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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|SUGGESTED EXERCISES
5.9.1 Consider the function $F: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ defined by: $F(x, y)=(x+2 k y, x-y)$. Determine the values of $k$ for which $F$ is linear.
5.9.2 Given the function $F: \mathbb{R}_1[x] \longrightarrow \mathbb{R}_2[x]$ defined by: $F(a x+b)=(a-b) x^2+$ $k b^2 x+2 a$. Determine the values of $k$ for which $F$ is linear.
5.9.3 Given linear transformations $F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ and $G: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ defined by: $F(x, y, z)=(x-y, 2 x+y+z)$ and $G(x, y)=(3 y,-x, 4 x+2 y)$, determine if possible, $F \circ G$ and $G \circ F$.
5.9.4 Given the linear transformations $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ and $G: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ defined by: $F\left(\mathbf{e}_1\right)=-\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2, F\left(\mathbf{e}_2\right)=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2, G\left(\mathbf{e}_1\right)=2, G\left(\mathbf{e}_2\right)=-1$; determine if possible $F \circ G$ and $G \circ F$.
5.9.5 Consider the linear transformation $F: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ defined by $F\left(\mathbf{e}_1\right)=3 \mathbf{e}_1-3 \mathbf{e}_2$, $F\left(\mathbf{e}_2\right)=2 \mathbf{e}_1-2 \mathbf{e}_2$. Compute a basis of the kernel and a basis for the image of $F$.
5.9.6 Establish which of the following linear transformations are isomorphisms:
i) $F: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ defined by $F(x, y, z)=(x+2 z, y+z, z)$;
ii) $F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ defined by $F(x, y, z)=(2 x-z, x-y+z)$;
iii) $F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ defined by $F\left(\mathbf{e}_1\right)=2 \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2, F\left(\mathbf{e}_2\right)=3 \mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3, F\left(\mathbf{e}_3\right)=\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3$.
5.9.7 Find a basis for the kernel and one for the image of each of the following linear transformations. Establish if they are injective, surjective and/or bijective.
i) $F: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ defined by $F(x, y, z)=(x-z, x+2 y-z, x-4 y-z)$.
ii) $F: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ defined by $F\left(\mathbf{e}_1\right)=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3, F\left(\mathbf{e}_2\right)=2 \mathbf{e}_1-2 \mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3$.
iii) $F: \mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ definer hy $F(x, y, z, t)=(2 x-t, 3 y-x+2 z-t)$
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|LINEAR SYSTEMS
In Chapter 5, we defined the row rank of a matrix (see Definition 5.7.3). We now want to deepen the study of this notion and have a clearer view of the link between matrices, linear systems and transformations.
Given a matrix $A \in \mathrm{M}{m, n}(\mathbb{R})$, we can read its rows as vectors of $\mathbb{R}^n$ and its columns as vectors of $\mathbb{R}^m$. It is therefore natural to introduce the following definition. Definition 6.2.1 We call column rank of a matrix $A \in \mathrm{M}{m, n}(\mathbb{R})$, the maximum number of linearly independent columns of $A$, i.e. the dimension of the subspace of $\mathbb{R}^m$ generated by the columns of $A$.
The following observation is already known and yet, given the its importance in the context that we are studying, we want to rexamine it.
Observation 6.2.2 If we write $A$ as the matrix associated with the linear transformation $L_A: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$ with respect to the canonical bases, then the column rank of $A$ is the dimension of the image of $L_A$. Indeed, the image is generated by the columns of the matrix $A$.
Although in general the row vectors and column vectors of a matrix $A \in \mathrm{M}_{m, n}(\mathbb{R})$ are elements of different vector spaces, the row and column rank of $A$ always coincide. This number is simply called $\operatorname{rank}$ of $A$, denoted by $\operatorname{rk}(A)$.
Proposition 6.2.3 If $A \in \mathrm{M}_{m, n}(\mathbb{R})$, then the row rank of $A$ is equal to the column rank of $A$.
线性代数代考
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|SUGGESTED EXERCISES
5.9.1 考虑函数 $F: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ 被定义为: $F(x, y)=(x+2 k y, x-y)$. 确定的值 $k$ 为此 $F$ 是线性的。
5.9.2 给定函数 $F: \mathbb{R}_1[x] \longrightarrow \mathbb{R}_2[x]$ 被定义为: $F(a x+b)=(a-b) x^2+k b^2 x+2 a$. 确定的值 $k$ 为此 $F$ 是线性的。
$5.9 .3$ 给定的线性变换 $F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 和 $G: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ 被定义为: $F(x, y, z)=(x-y, 2 x+y+z)$ 和 $G(x, y)=(3 y,-x, 4 x+2 y)$ ，确定是否可能, $F \circ G$ 和 $G \circ F$.
$5.9 .4$ 给定线性变换 $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 和 $G: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 被定义为:
$F\left(\mathbf{e}_1\right)=-\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2, F\left(\mathbf{e}_2\right)=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2, G\left(\mathbf{e}_1\right)=2, G\left(\mathbf{e}_2\right)=-1$; 确定是否可能 $F \circ G$ 和 $G \circ F$.
$5.9 .5$ 考虑线性变换 $F: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ 被定义为 $F\left(\mathbf{e}_1\right)=3 \mathbf{e}_1-3 \mathbf{e}_2, F\left(\mathbf{e}_2\right)=2 \mathbf{e}_1-2 \mathbf{e}_2$. 计算核的基和图 像的基 $F$.
5.9.6 确定下列哪些线性变换是同构的:
i) $F: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ 被定义为 $F(x, y, z)=(x+2 z, y+z, z)$;
ii) $F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 被定义为 $F(x, y, z)=(2 x-z, x-y+z)$;
iii) $F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ 被定义为 $F\left(\mathbf{e}_1\right)=2 \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2, F\left(\mathbf{e}_2\right)=3 \mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3, F\left(\mathbf{e}_3\right)=\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3$.
$5.9 .7$ 为以下每个线性变换的核和图像找到一个基。确定它们是单射的、满射的和/或双射的。
一世) $F: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ 被定义为 $F(x, y, z)=(x-z, x+2 y-z, x-4 y-z)$.
ii) $F: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ 被定义为 $F\left(\mathbf{e}_1\right)=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3, F\left(\mathbf{e}_2\right)=2 \mathbf{e}_1-2 \mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3$.
iii) $F: \mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ 他定义 $F(x, y, z, t)=(2 x-t, 3 y-x+2 z-t)$
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|LINEAR SYSTEMS
在第 5 章中，我们定义了矩阵的行秩（参见定义 5.7.3) 。我们现在想加深对这个概念的研究，对矩阵、线 性系统和变换之间的联系有一个更清晰的认识。
给定一个矩阵 $A \in \mathrm{M} m, n(\mathbb{R})$ ，我们可以将其行读取为 $\mathbb{R}^n$ 及其列作为向量 $\mathbb{R}^m$. 因此很自然地引入以下定 义。定义 6.2.1 我们称矩阵的列秩 $A \in \mathrm{M} m, n(\mathbb{R})$ ，的最大线性独立列数 $A$ ，即子空间的维数 $\mathbb{R}^m$ 由的列生 成 $A$.
以下观察是已知的，但鉴于它在我们正在研究的背景下的重要性，我们想重新审视它。
观察 6.2.2 如果我们写 $A$ 作为与线性变换相关的矩阵 $L_A: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$ 关于规范基，则列秩 $A$ 是图像的维 度 $L_A$. 实际上，图像是由矩阵的列生成的 $A$.
虽然通常矩阵的行向量和列向量 $A \in \mathrm{M}{m, n}(\mathbb{R})$ 是不同向量空间的元嫊，行列秩 $A$ 总是重合。这个号码简 称 $\operatorname{rank}$ 的 $A$ ，表示为 $\operatorname{rk}(A)$. 命题 6.2.3 如果 $A \in \mathrm{M}{m, n}(\mathbb{R})$ ，那么行秩 $A$ 等于的列秩 $A$.
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