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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|The Rotation Group of a Cube and a Soccer Ball
It cannot be overemphasized that Theorem $7.4$ and Lagrange’s Theorem (Theorem 7.1) are counting theorems. ${ }^3$ They enable us to determine the numbers of elements in various sets. To see how Theorem $7.4$ works, we will determine the order of the rotation group of a cube and a soccer ball. That is, we wish to find the number of essentially different ways in which we can take a cube or a soccer ball in a certain location in space, physically rotate it, and then have it still occupy its original location.
- EXAMPLE 10 Let $G$ be the rotation group of a cube. Label the six faces of the cube 1 through 6 . Since any rotation of the cube must carry each face of the cube to exactly one other face of the cube and different rotations induce different permutations of the faces, $G$ can be viewed as a group of permutations on the set ${1,2,3,4,5,6}$. Clearly, there is some rotation about a central horizontal or vertical axis that carries face number 1 to any other face, so that $\left|\operatorname{orb}_G(1)\right|=6$. Next, we consider $\operatorname{stab}_G$ (1). Here, we are asking for all rotations of a cube that leave face number 1 where it is. Surely, there are only four such motions – rotations of $0^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ}$, and $270^{\circ}$ – about the line perpendicular to the face and passing through its center (see Figure 7.2). Thus, by Theorem $7.4,|G|=\left|\operatorname{orb}_G(1)\right|\left|\operatorname{stab}_G(1)\right|=6 \cdot 4=24$.
Now that we know how many rotations a cube has, it is simple to determine the actual structure of the rotation group of a cube. Recall that $S_4$ is the symmetric group of degree 4 .
数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|An Application of Cosets to the Rubik’s Cube
Recall from Chapter 5 that in 2010 it was proved via a computer computation, which took 35 CPU-years to complete, that every Rubik’s cube could be solved in at most 20 moves. To carry out this effort, the research team of Morley Davidson John Dethridge, Herbert Kociemba, and Tomas Rokicki applied a program of Rokicki, which built on early work of Kociemba, that checked the elements of the cosets of a subgroup $H$ of order $(8 ! \cdot 8 ! \cdot 4 !) / 2=$ $19,508,428,800$ to see if each cube in a position corresponding to the elements in a coset could be solved within 20 moves. In the rare cases where Rokicki’s program did not work, an alternate method was employed. Using symmetry considerations, they were able to reduce the approximately 2 billion cosets of $H$ to about 56 million cosets for testing. Cosets played a role in this effort because Rokicki’s program could handle the $19.5+$ billion elements in the same coset in about 20 seconds.
In this chapter, we show how to piece together groups to make larger groups. In Chapter 9, we will show that we can often start with one large group and decompose it into a product of smaller groups in much the same way as a composite positive integer can be broken down into a product of primes. These methods will later be used to give us a simple way to construct all finite Abelian groups.
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不能过分强调定理7.4和拉格朗日定理（定理 7.1）是计数定理。3它们使我们能够确定各种集合中元素的数量。看定理如何7.4工作，我们将确定一个立方体和一个足球的旋转组的顺序。也就是说，我们希望找到本质上不同的方法的数量，我们可以在空间中的某个位置拿一个立方体或一个足球，物理旋转它，然后让它仍然占据原来的位置。
- 例 10 让G是一个立方体的旋转群。标记立方体 1 到 6 的六个面。由于立方体的任何旋转都必须将立方体的每个面带到立方体的另一个面，并且不同的旋转会导致面的不同排列，G可以看作是集合上的一组排列1,2,3,4,5,6. 显然，围绕中心水平轴或垂直轴有一些旋转，该轴将面号 1 带到任何其他面，因此|球体G(1)|=6. 接下来，我们考虑刺G(1)。在这里，我们要求一个立方体的所有旋转都将面号 1 留在原处。当然，只有四种这样的运动——旋转0∘,90∘,180∘， 和270∘– 关于垂直于面部并通过其中心的线（见图 7.2）。因此，由定理7.4,|G|=|球体G(1)||刺G(1)|=6⋅4=24.
既然我们知道了一个立方体有多少个旋转，那么确定一个立方体旋转组的实际结构就很简单了。回顾小号4是 4 次对称群。
数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|An Application of Cosets to the Rubik’s Cube
回想一下第 5 章，在 2010 年通过计算机计算证明，需要 35 个 CPU 年才能完成，每个魔方最多可以在 20 步内解决。为了开展这项工作，Morley Davidson John Dethridge、Herbert Kociemba 和 Tomas Rokicki 的研究团队应用了 Rokicki 的程序，该程序建立在 Kociemba 的早期工作的基础上，检查子群陪集的元素H有秩序的(8!⋅8!⋅4!)/2= 19,508,428,800看看是否可以在 20 步内解决与陪集中元素相对应的位置的每个立方体。在 Rokicki 的程序不起作用的极少数情况下，采用了另一种方法。使用对称性考虑，他们能够减少大约 20 亿个陪集H到大约 5600 万个陪衬进行测试。Cosets 在这项工作中发挥了作用，因为 Rokicki 的程序可以处理19.5+十亿个元素在同一个陪集中在大约 20 秒内。
在本章中，我们将展示如何将组拼凑成更大的组。在第 9 章中，我们将展示我们通常可以从一个大群开始，然后将其分解为较小群的乘积，就像可以将复合正整数分解为素数的乘积一样。这些方法稍后将用于为我们提供构造所有有限阿贝尔群的简单方法。
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