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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Linear systems with singularities

Now we want to extend the results from the previous section to linear systems
$$
w^{\prime}=A(z) w, \quad w\left(z_0\right)=w_0, \quad z, z_0 \in \Omega \subseteq \mathbb{C},
$$
where $A(z)$ is a matrix whose coefficients are analytic in $\Omega$.

As in the real case one can show that one can always extend solutions. However, extensions along different paths might give different solutions in general, as we have seen in example (4.8). These problems do not arise if $\Omega$ is simply connected.

Theorem 4.5. Suppose $w^{\prime}=A(z) w+b(z)$ is linear, where $A: \Omega \rightarrow \mathbb{C}^{n \times n}$ and $b: \Omega \rightarrow \mathbb{C}^n$ are analytic in a simply connected domain $\Omega \subseteq \mathbb{C}$. Then for every $z_0 \in \Omega$ the corresponding initial value problem has a unique solution defined on all of $\Omega$.

In particular, the power series for every solution will converge in the largest disc centered at $z_0$ and contained in $\Omega$.

Proof. If $\Omega$ is a disc centered at $z_0$ the result follows as in Corollary $2.6$. For general $\Omega$, pick $z \in \Omega$ and let $\gamma:[0,1] \rightarrow \Omega$ be a path from $z_0$ to $z$. Around each point $\gamma(t)$ we have a solution in a ball with radius independent of the initial condition and of $t \in[0,1]$. So we can define the value of $w(z)$ by analytic continuation along the path $\gamma$. Since $\Omega$ is simply connected, this value is uniquely defined by the monodromy theorem.

This result has the important consequence that a solution of a linear equation can have singularities (poles, essential singularities, or branch points) only at the points where the coefficients have isolated singularities. That is, the singularities are fixed and do not depend on the initial condition. On the other hand, nonlinear equations will in general have movable singularities, as the simple example
$$
w^{\prime}=-w^2
$$
whose general solution is
$$
w(z)=\frac{1}{z-z_0},
$$
shows.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Frobenius method

In this section we pursue our investigation of simple singularities. Without loss of generality we will set $z_0=0$. Since we know how a fundamental system looks like from Theorem 4.7, we can make the ansatz
$$
W(z)=U(z) z^M, \quad U(z)=\sum_{j=0}^{\infty} U_j z^j, \quad U_0 \neq 0 .
$$
Using
$$
A(z)=\frac{1}{z} \sum_{j=0}^{\infty} A_j z^j
$$
and plugging everything into our differential equation yields the recurrence relation
$$
U_j(j+M)=\sum_{k=0}^j A_k U_{j-k}
$$
for the coefficients $U_j$. However, since we don’t know $M$, this does not help us much. By (4.77) you could suspect that we just have $M=A_0$ and $U_0=\mathbb{I}$. Indeed, if we assume $\operatorname{det}\left(U_0\right) \neq 0$, we obtain $U_0 M=A_0 U_0$ for $j=0$ and hence $W(z) U_0^{-1}=U(z) U_0^{-1} z^{A_0}$ is of the anticipaled form. Unforimalely, we don’t know that $\operatorname{det}\left(U_0\right) \neq 0$ and, even worse, this is wrong in general (examples will follow).

So let us be less ambitious and look for a single solution first. If $\mu$ is an eigenvalue with corresponding eigenvector $u_0$ of $M$, then
$$
w_0(z)=W(z) u_0=z^\mu U(z) u_0
$$
is a solution of the form
$$
w_0(z)=z^\alpha u_0(z), \quad u_0(z)=\sum_{j=0}^{\infty} u_{0, j} z^j, \quad u_{0,0} \neq 0, \alpha=\mu+m .
$$
Here $m \in \mathbb{N}0$ is chosen such that $u_0(0)=u{0,0} \neq 0$. Inserting this ansatz into our differential equation we obtain
$$
(\alpha+j) u_{0, j}=\sum_{k=0}^j A_k u_{0, j-k}
$$
respectively
$$
\left(A_0-\alpha-j\right) u_{0, j}+\sum_{k=1}^j A_k u_{0, j-k}=0
$$

常微分方程代考

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Linear systems with singularities

现在我们要将上一节的结果扩展到线性系统
$$
w^{\prime}=A(z) w, \quad w\left(z_0\right)=w_0, \quad z, z_0 \in \Omega \subseteq \mathbb{C},
$$
在哪里 $A(z)$ 是一个矩阵，其系数在 $\Omega$.
正如在真实案例中一样，可以证明人们总是可以扩展解决方案。然而，正如我们在示例 (4.8) 中看到的，沿 不同路径的扩展通常可能会给出不同的解决方案。如果这些问题不会出现 $\Omega$ 是简单的连接。
定理 4.5。认为 $w^{\prime}=A(z) w+b(z)$ 是线性的，其中 $A: \Omega \rightarrow \mathbb{C}^{n \times n}$ 和 $b: \Omega \rightarrow \mathbb{C}^n$ 在单连通域中解析 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$. 那么对于每一个 $z_0 \in \Omega$ 对应的初值问题在所有 $\Omega$.
特别是，每个解的幂级数将收敛于以 $z_0$ 并包含在 $\Omega$.
证明。如果 $\Omega$ 是一个以圆为中心的圆盘 $z_0$ 结果如下推论 $2.6$. 对于一般 $\Omega$ ，挑选 $z \in \Omega$ 然后让 $\gamma:[0,1] \rightarrow \Omega$ 成为一条路径 $z_0$ 至 $z$. 围绕每个点 $\gamma(t)$ 我们有一个半径与初始条件无关的球的解 $t \in[0,1]$. 所以我们可以定 义 $w(z)$ 通过沿路径的分析延续 $\gamma$. 自从 $\Omega$ 是简单连接的，这个值是由单调定理唯一定义的。
该结果的重要结果是，线性方程的解只能在系数具有孤立奇异点的点处具有奇异点（极点、本质奇异点或 分支点）。也就是说，奇点是固定的，不依赖于初始条件。另一方面，非线性方程通常具有可移动的奇异 点，例如
$$
w^{\prime}=-w^2
$$
其一般解是
$$
w(z)=\frac{1}{z-z_0},
$$
显示。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The Frobenius method

在本节中，我们将继续研究简单奇点。不失一般性，我们将设置 $z_0=0$. 由于我们从定理 $4.7$ 中知道了一个 基本系统的样子，我们可以使 ansatz
$$
W(z)=U(z) z^M, \quad U(z)=\sum_{j=0}^{\infty} U_j z^j, \quad U_0 \neq 0 .
$$
使用
$$
A(z)=\frac{1}{z} \sum_{j=0}^{\infty} A_j z^j
$$
并将所有内容代入我们的微分方程产生递推关系
$$
U_j(j+M)=\sum_{k=0}^j A_k U_{j-k}
$$
对于系数 $U_j$. 然而，由于我们不知道 $M$ ，这对我们帮助不大。到 (4.77) 你可能会怀疑我们有 $M=A_0$ 和 $U_0=\mathbb{I}$. 确实，如果我们假设 $\operatorname{det}\left(U_0\right) \neq 0$ ，我们获得 $U_0 M=A_0 U_0$ 为了 $j=0$ 因此
$W(z) U_0^{-1}=U(z) U_0^{-1} z^{A_0}$ 是预期的形式。我们不知道det $\left(U_0\right) \neq 0$ 而且，更糟糕的是，这通常是错䢔的 (示例如下)。
所以让我们不要那么雄心勃勃，先寻找一个单一的解决方案。如果 $\mu$ 是具有对应特征向量的特征值 $u_0$ 的 $M$
然后
$$
w_0(z)=W(z) u_0=z^\mu U(z) u_0
$$
是形式的解决方案
$$
w_0(z)=z^\alpha u_0(z), \quad u_0(z)=\sum_{j=0}^{\infty} u_{0, j} z^j, \quad u_{0,0} \neq 0, \alpha=\mu+m .
$$
这里 $m \in \mathbb{N} 0$ 选择使得 $u_0(0)=u 0,0 \neq 0$. 将这个ansatz揷入我们的微分方程，我们得到
$$
(\alpha+j) u_{0, j}=\sum_{k=0}^j A_k u_{0, j-k}
$$
分别
$$
\left(A_0-\alpha-j\right) u_{0, j}+\sum_{k=1}^j A_k u_{0, j-k}=0
$$

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