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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|COORDINATE TRANSFORMATION TO CURVILINEAR COORDINATES

Until this point, the derivations of finite difference approximations have been limited to a regular Cartesian mesh. As shown in Section 2.5, if the nodes are not placed along the Cartesian grid lines, Taylor series expansions result in nonzero crossderivative containing terms. Hence, derivation of finite difference approximations becomesquite complicated and tedious. Tothe best of thisauthor’sknowledge, body-fitted curvilinear meshes have their early roots in computational fluid dynamics, particularly for aerospace applications involving external flow. This happened at a time when researchers realized that the only accurate way to compute velocity distributions and, subsequently, drag and lift on an airfoil, is to construct a mesh that aligned with the profile of the airfoil. Such ideas were driven by conformal maps (angle preserving coordinate transformations) introduced by the Russian aerodynamicist Zhukovsky (transliterated into Joukowsky in the western scientific literature in the English language) for the analysis of airfoils, in which he transformed a circle into the fish-like shape of an airfoil. Since the early 1980s, the use of body-fitted structured meshes has seen tremendous growth and still continues to find prolific usage in numerical solution of PDEs, although it is slowly giving way to unstructured meshes, especially in the context of the finite volume method.

The basic idea behind a coordinate transformation is to transform the governing differential equation written in Cartesian coordinates to a new coordinate system. This new coordinate system may have axes that are either straight lines or curves. For the general case of curved axes, the new coordinate is known as a curvilinear coordinate system. When these curved axes align exactly with the outer contour of the computational domain (or body), the resulting mesh is called a body-fitted mesh or body-fitted grid. The main difference between the Cartesian coordinate system and a curvilinear coordinate system is that in the Cartesian coordinate system the unit vectors (or basis vectors) are global, while in a curvilinear system, the basis vectors are local (locally tangential to the curve) and are known as covariant basis vectors. Figure $2.11$ shows a Cartesian coordinate system $\left(x_1, x_2, x_3\right)$ and a general curvilinear coordinate system $\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right)$. In the case of the Cartesian coordinate system, the unit vectors $\hat{x}_1, \hat{x}_2$, and $\hat{x}_3$ are global, while in the case of the curvilinear coordinate system, the unit vectors $\hat{\xi}_1, \hat{\xi}_2$, and $\hat{\xi}_3$ are local.

In general, the transformation from $\left(x_1, x_2, x_3\right)$ to $\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right)$ is the so-called forward transformation and may be written as
$$
\begin{aligned}
&x_1=x_1\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right) \
&x_2=x_2\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right) . \
&x_3=x_3\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right)
\end{aligned}
$$
In most cases, the forward transformation can be written in explicit functional form. The opposite transformation, the so-called backward transformation, cannot usually be written in explicit form. It usually appears as an implicit relationship.

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|DIRECT SOLVERS

Direct solution to a set of linear algebraic equations is obtained by the method of substitution in which equations are successively substituted into other equations to reduce the number of unknowns until, finally, one unknown remains. If performed on a computer, the solution obtained by this method has no errors other than round-off errors. Hence, the solution obtained by a direct solver is often referred to as the exact numerical solution. It is termed “numerical” because the governing PDE still has to be discretized and solved numerically. It is termed “exact” because the algebraic equations resulting from discretization of the PDE are solved exactly. Depending on the structure of the coefficient matrix – whether it is full or sparse or banded – the number of substitutions needed may vary. In this subsection, we discuss two algorithms based on the general philosophy of substitution. The first of these methods, known as Gaussian elimination (or Gauss-Jordan elimination), is the most general method to solve a system of linear equations directly without any assumption with regard to the nature of the coefficient matrix, i.e., the method allows for the fact that the coefficient matrix may be full. Later in this section, we discuss a class of direct solvers in which the coefficient matrix is banded.

The process of solving a set of linear algebraic equations by Gaussian elimination involves two main steps: forward elimination and backward substitution. To understand each of theses steps, let us consider a system of $K$ linear algebraic equations of the general form shown in Eq. (2.35), which, in expanded form, may be written as
$$
\begin{array}{ccccc}
A_{1,1} \phi_1 & +A_{1,2} \phi_2 & +\ldots & +A_{1, K} \phi_K & =Q_1 \
A_{2,1} \phi_1 & +A_{2,2} \phi_2 & +\ldots & +A_{2, K} \phi_K & =Q_2 \
\vdots & \vdots & & \vdots & \
A_{i, 1} \phi_1 & +A_{i, 2} \phi_2 & +\ldots & +A_{i, K} \phi_K & =Q_i \
\vdots & \vdots & & \vdots & \
A_{K, 1} \phi_1 & +A_{K, 2} \phi_2 & +\ldots & +A_{K, K} \phi_K & =Q_K
\end{array}
$$
where $A_{i, j}$ are the elements of the coefficient matrix $[A], Q_i$ are the elements of the right-hand side vector $[Q]$, and $\phi_i$ are the unknowns. In the forward elimination step, we start from the first (topmost) equation, and express $\phi_i$ in terms of all the other $\phi$ ‘s. This yields the following equation:
$$
\phi_1=\frac{Q_1}{A_{1,1}}-\frac{A_{1,2}}{A_{1,1}} \phi_2-\frac{A_{1,3}}{A_{1,1}} \phi_3-\ldots-\frac{A_{1, K}}{A_{1,1}} \phi_K .
$$
Next, we substitute Eq. (3.2) into each of the equations in Eq. (3.1) except the first (topmost) one.

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偏微分方程代考

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到目前为止,有限差分近似的推导仅限于常规笛卡尔网格。如第 $2.5$ 节所示,如果节点不沿笛卡尔网格线 放置,泰勒级数展开会导致包含项的非零交叉导数。因此,有限差分近似的推导变得相当复杂和乏味。据 作者所知,贴体曲线网格的早期根源在于计算流体动力学,尤其是涉及外部流动的航空航天应用。这发生 在研究人员意识到计算速度分布以及随后在翼型上的阻力和升力的唯一准确方法是构建与翼型轮廓对齐的 网格时。这种想法是由俄罗斯空气动力学家茹科夫斯基 (在英语中的西方科学文献中音译为 Joukowsky) 引入的用于分析翼型的保形图 (角度保持坐标变换) 驱动的,他在其中将一个圆形变成了鱼状翼型的形 状。自 1980 年代初以来,体贴合结构网格的使用取得了巨大的增长,并且仍然在 PDE 的数值解中继续大 量使用,尽管它正在慢慢让位于非结构网格,特别是在有限体积法的背景下。在其中,他将一个圆瞎变成 了翼型的鱼状形状。自 1980 年代初以来,体贴合结构网格的使用取得了巨大的增长,并且仍然在 PDE 的 数值解中继续大量使用,尽管它正在慢慢让位于非结构网格,特别是在有限体积法的背景下。在其中,他 将一个圆寿变成了翼型的鱼状形状。自 1980 年代初以来,体贴合结构网格的使用取得了巨大的增长,并 且仍然在 PDE 的数值解中继续大量使用,尽管它正在慢蜀让位于非结构网格,特别是在有限体积法的背景 $下_0$
坐标变换背后的基本思想是将用笛卡尔坐标编写的控制微分方程转换为新的坐标系。这个新的坐标系可能 有直线或曲线的轴。对于曲线轴的一般情况,新坐标称为曲线坐标系。当这些交曲轴与计算域 (或物体) 的外轮廓完全对齐时,生成的网格称为贴体网格或贴体网格。笛卡尔坐标系和曲线坐标系之间的主要区别 在于,在笛卡尔坐标系中,单位向量 (或基向量) 是全局的,而在曲线系统中,基向量是局部的(局部与 曲线相切) 和称为协变基向量。数字 $2.11$ 显示笛卡尔坐标系 $\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 和一般曲线坐标系 $\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right)$. 在 笛卡尔坐标系的情况下,单位向量 $\hat{x}_1, \hat{x}_2$ ,和 $\hat{x}_3$ 是全局的,而在曲线坐标系的情况下,单位向量 $\hat{\xi}_1, \hat{\xi}_2$ , 和 $\hat{\xi}_3$ 是本地的。
一般来说,从 $\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 至 $\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right)$ 是所谓的前向变换,可以写成
$$
x_1=x_1\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right) \quad x_2=x_2\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right) . x_3=x_3\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right)
$$
在大多数情况下,前向变换可以写成显式的函数形式。相反的变换,即所谓的反向变换,通常不能写成显 式形式。它通常表现为一种隐含的关系。

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一组线性代数方程组的直接解是通过代入法获得的,在代数法中,将方程依次代入其他方程,以减少末知 数,直到最后剩下一个末知数。如果在计算机上执行,这种方法得到的解除了舍入误差外没有其他误差。 因此,直接求解器得到的解通常被称为精确数值解。它被称为”数值”,因为控制 PDE 仍然必须离散化并以 数值方式求解。它被称为”精确”,因为由 PDE 离散化产生的代数方程得到了精确求解。根据系数矩阵的结 构—一无论是完整的、稀疏的还是带状的一一所需的替换数量可能会有所不同。在本小节中,我们基于替 换的一般哲学讨论两种算法。这些方法中的第一种,称为高斯消元法 (或 Gauss-Jordan 消元法),是直接 求解线性方程组的最通用方法,无需对系数矩阵的性质进行任何假设,即该方法允许系数矩阵可能是满的 事实。在本节后面,我们将讨论一类系数矩阵带状的直接求解器。
用高斯消元法求解一组线性代数方程的过程包括两个主要步骤: 前向消元法和后向代数法。为了理解这些 步骤中的每一个,让我们考虑一个系统 $K$ 式中所示一般形式的线性代数方程。(2.35),其扩展形式可以写成 $A_{1,1} \phi_1+A_{1,2} \phi_2+\ldots+A_{1, K} \phi_K=Q_1 A_{2,1} \phi_1 \quad+A_{2,2} \phi_2 \quad+\ldots \quad+A_{2, K} \phi_K=Q_2 \vdots \quad \vdots \quad \vdots$
在哪里 $A_{i, j}$ 是系数矩阵的元素 $[A], Q_i$ 是右侧向量的元素 $[Q]$ ,和 $\phi_i$ 是末知数。在前向消除步政中,我们从 第一个 (最上面的) 方程开始,并表示 $\phi_i$ 就所有其他 $\phi$ 的。这产生以下等式:
$$
\phi_1=\frac{Q_1}{A_{1,1}}-\frac{A_{1,2}}{A_{1,1}} \phi_2-\frac{A_{1,3}}{A_{1,1}} \phi_3-\ldots-\frac{A_{1, K}}{A_{1,1}} \phi_K .
$$
接下来,我们替换方程式。(3.2) 进入方程中的每个方程。(3.1) 除了第一个 (最上面的) 一个。

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