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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Decision Trees

Decision trees allow for options to be mapped out, where you can use a series of questions to arrive at the best solution. You have probably seen flow charts used for such a purpose.

Another use for decision trees is to map out the solution space of a game. A current favorite in my house is the game “Guess Who?” where each player draws a card matching one of the 24 people on their board and the goal is to determine which person their opponent has chosen, through a series of Yes/No questions.

To form the tree for this game, we would have a vertex represent the set of people that your opponent could have chosen. This is a rooted tree with the root being the set of all 24 cards. The vertices at level 1 would be the two distinct sets of cards that are available after the first question asked, such as “Does your person have blue eyes?” with one set being those with blue eyes and the other the people without blue eyes. The next level would be the sets formed after the second question, perhaps “Does your person have brown hair?” At this point, we would have 4 distinct sets of people.

Note that the tree formed by this game is a binary tree since at each stage we only have two options for the answer. Also, the order in which the questions are asked would create different trees. When playing the game, you also would not be looking for all possible paths from the root, only along the branch based on your opponents answer. For example, we could map out the four sets obtained from the two questions above, but in reality would only care about the unique set arrived at from how your opponent answered. Thus, the order of your questions could have an impact on how quickly you arrive at a solution.

There have been many editions of “Guess Who?” released by Hasbro games, from the original (which only included 5 women) to newer versions using characters from Disney, Star Wars, and Marvel Comics. The example below is a smaller version using mathematicians as the pool of cards.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Chemical Graph Theory

Chemical Graph Theory uses concepts from graph theory to obtain results about chemical compounds. In particular, individual atoms in a molecule are represented by vertices and an edge denotes a bond between the atoms. One way to determine the number of isomers for a molecule is to determine the number of distinct graphs that contain the correct type of each atom. For hydrocarbons (molecules only containing carbon and hydrogen atoms) the hydrogen-depleted graph is used since the bonds between the carbon atoms will uniquely determine the locations of the hydrogen atoms.

Below are the only two trees on four vertices. These correspond to the only possible isomers of butane $\left(\mathrm{C}4 \mathrm{H}{10}\right)$, namely n-butane $\left(\mathrm{H}_3 \mathrm{C}\left(\mathrm{CH}_2\right)_2 \mathrm{CH}_3\right)$ and isobutane $\left(\left(\mathrm{H}_3 \mathrm{C}\right)_3 \mathrm{CH}\right)$, whose full molecular forms are displayed below their respective hydrogen-depleted graph. By using graph theory, we can prove no other isomers of butane are possible since no other trees on four vertices exist [2].

While molecules do not need to adhere to a tree structure, for those that do we can use our knowledge of graphs to determine all possible isomers. In doing so, we must keep in mind the chemical properties of the atoms involved. For example, if we restricted ourselves to the hydrogen-depleted graph for hexane $\left(\mathrm{C}6 \mathrm{H}{14}\right)$, we would begin by looking at the possible trees on 6 vertices. Below are two such trees on 6 vertices, but only the one on the left corresponds to an isomer for hexane (called neohaxe or 2,2-dimethylbutane) whereas the tree on the right cannot represent a hexane molecule since the central vertex has degree 5 and carbon atoms have at most 4 bonds. Thus we would need to restrict ourselves with finding the different tree structures with maximum degree 4 (see Exercise 3.28).

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|MATH360

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Decision Trees

决策树允许绘制选项,您可以在其中使用一系列问题来得出最佳解决方案。您可能已经看到用于此目的的流程图。

决策树的另一个用途是绘制游戏的解决方案空间。我家目前最喜欢的游戏是“猜猜谁?” 每个玩家抽一张与他们棋盘上 24 个人中的一个匹配的卡片,目标是通过一系列是/否问题来确定他们的对手选择了哪个人。

为了形成这个游戏的树,我们将有一个顶点代表你的对手可能选择的一组人。这是一棵有根树,根是所有 24 张卡片的集合。级别 1 的顶点将是在提出第一个问题后可用的两组不同的卡片,例如“你的人有蓝眼睛吗?” 一组是蓝眼睛的人,另一组是没有蓝眼睛的人。下一个层次是在第二个问题之后形成的集合,也许是“你的人有棕色头发吗?” 此时,我们将有 4 组不同的人。

请注意,此游戏形成的树是二叉树,因为在每个阶段我们只有两个选项可供选择。此外,提出问题的顺序会创建不同的树。在玩游戏时,您也不会从根部寻找所有可能的路径,而只会根据对手的答案沿着分支寻找。例如,我们可以绘制出从上面两个问题中得到的四个集合,但实际上只关心你的对手如何回答得出的唯一集合。因此,问题的顺序可能会影响您获得解决方案的速度。

“猜猜谁?”有很多版本。由孩之宝游戏发行,从原版(仅包括 5 名女性)到使用迪斯尼、星球大战和漫威漫画人物的新版本。下面的示例是使用数学家作为卡片池的较小版本。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Chemical Graph Theory

化学图论使用图论中的概念来获得有关化合物的结果。特别是,分子中的单个原子由顶点表示,边表示原子之间的键。确定分子异构体数量的一种方法是确定包含每个原子正确类型的不同图形的数量。对于碳氢化合物(仅包含碳和氢原子的分子),使用贫氢图,因为碳原子之间的键将唯一地确定氢原子的位置。

下面是四个顶点上仅有的两棵树。这些对应于丁烷唯一可能的异构体(C4H10),即正丁烷(H3C(CH2)2CH3)和异丁烷((H3C)3CH),其完整的分子形式显示在各自的氢耗尽图下方。通过使用图论,我们可以证明没有其他丁烷异构体是可能的,因为在四个顶点上不存在其他树 [2]。

虽然分子不需要遵循树状结构,但对于那些这样做的人,我们可以利用我们对图表的了解来确定所有可能的异构体。在这样做时,我们必须牢记所涉及的原子的化学性质。例如,如果我们将自己限制在己烷的贫氢图(C6H14),我们将从查看 6 个顶点上可能的树开始。下面是 6 个顶点上的两棵这样的树,但只有左侧的一棵对应于己烷的异构体(称为 neohaxe 或 2,2-二甲基丁烷),而右侧的树不能代表己烷分子,因为中心顶点的度数为 5碳原子最多有4个键。因此,我们需要限制自己找到最大度数为 4 的不同树结构(参见练习 3.28)。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考

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