},
$$
这类似于玻尔磁子,但电子质量被质子质量取代。它被定义为质子的磁矩由于其轨道角动量 $\ell$ 是 $\mu_N \ell$. 实验 发现,质子的自旋磁矩为
$$
\mu_p=2.79 \mu_N=5.58 \mu_N s, \quad\left(s=\frac{1}{2}\right)
$$
中子是
$$
\mu_n=-1.91 \mu_N=-3.82 \mu_N s, \quad\left(s=\frac{1}{2}\right) .
$$
如果我们在 $z$ – 指向原子核,然后是具有轨道角动量的末配对质子 $\ell$ ,旋转 $s$ 和总角动量 $j$ 会做出贡献的 $z$ – 核 磁矩的分量
$$
\mu_z=\left(5.58 s_z+\ell_z\right) \mu_N .
$$
就像“塞蔓效应”的情况一样,我们可以使用向量模型的方法来投影 $s$ 和 $\ell$ 到总动量上, $j$ ,然后投影 $j$ 到 $z$-轴 屈服
$$
\mu_z=\frac{(5.58\langle\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{j}\rangle+\langle\boldsymbol{\ell} \cdot \boldsymbol{j}\rangle)}{\left\langle\boldsymbol{j}^2\right\rangle} j_z \mu_N .
$$

物理代写|粒子物理代写particle physics代考|The Collective Model

壳模型有其缺点。尽管壳模型取得了巨大成功,但不应夸大其用处。它的有效性范围有限一一它可以解释 主要与轻球核相关的现象,但即使在这种情况下,人们也观察到模型和实验的预测之间存在差异。对于较 重的原子核,这些差异甚至更大。我们已经看到,壳模型不能很好地预测磁偶极矩或激发态的光谱。
壳模型的另一个失败是对电四极矩的预测。壳模型预测这些值非常小。Ilowever,对于较重的原子核 $A$ 在 150-190 的范围内,对于 $A>220$ ,发现这些电四极矩相当大。壳模型末能正确预测电四极矩的原因是假 设核子在球对称势中运动。
推广壳模型的模型是集体模型,它考虑了非球对称势的影响(导致大核的大量变形,从而导致大的电四极 矩),并考虑了核子之间的相互作用。集体模型最引人注目的结果之一是对重核低激发态的解释。这些激 励有两种类型:

  • 旋转状态。核子密度分布为球对称 (零四极矩) 的原子核不能具有旋转激发 (这类似于将能量均分原理 应用于不存在与旋转相关联的自由度的单原子分子)。另一方面,具有非零四极矩的原子核可以由于垂 直于 (旋转) 对称轴的旋转而具有激发能级。
    对于基态自旋为零的偶偶核,这些状态具有能量
    $$
    E_{\text {rot }}=\frac{I(I+1) \hbar^2}{2 \mathcal{I}},
    $$
    在哪里 $\mathcal{I}$ 是原子核绕通过中心的轴的转动愢量,该轴垂直于如图 $4.6$ 所示的旋转对称轴,整数 $I$ 是旋转角动 量的量子数。
物理代写|粒子物理代写particle physics代考

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