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数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|The crown jewel: Itˆo’s formula

Unless the integrand has locally bounded variation, stochastic integrals are somewhat inscrutable quantities. They exist, but, like Fourier series, they are not robust and converge only because of intricate cancellations. As a consequence, it is desirable to find more tractable quantities to which stochastic integrals are related, and (3.2.2) provides prime examples of the sort of relationship for which one should be looking.

The key to finding relationships like those in (3.2.2) was discovered by Itô. To describe his result, let $\left(B(t), \mathcal{F}t, \mathbb{P}\right)$ be an $\mathbb{R}^M$-valued Brownian motion, $V:[0, \infty) \times \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^{N_1}$ a continuous, progressively measurable function of locally bounded variation, and $\sigma \in P M{\text {loc }}^2\left(\operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^M ; \mathbb{R}^{N_2}\right)\right.$. Then Itô’s formula says that any $\varphi \in C^{1,2}\left(R^{N_1} \times \mathbb{R}^{N_2} ; \mathbb{C}\right)$,
$$
\begin{aligned}
\varphi\left(V(t), I_\sigma(t)\right)-\varphi(V(0), 0) \
=\int_0^t\left(\nabla_{(1)} \varphi\left(V(\tau), I_\sigma(\tau)\right), d V(\tau)\right){\mathbb{R}^{N_1}} \ &+\int_0^t\left(\sigma(\tau)^{\top} \nabla{(2)} \varphi\left(I_\sigma(\tau)\right), d B(\tau)\right){\mathbb{R}^M} \ &+\frac{1}{2} \int_0^t \operatorname{Trace}\left(\sigma(\tau) \sigma(\tau)^{\top} \nabla{(2)}^2 \varphi\left(I_\sigma(\tau)\right) d \tau,\right.
\end{aligned}
$$

where the subscripts on $\nabla_{(1)}$ and $\nabla_{(2)}$ are used to distinguish between differentiation with respect to variables in $\mathbb{R}^{N_1}$ and those in $\mathbb{R}^{N_2}$. Obviously, (3.3.1) is a version of the fundamental theorem of calculus in which second derivatives appear because, as (2.1.2) makes clear, $d B(t)$ is of order $\sqrt{d t}$, not $d t$, and one therefore has to go out two terms in Taylor’s expansion before getting terms that are truly infinitesimal. For this reason, it is useful to think of the result in (2.1.2) as saying that $d B(t) \otimes d B(t)=\mathbf{I} d t$ and write (3.3.1) in differential form:
$$
\begin{aligned}
d \varphi(&\left.V(t), I_\sigma(t)\right) \
=&\left(\nabla_{(1)} \varphi\left(V(t), I_\sigma(t)\right), d V(t)\right){\mathbb{R}^{N_1}}+\left(\sigma(t)^{\top} \nabla{(2)} \varphi\left(V(t), I_\sigma(t)\right), d B(t)\right){\mathbb{R}^{N_2}} \ &+\frac{1}{2} \operatorname{Trace}\left(\nabla{(2)}^2 \varphi\left(V(t), I_\sigma(t)\right)(\sigma(\tau) d B(t)) \otimes(\sigma(\tau) d B(t))\right) .
\end{aligned}
$$
To prove (3.3.1), first observe that, by using standard approximation methods and stopping times, one can easily show that it suffices to prove it in the case when $\varphi \in C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{N_1} \times \mathbb{R}^{N_2} ; \mathbb{R}\right)$ and $\int_0^t|\sigma(\tau)|_{\mathrm{H} . \mathrm{S}}^2 d \tau$ and $V(\mathbf{0})+\operatorname{var}_{[0, t]}(V)$ are bounded. Further, under these conditions, one can reduce to the case when $\tau \rightsquigarrow \sigma(\tau)$ is bounded and continuous. Thus we will proceed under these assumptions.

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Burkholder’s inequality

Let $\sigma \in P M_{\text {loc }}^2\left(\operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^M ; \mathbb{R}^N\right)\right)$, and set $A(t)=\int_0^t \sigma(\tau) \sigma(\tau)^{\top} d \tau$. When $\sigma$ is deterministic, $I_\sigma(t)$ is a centered Gaussian random variable with covariance $A(t)$, and therefore, for each $p \in[1, \infty)$
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\left|\left(\xi, I_\sigma(t)\right){\mathbb{R}^N}\right|^p\right]=C_p(\xi, A(t) \xi){\mathbb{R}^N}^{\frac{p}{2}} \quad \text { for all } \xi \in \mathbb{R}^N,
$$
where $C_p=\int|y|^p \gamma_{0,1}(d y)$. Our first application of (3.3.1) shows that moments of $I_\sigma(\cdot)$ can be estimated in terms of $A(\cdot)$ even when $\sigma$ is random. Namely, given $p \in[2, \infty)$, observe that
$$
\nabla^2|\mathbf{y}|^p=p(p-2)|\mathbf{y}|^{p-2} \frac{\mathbf{y} \otimes \mathbf{y}}{|\mathbf{y}|^2}+p|\mathbf{y}|^{p-2} \mathbf{I} .
$$
Therefore, by (3.3.1),
$$
\left|I_\sigma(t)\right|^p-\frac{1}{2} \int_0^t\left(p(p-2)\left|I_\sigma(\tau)\right|^{p-2} \frac{\left|\sigma^{\top}(\tau) I_\sigma(\tau)\right|^2}{\left|I_\sigma(\tau)\right|^2}+p|\sigma(\tau)|_{\mathrm{H} . S .}^2\left|I_\sigma(\tau)\right|^{p-2}\right) d \tau
$$
is a local $\mathbb{P}$-martingale relative to $\left{\mathcal{F}t: t \geq 0\right}$. Thus, if $$ \zeta_R=\inf \left{t \geq 0:\left|I\sigma(\tau)\right| \vee \operatorname{Trace}(A(\tau)) \geq R\right},
$$
then, by Hölder’s inequality, one sees that
$$
\begin{aligned}
&\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\left|I_\sigma\left(t \wedge \zeta_R\right)\right|^p\right] \leq \frac{p(p-1)}{2} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\int_0^{t \wedge \zeta_R}|\sigma(\tau)|_{\mathrm{H} . \mathrm{S} .}^2\left|I_\sigma(\tau)\right|^{p-2} d \tau\right] \
&\quad \leq \frac{p(p-1)}{2} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\operatorname{Trace}\left(A\left(t \wedge \zeta_R\right)\right)\left|I_\sigma(\cdot)\right|_{\left[0, t \wedge \zeta_R\right]}^{p-2}\right] \
&\quad \leq \frac{p(p-1)}{2} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\operatorname{Trace}(A(t))^{\frac{p}{2}}\right]^{\frac{2}{p}} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\left|I_\sigma(\cdot)\right|_{\left[0, t \wedge \zeta_R\right]}^p\right]^{1-\frac{2}{p}},
\end{aligned}
$$
and then, using Doob’s inequality, one concludes that
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\left|I_\sigma(\cdot)\right|_{\left[0, t \wedge \zeta_R\right]}^p\right]^{\frac{2}{p}} \leq\left(\frac{p^{p+1}}{2(p-1)^{p-1}}\right) \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\operatorname{Trace}(A(t))^{\frac{p}{2}}\right]^{\frac{2}{p}} .
$$

随机微积分代考

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|The crown jewel: Itˆo’s formula

除非被积函数具有局部有界变化，否则随机积分在某种程度上是难以理解的量。它们存在，但是，像傅立 叶级数一样，它们不是稳健的并且仅因为复杂的抵消而收敛。因此，苃望找到与随机积分相关的更易于处 理的量，并且 (3.2.2) 提供了人们应该寻找的那种关系的主要例子。
寻找 (3.2.2) 中的那些关系的关键是由伊藤发现的。为了描述他的结果，让 $(B(t), \mathcal{F} t, \mathbb{P})$ 豆 $\mathbb{R}^M$-值布朗 运动， $V:[0, \infty) \times \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^{N_1}$ 局部有界变化的连续、逐步可测量的函数，以及 $\sigma \in P M \operatorname{loc}^2\left(\operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^M ; \mathbb{R}^{N_2}\right)\right.$. 那么伊藤的公式说，任何 $\varphi \in C^{1,2}\left(R^{N_1} \times \mathbb{R}^{N_2} ; \mathbb{C}\right)$ ，
$$
\varphi\left(V(t), I_\sigma(t)\right)-\varphi(V(0), 0)=\int_0^t\left(\nabla_{(1)} \varphi\left(V(\tau), I_\sigma(\tau)\right), d V(\tau)\right) \mathbb{R}^{N_1}+\int_0^t\left(\sigma(\tau)^{\top} \nabla(2) \varphi\left(I_\sigma(\tau)\right), d B(\tau\right.
$$
下标在哪里 $\nabla_{(1)}$ 和 $\nabla_{(2)}$ 用于区分关于变量的微分 $\mathbb{R}^{N_1}$ 和那些在 $\mathbb{R}^{N_2}$. 显然， (3.3.1) 是微积分基本定理的 一个版本，其中出现了二阶导数，因为正如（2.1.2) 所表明的那样， $d B(t)$ 是有序的 $\sqrt{d t}$ ，不是 $d t$ ，因此 在得到真正无穷小的项之前，必须在泰勒展开式中取出两项。因此，将 (2.1.2) 中的结果认为是 $d B(t) \otimes d B(t)=\mathbf{I} d t$ 并以微分形式写 (3.3.1):
$$
d \varphi\left(V(t), I_\sigma(t)\right)=\quad\left(\nabla_{(1)} \varphi\left(V(t), I_\sigma(t)\right), d V(t)\right) \mathbb{R}^{N_1}+\left(\sigma(t)^{\top} \nabla(2) \varphi\left(V(t), I_\sigma(t)\right), d B(t)\right) \mathbb{R}^{N_2}+\frac{1}{2}
$$
为了证明 (3.3.1)，首先观察到，通过使用标准近似方法和停止时间，可以很容易地证明在以下情况下证明 它就足够了 $\varphi \in C_{\mathrm{c}}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{N_1} \times \mathbb{R}^{N_2} ; \mathbb{R}\right)$ 和 $\int_0^t|\sigma(\tau)|{\mathrm{H} . S}^2 d \tau$ 和 $V(\mathbf{0})+\operatorname{var}{[0, t]}(V)$ 是有界的。此外，在这些 条件下，可以简化为以下情况: $\tau \rightsquigarrow \sigma(\tau)$ 是有界且连续的。因此，我们将在这些假设下进行。

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Burkholder’s inequality

让 $\sigma \in P M_{\mathrm{loc}}^2\left(\operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^M ; \mathbb{R}^N\right)\right)$, 并设置 $A(t)=\int_0^t \sigma(\tau) \sigma(\tau)^{\top} d \tau$. 什么时候 $\sigma$ 是确定性的， $I_\sigma(t)$ 是具 有协方差的居中高斯随机变量 $A(t)$ ，因此，对于每个 $p \in[1, \infty)$
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\left|\left(\xi, I_\sigma(t)\right) \mathbb{R}^N\right|^p\right]=C_p(\xi, A(t) \xi) \mathbb{R}^{N \frac{p}{2}} \quad \text { for all } \xi \in \mathbb{R}^N,
$$
在哪里 $C_p=\int|y|^p \gamma_{0,1}(d y)$. 我们对 (3.3.1) 的第一次应用表明， $I_\sigma(\cdot)$ 可以估计为 $A(\cdot)$ 即使当 $\sigma$ 是随机的。 即，给定 $p \in[2, \infty)$ ，观察到
$$
\nabla^2|\mathbf{y}|^p=p(p-2)|\mathbf{y}|^{p-2} \frac{\mathbf{y} \otimes \mathbf{y}}{|\mathbf{y}|^2}+p|\mathbf{y}|^{p-2} \mathbf{I} .
$$
因此，由 (3.3.1)，
$$
\left|I_\sigma(t)\right|^p-\frac{1}{2} \int_0^t\left(p(p-2)\left|I_\sigma(\tau)\right|^{p-2} \frac{\left|\sigma^{\top}(\tau) I_\sigma(\tau)\right|^2}{\left|I_\sigma(\tau)\right|^2}+p|\sigma(\tau)|{\mathrm{H} . S .}^2\left|I\sigma(\tau)\right|^{p-2}\right) d \tau
$$
然后，通过 Hölder 不等式，可以看到
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\left|I_\sigma\left(t \wedge \zeta_R\right)\right|^p\right] \leq \frac{p(p-1)}{2} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\int_0^{t \wedge \zeta_R}|\sigma(\tau)|{\mathrm{H} . S .}^2\left|I\sigma(\tau)\right|^{p-2} d \tau\right] \quad \leq \frac{p(p-1)}{2} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\operatorname{Trace}\left(A\left(t \wedge \zeta_R\right)\right)\right.
$$
然后，使用 Doob 不等式，可以得出以下结论：
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\left|I_\sigma(\cdot)\right|_{\left[0, t \wedge \zeta_R\right]}^p\right]^{\frac{2}{p}} \leq\left(\frac{p^{p+1}}{2(p-1)^{p-1}}\right) \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\operatorname{Trace}(A(t))^{\frac{p}{2}}\right]^{\frac{2}{p}} .
$$

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