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数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Lebesgue–Besicovitch differentiation theorem
Let $\mu$ and $v$ be Radon measures on $\mathbb{R}^n$. The upper $\mu$-density and the lower $\mu$ density of $v$ are the functions $D_\mu^{+} v: \operatorname{spt} \mu \rightarrow[0, \infty]$ and $D_\mu^{-} v: \operatorname{spt} \mu \rightarrow[0, \infty]$, defined as, respectively,
$$
D_\mu^{+} v(x)=\underset{r \rightarrow 0^{+}}{\lim \sup } \frac{v(\bar{B}(x, r))}{\mu(\bar{B}(x, r))}, \quad D_\mu^{-} v(x)=\liminf {r \rightarrow 0^{+}} \frac{v(\bar{B}(x, r))}{\mu(\bar{B}(x, r))}, \quad x \in \operatorname{spt} \mu . $$ If the two limits exist and are finite, then we denote by $D\mu v(x)$ their common value, and call it the $\mu$-density of $v$ at $x$. We have thus defined a function
$$
D_\mu v:\left{x \in \operatorname{spt} \mu: D_\mu^{+} v(x)=D_\mu^{-} v(x)\right} \rightarrow[0, \infty] .
$$
Remark 5.7 By Exercise 4.27, and since spt $\mu$ is a closed set, $D_\mu^{+} v$ and $D_\mu^{-} v$ are Borel functions, which, by Remark $4.2$, we may consider as defined on the whole of $\mathbb{R}^n$. With the same caveat, $D_\mu v$ is a Borel function on $\mathbb{R}^n$. By Proposition 2.16, for every $x \in \mathbb{R}^n$ there exist at most countably many values of $r>0$ such that either $\mu(\partial B(x, r))>0$ or $v(\partial B(x, r))>0$. As a consequence, if $D_\mu v$ is defined at $x$, then it satisfies
$$
D_\mu v(x)=\lim {r \rightarrow 0^{+}} \frac{v(B(x, r))}{\mu(B(x, r))} . $$ In other words, in evaluating $D\mu v$, we may indifferently use open or closed balls. The use of closed balls in the definition of $D_\mu^{+} v$ and $D_\mu^{-} v$ is instead necessary in order to apply Vitali’s property in the proof of the following theorem.
Theorem $5.8$ (Lebesgue-Besicovitch differentiation theorem) If $\mu$ and $v$ are Radon measures on $\mathbb{R}^n$, then $D_\mu v$ is defined $\mu$-a.e. on $\mathbb{R}^n, D_\mu v \in L_{\text {loc }}^1\left(\mathbb{R}^n, \mu\right)$, and, in fact, $D_\mu v$ is Borel measurable on $\mathbb{R}^n$. Furthermore,
$$
v=\left(D_\mu v\right) \mu+v_\mu^s \quad \text { on } \mathcal{M}(\mu),
$$
where the Radon measure $v_\mu^8$ is concentrated on the Borel set
$$
\begin{aligned}
Y &=\mathbb{R}^n \backslash\left{x \in \operatorname{spt} \mu: D_\mu^{+} v(x)<\infty\right} \
&=\left(\mathbb{R}^n \backslash \operatorname{spt} \mu\right) \cup\left{x \in \operatorname{spt} \mu: D_\mu^{+} v(x)=\infty\right} .
\end{aligned}
$$
数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Lebesgue points
By the mean value theorem, if $u \in C^0(\mathbb{R})$ and $\mu$ is a Radon measure on $\mathbb{R}^n$, then $\lim {r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\mu(B(x, r))} \int{B(x, r)}|u(x)-u| \mathrm{d} \mu=0, \quad \forall x \in \mathbb{R}^n$.
If now $u \in L_{\mathrm{loc}}^1\left(\mathbb{R}^n, \mu\right)$, then this property still holds at $\mu$-a.e. $x \in \mathbb{R}^n$.
Theorem $5.16$ (Lebesgue points theorem) If $\mu$ is a Radon measure on $\mathbb{R}^n$, $p \in[1, \infty)$ and $u \in L_{\mathrm{loc}}^p\left(\mathbb{R}^n, \mu\right)$, then for $\mu$-a.e. $x \in \mathbb{R}^n$
$$
\lim {r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\mu(B(x, r))} \int{B(x, r)}|u(x)-u|^p \mathrm{~d} \mu=0 .
$$
In this case, we say that $x$ is a Lebesgue point of $u$ with respect to $\mu$.
Example 5.17 Given $E \subset \mathbb{R}^n$ and $x \in \mathbb{R}^n$, if the limit
$$
\theta_n(E)(x)=\lim {r \rightarrow 0^{+}} \frac{|E \cap B(x, r)|}{\omega_n r^n} $$ exists, it is called the $n$-dimensional density of $E$ at $x$. By the same argument as in Remark $5.7, \theta_n(E)$ defines a Borel function $\mathbb{R}^n$. If $E$ is a Lebesgue measurable set in $\mathbb{R}^n$, and we apply Theorem $5.16$ to the Radon measure $\mu=\mathcal{L}^n\llcorner E$, then we deduce immediately that $\theta_n(E)(x)$ exists for a.e. $x \in \mathbb{R}^n$. In particular, $$ \theta_n(E)=1 \text { a.e. on } E, \quad \theta_n(E)=0 \text { a.e. on } \mathbb{R}^n \backslash E \text {. } $$ Given $t \in[0,1]$, the set of points of density $t$ of $E$ is defined as $$ E^{(t)}=\left{x \in \mathbb{R}^n: \theta_n(E)(x)=t\right}, $$ and it turns out to be a Borel set. Every Lebesgue measurable set is equivalent to the set of its points of density one, since, by (5.18), $$ \left|E \Delta E^{(1)}\right|=0, \quad\left|\left(\mathbb{R}^n \backslash E\right) \Delta E^{(0)}\right|=0 . $$ Proof of Theorem $5.16$ We first note that for $\mu$-a.e. $x \in \mathbb{R}^n$ $$ \lim {r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\mu(B(x, r))} \int_{B(x, r)} u \mathrm{~d} \mu=u(x) .
$$
数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Lebesgue–Besicovitch differentiation theorem
让 $\mu$ 和 $v$ 爻措施 $\mathbb{R}^n$. 上层 $\mu$-密度和更低 $\mu$ 密度 $v$ 是函数 $D_\mu^{+} v: \operatorname{spt} \mu \rightarrow[0, \infty]$ 和 $D_\mu^{-} v: \operatorname{spt} \mu \rightarrow[0, \infty]$ ，分 别定义为，
$$
D_\mu^{+} v(x)=\limsup {r \rightarrow 0^{+}} \frac{v(\bar{B}(x, r))}{\mu(\bar{B}(x, r))}, \quad D\mu^{-} v(x)=\liminf r \rightarrow 0^{+} \frac{v(\bar{B}(x, r))}{\mu(\bar{B}(x, r))}, \quad x \in \operatorname{spt} \mu .
$$
如果这两个极限存在并且是有限的，那么我们表示 $D \mu v(x)$ 它们的共同价值，并称之为 $\mu$-密度 $v$ 在 $x$. 因此 涐们定义了一个函数
备注 $5.7$ 通过练习 4.27，并且由于 $\operatorname{spt} \mu$ 是闭集， $D_\mu^{+} v$ 和 $D_\mu^{-} v$ 是 Borel 函数，根据 Remark 4.2，我们可以 认为在整体上定义为 $\mathbb{R}^n$. 同样的警告， $D_\mu v$ 是一个 Borel 函数 $\mathbb{R}^n$. 根据命题 2.16，对于每个 $x \in \mathbb{R}^n$ 最多存 在可数个值 $r>0$ 这样要么 $\mu(\partial B(x, r))>0$ 或者 $v(\partial B(x, r))>0$. 因此，如果 $D_\mu v$ 定义为 $x$ ，那么它满 足
$$
D_\mu v(x)=\lim r \rightarrow 0^{+} \frac{v(B(x, r))}{\mu(B(x, r))} .
$$
换句话说，在评估 $D \mu v$ ，我们可以无所谓地使用开球或闭球。在定义中使用封闭球 $D_\mu^{+} v$ 和 $D_\mu^{-} v$ 相反，为 了在以下定理的证明中应用 Vitali 的性质，是必要的。
定理5.8(Lebesgue-Besicovitch 微分定理) 如果 $\mu$ 和 $v$ 是氢措施 $\mathbb{R}^n$ ，然后 $D_\mu v$ 被定义为 $\mu$-ae 开启 $\mathbb{R}^n, D_\mu v \in L_{\text {loc }}^1\left(\mathbb{R}^n, \mu\right)$ ，而且，事实上， $D_\mu v$ Borel 是可测量的 $\mathbb{R}^n$. 此外，
$$
v=\left(D_\mu v\right) \mu+v_\mu^s \quad \text { on } \mathcal{M}(\mu),
$$
氢测量在哪里 $v_\mu^8$ 集中在 Borel 集上
数学代写|几何测度论代写geometric measure theory代考|Lebesgue points
由中值定理，如果 $u \in C^0(\mathbb{R})$ 和 $\mu$ 是氢测量 $\mathbb{R}^n$ ，然后 $\lim r \rightarrow 0^{+} \frac{1}{\mu(B(x, r))} \int B(x, r)|u(x)-u| \mathrm{d} \mu=0, \quad \forall x \in \mathbb{R}^n$.
如果现在 $u \in L_{\text {loc }}^1\left(\mathbb{R}^n, \mu\right)$ ，那么这个性质仍然成立 $\mu$-ae $x \in \mathbb{R}^n$.
定理5.16 (勒贝格点定理) 如果 $\mu$ 是袀测量 $\mathbb{R}^n, p \in[1, \infty)$ 和 $u \in L_{\text {loc }}^p\left(\mathbb{R}^n, \mu\right)$ ，那么对于 $\mu$-aex $\in \mathbb{R}^n$
$$
\lim r \rightarrow 0^{+} \frac{1}{\mu(B(x, r))} \int B(x, r)|u(x)-u|^p \mathrm{~d} \mu=0 .
$$
在这种情况下，我们说 $x$ 是一个勒贝格点 $u$ 关于 $\mu$.
例 $5.17$ 给定 $E \subset \mathbb{R}^n$ 和 $x \in \mathbb{R}^n$ ，如果极限
$$
\theta_n(E)(x)=\lim r \rightarrow 0^{+} \frac{|E \cap B(x, r)|}{\omega_n r^n}
$$
存在，称为 $n$-维密度 $E$ 在 $x$. 通过与备注中相同的论点5.7, $\theta_n(E)$ 定义一个 Borel 函数 $\mathbb{R}^n$. 如果 $E$ 是一个 Lebesgue 可测集 $\mathbb{R}^n$ ，我们应用定理 $5.16$ 氡测量 $\mu=\mathcal{L}^n\left\llcorner E\right.$ ，那么我们立即推断出 $\theta_n(E)(x)$ 为 ae 存在 $x \in \mathbb{R}^n$. 尤其是，
$$
\theta_n(E)=1 \text { a.e. on } E, \quad \theta_n(E)=0 \text { a.e. on } \mathbb{R}^n \backslash E .
$$
给定 $t \in[0,1]$ ，密度点的集合 $t$ 的 $E$ 定义为
$E^{\wedge}{(t)}=\backslash l_1 f t\left{x \backslash\right.$ in $\backslash$ mathbb ${R}^{\wedge} n: \backslash t$ theta_n$\left.(E)(x)=t \backslash r_{i g h t}\right}$,
结果是一个 Borel 集。每个 Lebesgue 可测集都等价于其密度为 1 的点的集合，因为，根据 (5.18)，
$$
\left|E \Delta E^{(1)}\right|=0, \quad\left|\left(\mathbb{R}^n \backslash E\right) \Delta E^{(0)}\right|=0 .
$$
定理证明 $5.16$ 我们首先注意到对于 $\mu$-ae $x \in \mathbb{R}^n$
$$
\lim r \rightarrow 0^{+} \frac{1}{\mu(B(x, r))} \int_{B(x, r)} u \mathrm{~d} \mu=u(x)
$$
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