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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Connectivity and Flow
In each of the previous chapters, we have used connectivity in the context of other problems. For example, in Chapter 2 we needed to know if a graph was connected in order to determine if it is eulerian and in Chapter 3 we define trees as minimally connected graphs, since the removal of any edge would disconnect the graph. This chapter focuses on connectivity as its own topic, where we now consider how connected a graph is, and not just whether it is connected or not. Note that this chapter is more theoretical than the previous, though we tie in network flow and end with a section on applications of connectivity.
Consider graphs $G_1, G_2$, and $G_3$ below. It should be plain to see that they are all connected graphs. We could describe other features of these graphs (are they eulerian? hamiltonian? acyclic?) but one distinguishing factor between them should be the simple difference in edge count, with $G_1$ having fewer edges than the other two. Notice that $G_2$ and $G_3$ both contain 13 edges, but their underlying structure is quite different. Visually, is seems that the edges in $G_3$ are more clumped than in $G_2$. One way to describe this clumping is in how many edges or vertices would need to be removed before the graph is no longer connected, which is one way we measure connectivity.
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Connectivity Measures
When we define a graph to be connected, we refer to the existence of a way to move between any two vertices in a graph, specifically as the existence of a path between any pair of vertices. We will see that measuring how connected a graph is has a similar description, but we first use the standard notion described above in terms of vertex (or edge) removal.
Definition 4.1 A cut-vertex of a graph $G$ is a vertex $v$ whose removal disconnects the graph, that is, $G$ is connected but $G-v$ is not. A set $S$ of vertices within a graph $G$ is a cut-set if $G-S$ is disconnected.
Note that any connected graph that is not complete has a cut-set, whereas $K_n$ does not have a cut-set (see Exercise 4.13). Moreover, a graph can have many different cut-sets and of varying sizes. For example, two different cut-sets are shown below for graph $G_1$ above.
Although we can find many different cut-sets for graph $G_1$, we may want to choose one over another based on some sense of optimality. In particular, when we evaluate how connected a graph is, we are really asking what is the fewest number of vertices whose removal will disconnect the graph.
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Connectivity and Flow
在前面的每一章中，我们都在其他问题的背景下使用了连通性。例如，在第 2 章中，我们需要知道一个图是否连通以确定它是否是欧拉图，而在第 3 章中，我们将树定义为最小连通图，因为删除任何边都会断开图的连接。本章将连通性作为其自己的主题，我们现在考虑一个图的连通性，而不仅仅是它是否连通。请注意，本章比前一章更具理论性，尽管我们将网络流与网络流联系起来并以连接性应用的部分结束。
考虑图表G1,G2， 和G3以下。应该清楚地看到它们都是连通图。我们可以描述这些图的其他特征（它们是欧拉图吗？哈密顿图？无环图？）但它们之间的一个区别因素应该是边数的简单差异，其中G1边缘比其他两个少。请注意G2和G3两者都包含 13 条边，但它们的底层结构完全不同。从视觉上看，似乎边缘在G3比G2. 描述这种聚集的一种方法是在图不再连接之前需要删除多少边或顶点，这是我们测量连通性的一种方法。
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Connectivity Measures
当我们定义要连接的图时，我们指的是存在一种在图中任意两个顶点之间移动的方式，特别是在任意一对顶点之间存在一条路径。我们将看到测量图的连接程度有类似的描述，但我们首先使用上面描述的标准概念来去除顶点（或边）。
定义 4.1 图的割顶点G是一个顶点在其删除断开了图，即G已连接但G−在不是。一套小号图中的顶点数G是割集如果G−小号已断开连接。
请注意，任何不完整的连通图都有一个割集，而ķn没有割集（见习题 4.13）。此外，一个图可以有许多不同的割集和不同的大小。例如，下图显示了两个不同的割集G1以上。
虽然我们可以为图找到许多不同的割集G1，我们可能希望基于某种最优感来选择一个。特别是，当我们评估一个图的连接程度时，我们实际上是在问最少的顶点数是多少，这些顶点的删除会使图断开连接。
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