相信许多留学生对数学代考都不陌生,国外许多大学都引进了网课的学习模式。网课学业有利有弊,学生不需要到固定的教室学习,只需要登录相应的网站研讨线上课程即可。但也正是其便利性,线上课程的数量往往比正常课程多得多。留学生课业深重,时刻名贵,既要学习知识,又要结束多种类型的课堂作业,physics作业代写,物理代写,论文写作等;网课考试很大程度增加了他们的负担。所以,您要是有这方面的困扰,不要犹疑,订购myassignments-help代考渠道的数学代考服务,价格合理,给你前所未有的学习体会。

我们的数学代考服务适用于那些对课程结束没有掌握,或许没有满足的时刻结束网课的同学。高度匹配专业科目,按需结束您的网课考试、数学代写需求。担保买卖支持,100%退款保证,免费赠送Turnitin检测报告。myassignments-help的Math作业代写服务,是你留学路上忠实可靠的小帮手!


数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Lebesgue–Besicovitch differentiation theorem

Let $\mu$ and $v$ be Radon measures on $\mathbb{R}^n$. The upper $\mu$-density and the lower $\mu$ density of $v$ are the functions $D_\mu^{+} v: \operatorname{spt} \mu \rightarrow[0, \infty]$ and $D_\mu^{-} v: \operatorname{spt} \mu \rightarrow[0, \infty]$, defined as, respectively,
$$
D_\mu^{+} v(x)=\underset{r \rightarrow 0^{+}}{\lim \sup } \frac{v(\bar{B}(x, r))}{\mu(\bar{B}(x, r))}, \quad D_\mu^{-} v(x)=\liminf {r \rightarrow 0^{+}} \frac{v(\bar{B}(x, r))}{\mu(\bar{B}(x, r))}, \quad x \in \operatorname{spt} \mu . $$ If the two limits exist and are finite, then we denote by $D\mu v(x)$ their common value, and call it the $\mu$-density of $v$ at $x$. We have thus defined a function
$$
D_\mu v:\left{x \in \operatorname{spt} \mu: D_\mu^{+} v(x)=D_\mu^{-} v(x)\right} \rightarrow[0, \infty] .
$$
Remark 5.7 By Exercise 4.27, and since spt $\mu$ is a closed set, $D_\mu^{+} v$ and $D_\mu^{-} v$ are Borel functions, which, by Remark $4.2$, we may consider as defined on the whole of $\mathbb{R}^n$. With the same caveat, $D_\mu v$ is a Borel function on $\mathbb{R}^n$. By Proposition 2.16, for every $x \in \mathbb{R}^n$ there exist at most countably many values of $r>0$ such that either $\mu(\partial B(x, r))>0$ or $v(\partial B(x, r))>0$. As a consequence, if $D_\mu v$ is defined at $x$, then it satisfies
$$
D_\mu v(x)=\lim {r \rightarrow 0^{+}} \frac{v(B(x, r))}{\mu(B(x, r))} . $$ In other words, in evaluating $D\mu v$, we may indifferently use open or closed balls. The use of closed balls in the definition of $D_\mu^{+} v$ and $D_\mu^{-} v$ is instead necessary in order to apply Vitali’s property in the proof of the following theorem.
Theorem $5.8$ (Lebesgue-Besicovitch differentiation theorem) If $\mu$ and $v$ are Radon measures on $\mathbb{R}^n$, then $D_\mu v$ is defined $\mu$-a.e. on $\mathbb{R}^n, D_\mu v \in L_{\text {loc }}^1\left(\mathbb{R}^n, \mu\right)$, and, in fact, $D_\mu v$ is Borel measurable on $\mathbb{R}^n$. Furthermore,
$$
v=\left(D_\mu v\right) \mu+v_\mu^s \quad \text { on } \mathcal{M}(\mu),
$$
where the Radon measure $v_\mu^8$ is concentrated on the Borel set
$$
\begin{aligned}
Y &=\mathbb{R}^n \backslash\left{x \in \operatorname{spt} \mu: D_\mu^{+} v(x)<\infty\right} \
&=\left(\mathbb{R}^n \backslash \operatorname{spt} \mu\right) \cup\left{x \in \operatorname{spt} \mu: D_\mu^{+} v(x)=\infty\right} .
\end{aligned}
$$

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Lebesgue points

By the mean value theorem, if $u \in C^0(\mathbb{R})$ and $\mu$ is a Radon measure on $\mathbb{R}^n$, then $\lim {r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\mu(B(x, r))} \int{B(x, r)}|u(x)-u| \mathrm{d} \mu=0, \quad \forall x \in \mathbb{R}^n$.
If now $u \in L_{\mathrm{loc}}^1\left(\mathbb{R}^n, \mu\right)$, then this property still holds at $\mu$-a.e. $x \in \mathbb{R}^n$.
Theorem $5.16$ (Lebesgue points theorem) If $\mu$ is a Radon measure on $\mathbb{R}^n$, $p \in[1, \infty)$ and $u \in L_{\mathrm{loc}}^p\left(\mathbb{R}^n, \mu\right)$, then for $\mu$-a.e. $x \in \mathbb{R}^n$
$$
\lim {r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\mu(B(x, r))} \int{B(x, r)}|u(x)-u|^p \mathrm{~d} \mu=0 .
$$
In this case, we say that $x$ is a Lebesgue point of $u$ with respect to $\mu$.
Example 5.17 Given $E \subset \mathbb{R}^n$ and $x \in \mathbb{R}^n$, if the limit
$$
\theta_n(E)(x)=\lim {r \rightarrow 0^{+}} \frac{|E \cap B(x, r)|}{\omega_n r^n} $$ exists, it is called the $n$-dimensional density of $E$ at $x$. By the same argument as in Remark $5.7, \theta_n(E)$ defines a Borel function $\mathbb{R}^n$. If $E$ is a Lebesgue measurable set in $\mathbb{R}^n$, and we apply Theorem $5.16$ to the Radon measure $\mu=\mathcal{L}^n\llcorner E$, then we deduce immediately that $\theta_n(E)(x)$ exists for a.e. $x \in \mathbb{R}^n$. In particular, $$ \theta_n(E)=1 \text { a.e. on } E, \quad \theta_n(E)=0 \text { a.e. on } \mathbb{R}^n \backslash E \text {. } $$ Given $t \in[0,1]$, the set of points of density $t$ of $E$ is defined as $$ E^{(t)}=\left{x \in \mathbb{R}^n: \theta_n(E)(x)=t\right}, $$ and it turns out to be a Borel set. Every Lebesgue measurable set is equivalent to the set of its points of density one, since, by (5.18), $$ \left|E \Delta E^{(1)}\right|=0, \quad\left|\left(\mathbb{R}^n \backslash E\right) \Delta E^{(0)}\right|=0 . $$ Proof of Theorem $5.16$ We first note that for $\mu$-a.e. $x \in \mathbb{R}^n$ $$ \lim {r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\mu(B(x, r))} \int_{B(x, r)} u \mathrm{~d} \mu=u(x) .
$$

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|MAT638

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Lebesgue–Besicovitch differentiation theorem

让 $\mu$ 和 $v$ 爻措施 $\mathbb{R}^n$. 上层 $\mu$-密度和更低 $\mu$ 密度 $v$ 是函数 $D_\mu^{+} v: \operatorname{spt} \mu \rightarrow[0, \infty]$ 和 $D_\mu^{-} v: \operatorname{spt} \mu \rightarrow[0, \infty]$ ,分 别定义为,
$$
D_\mu^{+} v(x)=\limsup {r \rightarrow 0^{+}} \frac{v(\bar{B}(x, r))}{\mu(\bar{B}(x, r))}, \quad D\mu^{-} v(x)=\liminf r \rightarrow 0^{+} \frac{v(\bar{B}(x, r))}{\mu(\bar{B}(x, r))}, \quad x \in \operatorname{spt} \mu .
$$
如果这两个极限存在并且是有限的,那么我们表示 $D \mu v(x)$ 它们的共同价值,并称之为 $\mu$-密度 $v$ 在 $x$. 因此 涐们定义了一个函数
备注 $5.7$ 通过练习 4.27,并且由于 $\operatorname{spt} \mu$ 是闭集, $D_\mu^{+} v$ 和 $D_\mu^{-} v$ 是 Borel 函数,根据 Remark 4.2,我们可以 认为在整体上定义为 $\mathbb{R}^n$. 同样的警告, $D_\mu v$ 是一个 Borel 函数 $\mathbb{R}^n$. 根据命题 2.16,对于每个 $x \in \mathbb{R}^n$ 最多存 在可数个值 $r>0$ 这样要么 $\mu(\partial B(x, r))>0$ 或者 $v(\partial B(x, r))>0$. 因此,如果 $D_\mu v$ 定义为 $x$ ,那么它满 足
$$
D_\mu v(x)=\lim r \rightarrow 0^{+} \frac{v(B(x, r))}{\mu(B(x, r))} .
$$
换句话说,在评估 $D \mu v$ ,我们可以无所谓地使用开球或闭球。在定义中使用封闭球 $D_\mu^{+} v$ 和 $D_\mu^{-} v$ 相反,为 了在以下定理的证明中应用 Vitali 的性质,是必要的。
定理5.8(Lebesgue-Besicovitch 微分定理) 如果 $\mu$ 和 $v$ 是氢措施 $\mathbb{R}^n$ ,然后 $D_\mu v$ 被定义为 $\mu$-ae 开启 $\mathbb{R}^n, D_\mu v \in L_{\text {loc }}^1\left(\mathbb{R}^n, \mu\right)$ ,而且,事实上, $D_\mu v$ Borel 是可测量的 $\mathbb{R}^n$. 此外,
$$
v=\left(D_\mu v\right) \mu+v_\mu^s \quad \text { on } \mathcal{M}(\mu),
$$
氢测量在哪里 $v_\mu^8$ 集中在 Borel 集上

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Lebesgue points

由中值定理,如果 $u \in C^0(\mathbb{R})$ 和 $\mu$ 是氢测量 $\mathbb{R}^n$ ,然后 $\lim r \rightarrow 0^{+} \frac{1}{\mu(B(x, r))} \int B(x, r)|u(x)-u| \mathrm{d} \mu=0, \quad \forall x \in \mathbb{R}^n$.
如果现在 $u \in L_{\text {loc }}^1\left(\mathbb{R}^n, \mu\right)$ ,那么这个性质仍然成立 $\mu$-ae $x \in \mathbb{R}^n$.
定理5.16 (勒贝格点定理) 如果 $\mu$ 是袀测量 $\mathbb{R}^n, p \in[1, \infty)$ 和 $u \in L_{\text {loc }}^p\left(\mathbb{R}^n, \mu\right)$ ,那么对于 $\mu$-aex $\in \mathbb{R}^n$
$$
\lim r \rightarrow 0^{+} \frac{1}{\mu(B(x, r))} \int B(x, r)|u(x)-u|^p \mathrm{~d} \mu=0 .
$$
在这种情况下,我们说 $x$ 是一个勒贝格点 $u$ 关于 $\mu$.
例 $5.17$ 给定 $E \subset \mathbb{R}^n$ 和 $x \in \mathbb{R}^n$ ,如果极限
$$
\theta_n(E)(x)=\lim r \rightarrow 0^{+} \frac{|E \cap B(x, r)|}{\omega_n r^n}
$$
存在,称为 $n$-维密度 $E$ 在 $x$. 通过与备注中相同的论点5.7, $\theta_n(E)$ 定义一个 Borel 函数 $\mathbb{R}^n$. 如果 $E$ 是一个 Lebesgue 可测集 $\mathbb{R}^n$ ,我们应用定理 $5.16$ 氡测量 $\mu=\mathcal{L}^n\left\llcorner E\right.$ ,那么我们立即推断出 $\theta_n(E)(x)$ 为 ae 存在 $x \in \mathbb{R}^n$. 尤其是,
$$
\theta_n(E)=1 \text { a.e. on } E, \quad \theta_n(E)=0 \text { a.e. on } \mathbb{R}^n \backslash E .
$$
给定 $t \in[0,1]$ ,密度点的集合 $t$ 的 $E$ 定义为
$E^{\wedge}{(t)}=\backslash l_1 f t\left{x \backslash\right.$ in $\backslash$ mathbb ${R}^{\wedge} n: \backslash t$ theta_n$\left.(E)(x)=t \backslash r_{i g h t}\right}$,
结果是一个 Borel 集。每个 Lebesgue 可测集都等价于其密度为 1 的点的集合,因为,根据 (5.18),
$$
\left|E \Delta E^{(1)}\right|=0, \quad\left|\left(\mathbb{R}^n \backslash E\right) \Delta E^{(0)}\right|=0 .
$$
定理证明 $5.16$ 我们首先注意到对于 $\mu$-ae $x \in \mathbb{R}^n$
$$
\lim r \rightarrow 0^{+} \frac{1}{\mu(B(x, r))} \int_{B(x, r)} u \mathrm{~d} \mu=u(x)
$$

数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考

myassignments-help数学代考价格说明

1、客户需提供物理代考的网址,相关账户,以及课程名称,Textbook等相关资料~客服会根据作业数量和持续时间给您定价~使收费透明,让您清楚的知道您的钱花在什么地方。

2、数学代写一般每篇报价约为600—1000rmb,费用根据持续时间、周作业量、成绩要求有所浮动(持续时间越长约便宜、周作业量越多约贵、成绩要求越高越贵),报价后价格觉得合适,可以先付一周的款,我们帮你试做,满意后再继续,遇到Fail全额退款。

3、myassignments-help公司所有MATH作业代写服务支持付半款,全款,周付款,周付款一方面方便大家查阅自己的分数,一方面也方便大家资金周转,注意:每周固定周一时先预付下周的定金,不付定金不予继续做。物理代写一次性付清打9.5折。

Math作业代写、数学代写常见问题

留学生代写覆盖学科?

代写学科覆盖Math数学,经济代写,金融,计算机,生物信息,统计Statistics,Financial Engineering,Mathematical Finance,Quantitative Finance,Management Information Systems,Business Analytics,Data Science等。代写编程语言包括Python代写、Physics作业代写、物理代写、R语言代写、R代写、Matlab代写、C++代做、Java代做等。

数学作业代写会暴露客户的私密信息吗?

我们myassignments-help为了客户的信息泄露,采用的软件都是专业的防追踪的软件,保证安全隐私,绝对保密。您在我们平台订购的任何网课服务以及相关收费标准,都是公开透明,不存在任何针对性收费及差异化服务,我们随时欢迎选购的留学生朋友监督我们的服务,提出Math作业代写、数学代写修改建议。我们保障每一位客户的隐私安全。

留学生代写提供什么服务?

我们提供英语国家如美国、加拿大、英国、澳洲、新西兰、新加坡等华人留学生论文作业代写、物理代写、essay润色精修、课业辅导及网课代修代写、Quiz,Exam协助、期刊论文发表等学术服务,myassignments-help拥有的专业Math作业代写写手皆是精英学识修为精湛;实战经验丰富的学哥学姐!为你解决一切学术烦恼!

物理代考靠谱吗?

靠谱的数学代考听起来简单,但实际上不好甄别。我们能做到的靠谱,是把客户的网课当成自己的网课;把客户的作业当成自己的作业;并将这样的理念传达到全职写手和freelancer的日常培养中,坚决辞退糊弄、不守时、抄袭的写手!这就是我们要做的靠谱!

数学代考下单流程

提早与客服交流,处理你心中的顾虑。操作下单,上传你的数学代考/论文代写要求。专家结束论文,准时交给,在此过程中可与专家随时交流。后续互动批改

付款操作:我们数学代考服务正常多种支付方法,包含paypal,visa,mastercard,支付宝,union pay。下单后与专家直接互动。

售后服务:论文结束后保证完美经过turnitin查看,在线客服全天候在线为您服务。如果你觉得有需求批改的当地能够免费批改,直至您对论文满意为止。如果上交给教师后有需求批改的当地,只需求告诉您的批改要求或教师的comments,专家会据此批改。

保密服务:不需求提供真实的数学代考名字和电话号码,请提供其他牢靠的联系方法。我们有自己的工作准则,不会泄露您的个人信息。

myassignments-help擅长领域包含但不是全部:

myassignments-help服务请添加我们官网的客服或者微信/QQ,我们的服务覆盖:Assignment代写、Business商科代写、CS代考、Economics经济学代写、Essay代写、Finance金融代写、Math数学代写、report代写、R语言代考、Statistics统计学代写、物理代考、作业代写、加拿大代考、加拿大统计代写、北美代写、北美作业代写、北美统计代考、商科Essay代写、商科代考、数学代考、数学代写、数学作业代写、physics作业代写、物理代写、数据分析代写、新西兰代写、澳洲Essay代写、澳洲代写、澳洲作业代写、澳洲统计代写、澳洲金融代写、留学生课业指导、经济代写、统计代写、统计作业代写、美国Essay代写、美国代考、美国数学代写、美国统计代写、英国Essay代写、英国代考、英国作业代写、英国数学代写、英国统计代写、英国金融代写、论文代写、金融代考、金融作业代写。