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统计代写|应用线性模型代写Applied Linear Models代考|RELATED TOPICS
It is appropriate to briefly mention certain topics related to the preceding development that are customarily associated with testing hypotheses. The treatment of these topics will do no more than act as an outline to the reader, showing him their application to the linear models situation. As with the discussion of distribution functions in Chapter 2, the reader will have to look elsewhere for a complete discussion of these topics.
a. The likelihood ratio test
Tests of linear hypotheses $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$ have been developed from the starting point of the $F$-statistic. This, in turn, can be shown to stem from the likelihood ratio test.
For a sample of $N$ observations $\mathbf{y}$, where $\mathbf{y}$ is $N\left(\mathbf{X b}, \sigma^2 \mathbf{I}\right)$ the likelihood function is
$$
L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right)=\left(2 \pi \sigma^2\right)^{-\frac{1}{2} N} \exp \left{-\left[(\mathbf{y}-\mathbf{X b})^{\prime}(\mathbf{y}-\mathbf{X b}) / 2 \sigma^2\right]\right} .
$$
The likelihood ratio test utilizes two values of $L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right)$ :
(i) $\operatorname{Max}\left(L_w\right)$, the maximum value of $L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right)$ maximized over the complete range of parameters, namely $0<\sigma^2<\infty$, and $-\infty<b_i<\infty$ for all $i$.
(ii) $\operatorname{Max}\left(L_H\right)$, the maximum value of $L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right)$ maximized over the range of parameters limited (restricted or defined) by the hypothesis $H$.
The likelihood ratio is the ratio of these two maxima:
$$
L=\frac{\max \left(L_H\right)}{\max \left(L_w\right)} .
$$
Each maximum is found in the usual manner: differentiate $L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right)$ with respect to $\sigma^2$ and the elements of $\mathbf{b}$, equate the differentials to zero, solve the resulting equations for $\mathbf{b}$ and $\sigma^2$ and use these solutions in the place of $\mathbf{b}$ and $\sigma^2$ in $L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right)$. In the case of $\max \left(L_H\right)$ the maximization procedure is carried out within the limitations of the hypothesis. We demonstrate for the case of the hypothesis $H: \mathbf{b}=\mathbf{0}$. First, $\partial L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right) / \partial \mathbf{b}=\mathbf{0}$ gives, as we have seen, $\hat{\mathbf{b}}=\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{\prime} \mathbf{y} ;$ and $\partial L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right) / \partial \sigma^2=0$ gives $\hat{\sigma}^2=(\mathbf{y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{b}})^{\prime}(\mathbf{y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{b}}) / N$
统计代写|应用线性模型代写Applied Linear Models代考|Type I and II errors
Under the null hypothesis $H: \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}, F(H)=(N-r) Q / s$ SSE has the $F_{s, N-r}$ distribution. For a significance test at the $100 \alpha \%$ level the rule of the test is to not reject $H$ whenever $F(H) \leq F_{\alpha, s, N-r}$, the tabulated value of the $F_{s, N-r}$ distribution, at the $100 \alpha \%$ point. This means $F_{\alpha, s, N-r}$ is defined as follows: if $u$ is any variable having the $F_{s, N-r}$ distribution then
$$
\operatorname{Pr}\left{u \geq F_{\alpha, s, N-r}\right}=\alpha .
$$
The probability $\alpha$ is the (significance) level of the significance test. An oftused value for it is $0.05$, but there is nothing sacrosanct about this; any value between 0 and 1 can be used for $\alpha$. Other frequently used values are $0.01$ and $0.10$.
The rule of whether or not to reject the hypothesis $H$ is to reject it whenever $F(H)>F_{\alpha, s, N-r}$ and to not reject it whenever $F(H) \leq F_{\alpha, s, N-r}$. By the nature of the statistic $F(H)$ we know that over repeated sampling $F(H)$ will exceed $F_{\alpha, s, N-r}$ on $100 \alpha \%(5 \%$, say $)$ of the time; and when it does we will reject $H$. Therefore, in situations in which the null hypothesis $H$ is actually true, this rejection will constitute an error of judgment. It is the error known as a Type I error, or rejection error. It consists of wrongly rejecting the null hypothesis $H$ when it is true; the probability of its occurrence is $\alpha$.
统计代写|应用线性模型代写Applied Linear Models代考|RELATED TOPICS
简要提及与前面的发展相关的某些主题是适当的，这些主题通常与检验假设相关。对这些主题的处理只是 向读者提供大纲，向他展示它们在线性模型情况下的应用。与第 2 章中对分布函数的讨论一样，读者必须 在别处寻找对这些主题的完整讨论。
一个。似然比检验
线性假设检验 $\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}$ 已经从开发的起点开始 $F$-统计。反过来，这可以证明源于似然比检验。
对于一个样本 $N$ 观察 $\mathbf{y}$ ， 在哪里 $\mathbf{y}$ 是 $N\left(\mathbf{X} \mathbf{b}, \sigma^2 \mathbf{I}\right)$ 似然函数是
似然比检验使用两个值 $L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right)$ :（
一) $\operatorname{Max}\left(L_w\right)$ ，最大值 $L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right)$ 在整个参数范围内最大化，即 $0<\sigma^2<\infty$ ，和 $-\infty<b_i<\infty$ 对所 有人 $i$.
(二) $\operatorname{Max}\left(L_H\right)$ ，最大值 $L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right)$ 在假设限制（限制或定义) 的参数范围内最大化 $H$. 似然比是这两个最大值的比值:
$$
L=\frac{\max \left(L_H\right)}{\max \left(L_w\right)} .
$$
以通常的方式找到每个最大值: 区分 $L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right)$ 关于 $\sigma^2$ 和元素 $\mathbf{b}$ ，使微分等于零，求解得到的方程 $\mathbf{b}$ 和 $\sigma^2$ 并 使用这些解决方案代替b和 $\sigma^2$ 在 $L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right)$. 如果是max $\left(L_H\right)$ 最大化过程是在假设的限制范围内进行的。 我们证明了假设的情况 $H: \mathbf{b}=\mathbf{0}$. 第一的， $\partial L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right) / \partial \mathbf{b}=\mathbf{0}$ 正如我们所见， $\hat{\mathbf{b}}=\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{\prime} \mathbf{y} ;$ 和 $\partial L\left(\mathbf{b}, \sigma^2\right) / \partial \sigma^2=0$ 给 $\hat{\sigma}^2=(\mathbf{y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{b}})^{\prime}(\mathbf{y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{b}}) / N$
统计代写|应用线性模型代写Applied Linear Models代考|Type I and II errors
在原假设下 $H: \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{b}=\mathbf{m}, F(H)=(N-r) Q / s$ 上证所拥有 $F_{s, N-r}$ 分配。对于显責性检验 $100 \alpha \%$ 水平 测试的规则是不拒绝 $H$ 每当 $F(H) \leq F_{\alpha, s, N-r}$ ，的列表值 $F_{s, N-r}$ 分布，在 $100 \alpha \%$ 观点。这表示 $F_{\alpha, s, N-r}$ 定义如下: 如果 $u$ 是任何具有 $F_{s, N-r}$ 然后分发
概率 $\alpha$ 是显着性检验的（显着性）水平。它的一个常用值是 $0.05$ ，但这并没有什么神圣不可侵犯的地方； 0 到 1 之间的任何值都可用于 $\alpha$. 其他常用的值是 $0.01$ 和 $0.10$.
是否拒绝假设的规则 $H$ 是什么时候拒绝它 $F(H)>F_{\alpha, 8, N-r}$ 并且无论何时都不要拒绝它 $F(H) \leq F_{\alpha, s, N-r}$. 按统计性质 $F(H)$ 我们知道，重筫抽样 $F(H)$ 将超过 $F_{\alpha, s, N-r}$ 上 $100 \alpha \%(5 \%$ ，说 $)$ 的 时间; 当它发生时，我们将拒绝 $H$. 因此，在零假设的情况下 $H$ 实际上是真的，这种拒绝将构成判断错误。 这是被称为 I 类错误或拒绝错误的错误。它包括错误地拒绝原假设 $H$ 当它是真的；它发生的概率是 $\alpha$.
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