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统计代写|应用线性模型代写Applied Linear Models代考|Example (continued)
Confidence intervals on $b_1$ will be calculated for the example used earlier, a non-symmetric interval from (89) and a symmetric interval from (91). For both we use
$$
\hat{b}1=50 / 24=2.08 $$ from (28), $$ \hat{\sigma}=\sqrt{5.75}=2.40 \quad \text { and } \quad N-r=2 $$ from Table $3.5$, and $$ a^{11}=20 / 144=0.139 $$ from (86) and (44). Then in (89) a non-symmetric confidence interval for $b_1$ is $$ \begin{aligned} 2.08-2.40 t{2, \alpha, U} \sqrt{0.139} \text { to } & 2.08+2.40 t_{2, \alpha, L} \sqrt{0.139} \
&=2.08-0.89 t_{2, \alpha, U} \text { to } 2.08+0.89 t_{2, \alpha, L} \quad \text { (97) }
\end{aligned}
$$
From tabulated values of the $t_2$-distribution, [e.g., Vogler and Norton (1957)] we find that
$$
\operatorname{Pr}(t \leq-3.6)=0.04 \quad \text { and } \quad \operatorname{Pr}(t \geq 7.1)=0.01 \text {, }
$$
so that by (88), for $\alpha=0.05$,
$$
t_{2,05, L}=-3.6 \quad \text { and } \quad t_{2,05, U}=7.1
$$
and so in (97) the confidence interval becomes
$$
2.08-0.89(7.1) \text { to } 2.08-0.89(-3.6)=(-4.23,5.08) \text {. }
$$
It is questionable, of course, as to what kind of situation would reasonably lead to needing a non-symmetric confidence interval with the $t$-distribution. The example illustrates, however, how such intervals can be calculated and doing so emphasizes the important fact that there are many such intervalsbecause there are many values $t_{N-r, \alpha, L}$ and $t_{N-r, \alpha, U}$ that satisfy (88). In contrast, there is only one symmetric confidence interval, the interval which has the optimal property that for given $N-r$ and $\alpha$ it is the interval of shortest length. This is the interval given in (91) for which, for the example, $(90)$ is
$$
\operatorname{Pr}{t \geq 4.30}=0.025
$$
for $t \sim t_2$. Hence the symmetric interval on $b_1$ is, from (91),
$$
\begin{aligned}
2.08 \pm 2.40 t_{2, \frac{1}{2} \alpha} \sqrt{0.139} &=2.08 \pm 0.89 t_{2,0.025} \
&=2.08 \pm 0.89(4.30) \
&=(-1.75,5.91)
\end{aligned}
$$
统计代写|应用线性模型代写Applied Linear Models代考|Testing linear hypotheses
The literature of linear models abounds with discussions of different kinds of hypotheses that can be of interest in widely differing fields of application. Four hypotheses of particular interest are: (i) $H: \quad \mathbf{b}=\mathbf{0}$, the hypothesis that all elements of $\mathbf{b}$ are zero. (ii) $H: \quad \mathbf{b}=\mathbf{b}0$, the hypothesis that $b_i=b{i 0}$ for $i=0,1,2, \ldots, k$, i.e., that each $b_i$ is equal to some specified value $b_{i 0}$. (iii) $H: \quad \boldsymbol{\lambda}^{\prime} \mathbf{b}=m$, that some linear combination of the elements of $\mathbf{b}$ equals a specified constant. (iv) $H: \quad \mathbf{b}_q=\mathbf{0}$, that some of the $b_i$ ‘s, $q$ of them where $q<k$, are zero. Although the calculations for the $F$-statistic for these hypotheses and variants of them appear, on the surface, to differ markedly from one kind of hypothesis to another, we will show that all linear hypotheses can be handled by one universal procedure. Specific hypotheses such as those listed above are then just special cases of the general procedure.
The general hypothesis we consider is
$$
H: \quad \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}
$$
where $\mathbf{b}$, of course, is the $(k+1)$-order vector of parameters of the model; $\mathbf{K}^{\prime}$ is any matrix of $s$ rows and $k+1$ columns; and $\mathbf{m}$ is a vector, of order $s$, of specified constants. There is only one limitation on $\mathbf{K}^{\prime}$ : that it have full row rank, i.e., $r\left(\mathbf{K}^{\prime}\right)=s$. This simply means that the linear functions of $\mathbf{b}$ which form the hypothesis must be linearly independent; that is, the hypothesis must be made up of linearly independent functions of $\mathbf{b}$ and must contain no functions which are linear combinations of others therein. This is quite reasonable because it means, for example, that if the hypothesis relates to $b_1-b_2$ and $b_2-b_3$ then there is no point in having it also relate, explicitly, to $b_1-b_3$. Clearly, this condition on $\mathbf{K}^{\prime}$ is not at all restrictive in limiting the application of the hypothesis $H: \quad \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$ to real problems. Furthermore, although it might seem necessary to also require that $\mathbf{m}$ be such that the equations $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$ be consistent, this is automatically achieved by demanding that $\mathbf{K}^{\prime}$ have full row rank, for the equations $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$ are then consistent for any vector $\mathbf{m}$.
统计代写|应用线性模型代写Applied Linear Models代考|Example (continued)
置信区间 $b_1$ 将为前面使用的示例计算非对称区间 (89) 和对称区间 (91)。我们都使用
$$
\hat{b} 1=50 / 24=2.08
$$
从 (28)，
$$
\hat{\sigma}=\sqrt{5.75}=2.40 \quad \text { and } \quad N-r=2
$$
从表3.5，和
$$
a^{11}=20 / 144=0.139
$$
来自 (86) 和 (44)。然后在 (89) 中的非对称置信区间 $b_1$ 是
$$
2.08-2.40 t 2, \alpha, U \sqrt{0.139} \text { to } 2.08+2.40 t_{2, \alpha, L} \sqrt{0.139}=2.08-0.89 t_{2, \alpha, U} \text { to } 2.08+0.89 t_{2, \alpha, L}
$$
从表中的值 $t_2$-分布，[ 例如，Vogler 和 Norton (1957)] 我们发现
$$
\operatorname{Pr}(t \leq-3.6)=0.04 \text { and } \operatorname{Pr}(t \geq 7.1)=0.01 \text {, }
$$
因此，通过 (88)，对于 $\alpha=0.05$ ，
$$
t_{2,05, L}=-3.6 \quad \text { and } \quad t_{2,05, U}=7.1
$$
所以在 (97) 中，置信区间变为
$$
2.08-0.89(7.1) \text { to } 2.08-0.89(-3.6)=(-4.23,5.08) .
$$
当然，什么样的情况会合理地导致需要一个非对称置信区间是值得怀疑的。 $t$-分配。但是，该示例说明了 如何计算此类间隔，并且这样做强调了一个重要事实，即存在许多此类间隔，因为存在许多值 $t_{N-r, \alpha, L}$ 和 $t_{N-r, \alpha, U}$ 满足 (88)。相反，只有一个对称置信区间，即对于给定的具有最优性质的区间 $N-r$ 和 $\alpha$ 它是 最短长度的区间。这是 (91) 中给出的区间，例如，(90)是
$$
\operatorname{Pr} t \geq 4.30=0.025
$$
为了 $t \sim t_2$. 因此对称区间 $b_1$ 是，从 (91)，
$$
2.08 \pm 2.40 t_{2, \frac{1}{2} \alpha} \sqrt{0.139}=2.08 \pm 0.89 t_{2,0.025} \quad=2.08 \pm 0.89(4.30)=(-1.75,5.91)
$$
统计代写|应用线性模型代写Applied Linear Models代考|Testing linear hypotheses
线性模型的文献中充斥着对不同类型假设的讨论，这些假设可能对广泛不同的应用领域感兴趣。四个特别 感兴趣的假设是: (i) $H: \mathbf{b}=\mathbf{0}$ ，假设所有元㭌b为零。(二) $H: \mathbf{b}=\mathbf{b} 0$, 假设 $b_i=b i 0$ 为了 $i=0,1,2, \ldots, k$ ，即，每个 $b_i$ 等于某个指定值 $b_{i 0} .(三) H: \quad \boldsymbol{\lambda}^{\prime} \mathbf{b}=m$ ，元素的一些线性组合 $\mathbf{b}$ 等于指定的 表面上看在一种假设与另一种假设之间存在显着差异，我们将证明所有线性假设都可以通过一个通用程序 来处理。诸如上面列出的那些特定假设只是一般程序的特殊情况。 我们考虑的一般假设是
$$
H: \quad \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}
$$
在哪里 $\mathbf{b}$ ，当然是 $(k+1)$-模型参数的阶向量； $\mathbf{K}^{\prime}$ 是任何矩阵 $s$ 行和 $k+1$ 列; 和 $\mathbf{m}$ 是一个向量，有序 $s$ ，指 定的常数。只有一个限制 $\mathbf{K}^{\prime}$ : 它具有完整的行等级，即 $r\left(\mathbf{K}^{\prime}\right)=s$. 这仅仅意味着线性函数 $\mathbf{b}$ 构成假设必 须是线性独立的；也就是说，假设必须由线性独立的函数组成 $\mathbf{b}$ 并且不得包含其他函数的线性组合。这是 非常合理的，因为这意味着，例如，如果假设与 $b_1-b_2$ 和 $b_2-b_3$ 那么让它也明确地与 $b_1-b_3$. 显然，这 程 $K^{\prime} b=m$ 保持一致，这是通过要求自动实现的 $K^{\prime}$ 具有完整的行秩，对于方程 $K^{\prime} b=m$ 然后对于任何 向量都是一致的 $\mathbf{m}$.
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