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数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Tanaka’s formula

The preceding application of (3.3.1) is mundane by comparison to the one made by $\mathrm{H}$. Tanaka to represent what Lévy called local time for an $\mathbb{R}$-valued Brownian motion $\left(B(t), \mathcal{F}t, \mathbb{P}\right)$. To describe local time, define the occupation time measures $L(t, \cdot)$ for $t \geq 0$ by $$ L(t, \Gamma)=\int_0^t \mathbf{1}{\Gamma}(B(\tau)) d \tau, \quad \Gamma \in \mathcal{B}{\mathbb{R}} . $$ One of Lévy’s many remarkable discoveries is that there is a map $\omega \in \Omega \longmapsto$ $\ell(\cdot, \cdot \cdot)(\omega) \in C([0, \infty) \times \mathbb{R} ;[0, \infty))$ such that $\ell(\cdot, y)$ a is progressively measurable, non-decreasing function with the property that $$ \mathbb{P}\left(L(t, \Gamma)=\int{\Gamma} \ell(t, y) d y \text { for all } t \geq 0 \& \Gamma \in \mathcal{B}{\mathbb{R}}\right)=1 $$ In other words, with probability $1, L(t, \cdot)$ is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure $\lambda{\mathbb{R}}$ for all $t \geq 0$, and
$$
\frac{L(t, d y)}{\lambda_{\mathbb{R}}(d y)}=\ell(t, y) .
$$
Notice that this result is another manifestation of the non-differentiability of Brownian paths. Indeed, suppose that $p:[0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ is a continuously differentiable path, and let $t \rightsquigarrow \mu(t, \cdot)$ be its occupation time measures. If $\dot{p}=0$ on an interval $[a, b]$, then it is clear that, for $t>a, \mu(t,{p(a)}) \geq$ $(t \wedge b-a)$, and therefore $\mu_t$ can’t be absolutely continuous with respect to $\lambda_{\mathbb{R}}$. On the other hand, if $\dot{p}>0$ on $[a, b]$, then, for $t \in(a, b]$,
$$
\frac{\mu(t, d y)-\mu(a, d y)}{\lambda_{\mathbb{R}}(d y)}=\frac{\mathbf{1}_{[a, t]}(y)}{\dot{p} \circ\left(p\lceil[p(a), p(t)])^{-1}(y)\right.},
$$
and so $\mu(t, \cdot)-\mu(a, \cdot)$ is absolutely continuous but its Radon-Nikodym derivative cannot be continuous. It is only because a Brownian path dithers as it leaves points that its occupation time measure can admit a continuous density.

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Spacial continuity

Recall the Euler approximations $X_n(t, \mathbf{x})$ in (3.0.1). It is evident that, for all $w \in \mathbb{W}\left(\mathbb{R}^M\right),(t, \mathbf{x}) \rightarrow X_n(t, \mathbf{x})(w)$ is continuous. Now set $\Delta_n(t, \mathbf{x})=$ $X(t, \mathbf{x})-X_n(t, \mathbf{x})$. Using (3.3.2) and arguing as we did when $p=2$, one can show that for each $p \in[2, \infty)$ and $t>0$ there is a $C_p(t)<\infty$ such that
$$
\begin{aligned}
&\mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|\Delta_n(\cdot, \mathbf{x})\right|_{[0, t]}^p\right]^{\frac{1}{p}} \leq C_p(t)(1+|\mathbf{x}|) 2^{\frac{n}{2}} \
&\mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|X_n(\cdot, \mathbf{x})-X_n(s, \mathbf{x})\right|_{[s, t]}^p\right]^{\frac{1}{p}} \leq C_p(t)(1+|\mathbf{x}|)(t-s)^{\frac{1}{2}} \
&\mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|X_n(\cdot, \mathbf{y})-X_n(\cdot, \mathbf{x})\right|_{[0, t]}^p\right]^{\frac{1}{p}} \leq C_p(t)|\mathbf{y}-\mathbf{x}|
\end{aligned}
$$
for $n \geq 0,0 \leq s<t$, and $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^N$. From these it was clear that, for each $\mathbf{x}$, $\left|\Delta_n(\cdot, \mathbf{x})\right|_{[0, t]} \longrightarrow 0$ both (a.s., $\mathcal{W}$ ) and in $L^p\left(\mathcal{W} ; \mathbb{R}^N\right.$ ), but we will now use Kolmogorov’s continuity criterion to show that this convergence is uniform with respect to $\mathbf{x}$ in compact subsets. To this end, note that, for $p \in[2, \infty)$,
$$
\begin{aligned}
&\left|\Delta_n(t, \mathbf{y})-\Delta_n(t, \mathbf{x})\right|^p \
&\quad=\left|(X(t, \mathbf{y})-X(t, \mathbf{x}))-\left(X_n(t, \mathbf{y})-X_n(t, \mathbf{x})\right)\right|^{\frac{p}{2}}\left|\Delta_n(t, \mathbf{y})-\Delta_n(t, \mathbf{x})\right|^{\frac{p}{2}},
\end{aligned}
$$ apply Schwarz’s inequality to get
$$
\begin{aligned}
&\mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|\Delta_n(\cdot, \mathbf{y})-\Delta_n(\cdot, \mathbf{x})\right|_{[0, t]}^p\right] \
&\quad \leq \mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|(X(\cdot, \mathbf{y})-X(\cdot, \mathbf{x}))-\left(X_n(\cdot, \mathbf{y})-X_n(\cdot, \mathbf{x})\right)\right|_{[0, t]}^p\right]^{\frac{1}{2}} \
&\quad \times \mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|\Delta_n(\cdot, \mathbf{y})-\Delta_n(\cdot, \mathbf{x})\right|_{[0, t]}^p\right]^{\frac{1}{2}},
\end{aligned}
$$
and, after combining these with the first and third estimates in (3.4.1), conclude that, for each $R>0$, there is a $K_p(t, R)<\infty$ such that $\mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|\Delta_n(\cdot, \mathbf{y})-\Delta_n(\cdot, \mathbf{x})\right|_{[0, t]}^p\right]^{\frac{1}{p}} \leq K_p(t, R) 2^{-\frac{n}{4}}|\mathbf{y}-\mathbf{x}|^{\frac{1}{2}}$ for $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in[-R, R]^N$. Hence, by taking $p>2 N$, we can apply Theorem $2.1 .2$ to see that
$$
\sup {n \geq 0} 2^{\frac{n}{4}} \mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|\Delta_n(\cdot, \cdots)\right|{[0, t] \times[-R, R]^N}^p\right]^{\frac{1}{p}}<\infty
$$
and therefore that $(t, \mathbf{x}) \rightsquigarrow X(t, \mathbf{x})$ can be chosen so that it is continuous and, $\mathcal{W}$-almost surely, $\left|X_n(\cdot, \mathbf{x})-X(\cdot, \mathbf{x})\right|_{[0, t]} \longrightarrow 0$ uniformly for $\mathbf{x}$ in compact subsets of $\mathbb{R}^N$.

随机微积分代考

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Tanaka’s formula

(3.3.1) 的上述应用与由 $H$. Tanaka 代表 Lévy 所称的当地时间 $\mathbb{R}$ 值布朗运动 $(B(t), \mathcal{F} t, \mathbb{P})$. 为了描述当地时 间，定义占用时间度量 $L(t, \cdot)$ 为了 $t \geq 0$ 经过
$$
L(t, \Gamma)=\int_0^t 1 \Gamma(B(\tau)) d \tau, \quad \Gamma \in \mathcal{B} \mathbb{R}
$$
列维的许多非凡发现之一是有一张地图 $\omega \in \Omega \longmapsto \ell(\cdot, \cdot)(\omega) \in C([0, \infty) \times \mathbb{R} ;[0, \infty))$ 这样 $\ell(\cdot, y)$ a 是 渐进可测量的非递减函数，具有以下性质
$$
\mathbb{P}\left(L(t, \Gamma)=\int \Gamma \ell(t, y) d y \text { for all } t \geq 0 \& \Gamma \in \mathcal{B} \mathbb{R}\right)=1
$$
换句话说，有概率 $1, L(t, \cdot)$ 关于 Lebesgue 测度绝对连续 $\lambda \mathbb{R}$ 对所有人 $t \geq 0$ ， 和
$$
\frac{L(t, d y)}{\lambda_{\mathbb{R}}(d y)}=\ell(t, y) .
$$
请注意，此结果是布朗路径不可微性的另一种表现。确实，假设 $p:[0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ 是一条连续可微的路 径，并且让 $t \rightsquigarrow \mu(t, \cdot)$ 是其占用时间的度量。如果 $\dot{p}=0$ 在一个区间 $[a, b]$ ，那么很明显，对于 $t>a, \mu(t, p(a)) \geq(t \wedge b-a)$ ，因此 $\mu_t$ 不能绝对连续 $\lambda_{\mathbb{R}}$. 另一方面，如果 $\dot{p}>0$ 上 $[a, b]$ ，那么，对于 $t \in(a, b]$
$$
\frac{\mu(t, d y)-\mu(a, d y)}{\lambda_{\mathbb{R}}(d y)}=\frac{\mathbf{1}_{[a, t]}(y)}{\dot{p} \circ\left(p\lceil[p(a), p(t)])^{-1}(y)\right.},
$$
所以 $\mu(t, \cdot)-\mu(a, \cdot)$ 是绝对连续的，但它的 Radon-Nikodym 导数不能是连续的。只是因为布朗路径在离 开点时会抖动，它的占用时间度量才能允许连续的密度。

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Spacial continuity

回忆欧拉近似 $X_n(t, \mathbf{x})$ 在 (3.0.1) 中。很明显，对于所有人 $w \in \mathbb{W}\left(\mathbb{R}^M\right),(t, \mathbf{x}) \rightarrow X_n(t, \mathbf{x})(w)$ 是连 续的。现在设置 $\Delta_n(t, \mathbf{x})=X(t, \mathbf{x})-X_n(t, \mathbf{x})$. 使用 (3.3.2) 并像我们在 $p=2$, 可以证明对于每个 $p \in[2, \infty)$ 和 $t>0$ 有一个 $C_p(t)<\infty$ 这样 $$ \mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|\Delta_n(\cdot, \mathbf{x})\right|{[0, t]}^p\right]^{\frac{1}{p}} \leq C_p(t)(1+|\mathbf{x}|) 2^{\frac{\pi}{2}} \quad \mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|X_n(\cdot, \mathbf{x})-X_n(s, \mathbf{x})\right|{[s, t]}^p\right]^{\frac{1}{p}} \leq C_p(t)(1+|\mathbf{x}|)(t-s)^{\frac{1}{2}} \mathbb{E} $$ 为了 $n \geq 0,0 \leq s{[0, t]} \longrightarrow 0$ 两者 (如， $\mathcal{W}$ ) 并在 $L^p\left(\mathcal{W} ; \mathbb{R}^N\right.$ )，但我们现在将使用 Kolmogorov 的连续性准则来证明这种收敛是一致的 $\mathbf{x}$ 在 紧凑子集中。为此，请注意，对于 $p \in[2, \infty)$ ， $$ \left|\Delta_n(t, \mathbf{y})-\Delta_n(t, \mathbf{x})\right|^p \quad=\left|(X(t, \mathbf{y})-X(t, \mathbf{x}))-\left(X_n(t, \mathbf{y})-X_n(t, \mathbf{x})\right)\right|^{\frac{p}{2}}\left|\Delta_n(t, \mathbf{y})-\Delta_n(t, \mathbf{x})\right|^{\frac{p}{2}}, $$ 应用施瓦茨不等式得到 $$ \mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|\Delta_n(\cdot, \mathbf{y})-\Delta_n(\cdot, \mathbf{x})\right|{[0, t]}^p\right] \quad \leq \mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|(X(\cdot, \mathbf{y})-X(\cdot, \mathbf{x}))-\left(X_n(\cdot, \mathbf{y})-X_n(\cdot, \mathbf{x})\right)\right|{[0, t]}^p\right]^{\frac{1}{2}} \times \mathbb{E}^{\mathcal{W}} $$ 并且，在将这些与 (3.4.1) 中的第一个和第三个估计相结合后，得出结论，对于每个 $R>0$ ，有一个 $K_p(t, R)<\infty$ 这样 $\mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|\Delta_n(\cdot, \mathbf{y})-\Delta_n(\cdot, \mathbf{x})\right|{0, t]}^p\right]^{\frac{1}{p}} \leq K_p(t, R) 2^{-\frac{n}{4}}|\mathbf{y}-\mathbf{x}|^{\frac{1}{2}}$ 为了 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in[-R, R]^N$ . 因此，通过采取 $p>2 N$ ，我们可以应用定理 $2.1 .2$ 看到那个
$$
\sup n \geq 02^{\frac{n}{4}} \mathbb{E}^{\mathcal{W}}\left[\left|\Delta_n(\cdot, \cdots)\right|[0, t] \times[-R, R]^{N^p}\right]^{\frac{1}{p}}<\infty
$$
因此 $(t, \mathbf{x}) \rightsquigarrow X(t, \mathbf{x})$ 可以选择它是连续的，并且， $\mathcal{W}$ —几乎可以肯定， $\left|X_n(\cdot, \mathbf{x})-X(\cdot, \mathbf{x})\right|_{[0, t]} \longrightarrow 0$ 均匀地为 $\mathbf{x}$ 在肾凑的子集中 $\mathbb{R}^N$.

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