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统计代写|应用线性模型代写Applied Linear Models代考|Estimation under the null hypothesis
When considering the hypothesis $H: \quad \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$ it is natural to ask, “What is the estimator of $\mathbf{b}$ under the null hypothesis?” This might be especially pertinent following non-rejection of the hypothesis by the preceding $F$-test. The desired estimator, $\tilde{b}$ say, is readily obtainable using constrained least squares. Thus $\tilde{\mathbf{b}}$ is derived so as to minimize $(\mathbf{y}-\mathbf{X} \tilde{\mathbf{b}})^{\prime}(\mathbf{y}-\mathbf{X} \tilde{\mathbf{b}})$ subject to the constraint $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$.
With $2 \theta^{\prime}$ as a vector of Lagrange multipliers we minimize
$$
(\mathbf{y}-\mathbf{X} \tilde{b})^{\prime}(\mathbf{y}-\mathbf{X} \tilde{\mathbf{b}})+2 \mathbf{\theta}^{\prime}\left(\mathbf{K}^{\prime} \tilde{\mathbf{b}}-\mathbf{m}\right)
$$
with respect to the elements of $\overrightarrow{\mathbf{b}}$ and $\boldsymbol{\theta}$. Differentiation with respect to these elements leads to the equations
with the other terms vanishing because $\mathbf{X}^{\prime}(\mathbf{y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{b}})=\mathbf{0}$.
统计代写|应用线性模型代写Applied Linear Models代考|Reduced models
We now consider, in turn, the effect on the model $\mathbf{y}=\mathbf{X b}+\mathbf{e}$ of the hypotheses $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}, \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{0}$ and $\mathbf{b}q=\mathbf{0}$. (i) $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$. In estimating $\mathbf{b}$ subject to $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$ it could be said that we are dealing with a model $\mathbf{y}=\mathbf{X b}+\mathbf{e}$ on which has been imposed the limitation $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$. We refer to the model that we start with, $\mathbf{y}=\mathbf{X b}+\mathbf{e}$ without the limitation, as the full model; and the model with the limitation imposed, $\mathbf{y}=\mathbf{X b}+\mathbf{e}$ with $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$, is called the reduced model. For example, if the full model is $$ y_i=b_0+b_1 x{i 1}+b_2 x_{i 2}+b_3 x_{i 3}+e_i
$$
and the hypothesis is $H: b_1=b_2$, the reduced model is
$$
y_i=b_0+b_1\left(x_{i 1}+x_{i 2}\right)+b_3 x_{i 3}+e_i .
$$
The meaning of $Q$ and of SSE $+Q$ is now investigated in terms of sums of squares associated with the full and reduced models. To aid description we introduce the terms reduction(full) and residual(full) for the reduction and residual sums of squares after fitting the full model:
reduction(full) $=$ SSR $\quad$ and $\quad$ residual(full $)=$ SSE.
Similarly
$$
\mathrm{SSE}+Q=\text { residual(reduced), }
$$
as established in (105). Hence
$$
\begin{aligned}
Q &=\mathrm{SSE}+Q-\mathrm{SSE} \
&=\text { residual(reduced })-\text { residual(full) }
\end{aligned}
$$ and also
$$
\begin{aligned}
Q &=\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{y}-\mathrm{SSE}-\left[\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{y}-(\mathrm{SSE}+Q)\right] \
&=\mathrm{SSR}-\left[\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{y}-(\mathrm{SSE}+Q)\right] \
&=\text { reduction(full })-\left[\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{y}-(\mathrm{SSE}+Q)\right]
\end{aligned}
$$
统计代写|应用线性模型代写Applied Linear Models代考|Estimation under the null hypothesis
在考虑假设时 $H: \quad \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$ 很自然地会问: “什么是 $\mathbf{b}$ 在零假设下? “在前面的假设不拒绝之后，这可 能尤其相关 $F$-测试。期望的估计器， $\tilde{b}$ 也就是说，使用约束最小二乘法很容易获得。因此 $\tilde{b}$ 导出以最小化 $(\mathbf{y}-\mathbf{X} \tilde{\mathbf{b}})^{\prime}(\mathbf{y}-\mathbf{X} \tilde{\mathbf{b}})$ 受约束 $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$.
和 $2 \theta^{\prime}$ 作为拉格朗日乘数的向量，我们最小化
$$
(\mathbf{y}-\mathbf{X} \tilde{b})^{\prime}(\mathbf{y}-\mathbf{X} \tilde{\mathbf{b}})+2 \theta^{\prime}\left(\mathbf{K}^{\prime} \tilde{\mathbf{b}}-\mathbf{m}\right)
$$
关于元㨞 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 和 $\theta$. 对这些元素的微分导敚方程
与其他顶消失，因为 $\mathbf{X}^{\prime}(\mathbf{y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{b}})=\mathbf{0}$.
统计代写|应用线性模型代写Applied Linear Models代考|Reduced models
我们现在依次考虑对模型的影响 $\mathbf{y}=\mathbf{X b}+\mathbf{e}$ 的假设 $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}, \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{0}$ 和 $\mathbf{b} q=\mathbf{0}$. (一世) $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$ . 在估计 $\mathbf{b}$ 受制于 $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$ 可以说我们正在处理一个模型 $\mathbf{y}=\mathbf{X} \mathbf{b}+\mathbf{e}$ 受到限制的 $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$. 我们指的是 我们开始使用的模型， $\mathbf{y}=\mathbf{X b}+\mathbf{e}$ 不受限制，作为完整模型；以及施加限制的模型， $\mathbf{y}=\mathbf{X} \mathbf{b}+\mathbf{e}$ 和 $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$, 称为简化模型。例如，如果完整模型是
$$
y_i=b_0+b_1 x i 1+b_2 x_{i 2}+b_3 x_{i 3}+e_i
$$
假设是 $H: b_1=b_2$ ，简化模型为
$$
y_i=b_0+b_1\left(x_{i 1}+x_{i 2}\right)+b_3 x_{i 3}+e_i .
$$
的意思 $Q$ 和上证所 $+Q$ 现在根据与完整模型和简化模型相关的平方和进行研究。为了帮助描述，我们在拟 合完整模型后引入术语 reduction(full) 和 residual(full) 来表示约简和残差平方和: reduction(full)=固态继电器 和 剩余 $($ 满 $)=$ 上证所。 相似地
$$
\mathrm{SSE}+Q=\text { residual(reduced) }
$$
如 (105) 所述。因此
$$
Q=\mathrm{SSE}+Q-\mathrm{SSE} \quad=\text { residual(reduced })-\operatorname{residual}(\text { full })
$$
并且
$$
\left.Q=\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{y}-\operatorname{SSE}-\left[\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{y}-(\mathrm{SSE}+Q)\right] \quad=\operatorname{SSR}-\left[\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{y}-(\mathrm{SSE}+Q)\right]=\text { reduction(full }\right)-\left[\mathbf{y}^{\prime} \mathbf{y}\right.
$$
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