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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH2410

Suppose $\mathfrak{H}_0$ is a vector space. A map $\langle., .\rangle:. \mathfrak{H}_0 \times \mathfrak{H}_0 \rightarrow \mathbb{C}$ is called skew linear form if it is conjugate linear in the first and linear in the second argument, that is,
$$
\begin{aligned}
&\left\langle\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2, g\right\rangle=\lambda_1^\left\langle f_1, g\right\rangle+\lambda_2^\left\langle f_2, g\right\rangle \
&\left\langle f, \lambda_1 g_1+\lambda_2 g_2\right\rangle=\lambda_1\left\langle f, g_1\right\rangle+\lambda_2\left\langle f, g_2\right\rangle
\end{aligned} \quad \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C} .
$$
A skew linear form satisfying the requirements
(i) $\langle f, f\rangle>0$ for $f \neq 0$
(ii) $\langle f, g\rangle=\langle g, f\rangle^*$
is called inner product or scalar product. Associated with every scalar product is a norm
$$
|f|=\sqrt{\langle f, f\rangle} .
$$
(We will prove later that this is indeed a norm.) The pair $\left(\mathfrak{H}_0,\langle., .\rangle.\right)$ is called inner product space. If $\mathfrak{H}_0$ is complete with respect to the above norm, it is called a Hilbert space. It is usually no restriction to assume that $\mathfrak{H}_0$ is complete since one can easily replace it by its completion $\mathfrak{H}$. However, for our purpose this is not necessary and hence we will not do so here to avoid technical complications later on.

A vector $f \in \mathfrak{H}0$ is called normalized or unit vector if $|f|=1$. Two vectors $f, g \in \mathfrak{H}_0$ are called orthogonal or perpendicular $(f \perp g)$ if $\langle f, g\rangle=0$ and parallel if one is a multiple of the other. If $f$ and $g$ are orthogonal we have the Pythagorean theorem: $$ |f+g|^2=|f|^2+|g|^2, \quad f \perp g, $$ which is one line of computation. Suppose $u$ is a unit vector. Then the projection of $f$ in the direction of $u$ is given by $$ f{|}=\langle u, f\rangle u
$$
and $f_{\perp}$ defined via
$$
f_{\perp}=f-\langle u, f\rangle u
$$
is perpendicular to $u$ since $\left\langle u, f_{\perp}\right\rangle=\langle u, f-\langle u, f\rangle u\rangle=\langle u, f\rangle-\langle u, f\rangle\langle u, u\rangle=$ 0.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Regular Sturm-Liouville problems

Now we want to apply the theory of inner product spaces to the investigation of Sturm-Liouville problems. But first let us look at the corresponding differential equation
$$
-\left(p(x) y^{\prime}\right)^{\prime}+(q(x)-z r(x)) y=0, \quad z \in \mathbb{C}, x \in I=(a, b),
$$
for $y \in C^2(I, \mathbb{C})$, which is equivalent to the first-order system
$$
\begin{aligned}
y^{\prime} &=\frac{1}{p(x)} w \
w^{\prime} &=(q(x)-z r(x)) y
\end{aligned}
$$
where $w(x)=p(x) y^{\prime}(x)$. Hence we see that there is a unique solution if $p^{-1}(x), q(x)$, and $r(x)$ are continuous in $I$. In fact, as noted earlier, it even suffices to assume that $p^{-1}(x), q(x)$, and $r(x)$ are integrable over each compact subinterval of $I$. I remark that essentially all you have to do is to replace differentiable by absolutely continuous (respectively differentiable in the weak sense) in the sequel. However, we will assume that
$$
r, q \in C^0([a, b], \mathbb{R}), p \in C^1([a, b], \mathbb{R}), \quad p(x), r(x)>0, x \in[a, b],
$$
for the rest of this chapter and call the differential equation (5.39) regular in this case.

Denote the principal matrix solution of $(5.40)$ by
$$
\Pi\left(z, x, x_0\right)=\left(\begin{array}{cc}
c\left(z, x, x_0\right) & s\left(z, x, x_0\right) \
p(x) c^{\prime}\left(z, x, x_0\right) & p(x) s^{\prime}\left(z, x, x_0\right)
\end{array}\right), \quad z \in \mathbb{C},
$$
where $c\left(z, x, x_0\right)$ is the solution of $(5.39)$ corresponding to the initial condition $c\left(z, x_0, x_0\right)=1, p\left(x_0\right) c^{\prime}\left(z, x_0, x_0\right)=0$ and similarly for $s\left(z, x, x_0\right)$ but corresponding to the initial condition $s\left(z, x_0, x_0\right)=0, p\left(x_0\right) s^{\prime}\left(z, x_0, x_0\right)=1$.
We know that $\Pi\left(z, x, x_0\right)$ is continuous with respect to $x$ and $x_0$ by Theorem 2.9. But with respect to $z$ a much stronger result is true.

Lemma 5.6. The principal matrix solution $\Pi\left(z, x, x_0\right)$ is analytic with respect to $z \in \mathbb{C}$ for every fixed $\left(x, x_0\right) \in I \times I$.

Proof. It suffices to show that every solution is analytic with respect to $z \in \mathbb{C}$ in a neighborhood of $x_0$ if the initial conditions are constant. In this case each of the iterations (2.14) is analytic (in fact even polynomial) with respect to $z \in \mathbb{C}$. Moreover, for $z$ in a compact set, the Lipschitz constant can be chosen independent of $z$. Hence the series of iterations converges uniformly for $z$ in a compact set, implying that the limit is again analytic by the Weierstraß convergence theorem.

常微分方程代考

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH2410

认为 $\mathfrak{H}0$ 是向量空间。一张地图 $(.,):.: \mathfrak{H}_0 \times \mathfrak{H}_0 \rightarrow \mathbb{C}$ 如果它在第一个参数中是共轭线生并且在第二个参 数中是线性的，则称为斜线性形式，即 $$ \left\langle\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2, g\right\rangle=\lambda_1^{\left\langle f_1, g\right\rangle}+\lambda_2^{\left\langle f_2, g\right\rangle} \quad\left\langle f, \lambda_1 g_1+\lambda_2 g_2\right\rangle=\lambda_1\left\langle f, g_1\right\rangle+\lambda_2\left\langle f, g_2\right\rangle \quad \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C} . $$ 满足要求 (i) 的偏斜线性形式 $\langle f, f\rangle>0$ 为了 $f \neq 0$ $$ \text { (二) }\langle f, g\rangle=\langle g, f\rangle^* $$ 称为内积或标量积。与每一个标量产品相关的是一个规范 $$ |f|=\sqrt{\langle f, f\rangle} . $$ (我们稍后会证明这确实是一个规范。) $\left(\mathfrak{H}_0,\langle.,\rangle.\right)$. 称为内积空间。如果 $\mathfrak{H}_0$ 对于上述范数是完备的，称 为希尔伯特空间。通常没有限制假设 $\mathfrak{H}_0$ 是完整的，因为人们可以很容易地通过它的完成来替换它 $\mathfrak{H}$. 但 是，出于我们的目的，这不是必需的，因此我们不会在这里这样做，以避免以后出现技术上的复杂性。 一个向量 $f \in \mathfrak{H} 0$ 称为归一化或单位向量，如果 $|f|=1$. 两个向量 $f, g \in \mathfrak{H}_0$ 称为正交或垂直 $(f \perp g)$ 如果 $\langle f, g\rangle=0$ 如果一个是另一个的倍数，则并行。如果 $f$ 和 $g$ 是正交的，我们有勾股定理: $$ |f+g|^2=|f|^2+|g|^2, \quad f \perp g, $$ 这是一条计算线。认为 $u$ 是单位向量。然后投影 $f$ 在…方向 $u$ 是 (谁) 给的 $$ f \mid=\langle u, f\rangle u $$ 和 $f{\perp}$ 通过定义
$$
f_{\perp}=f-\langle u, f\rangle u
$$
垂直于 $u$ 自从 $\left\langle u, f_{\perp}\right\rangle=\langle u, f-\langle u, f\rangle u\rangle=\langle u, f\rangle-\langle u, f\rangle\langle u, u\rangle=0$.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Regular Sturm-Liouville problems

现在我们想将内积空间理论应用于研究 Sturm-Liouville 问题。但首先让我们看一下对应的微分方程
$$
-\left(p(x) y^{\prime}\right)^{\prime}+(q(x)-z r(x)) y=0, \quad z \in \mathbb{C}, x \in I=(a, b),
$$
为了y $y \in C^2(I, \mathbb{C})$ ，相当于一阶系统
$$
y^{\prime}=\frac{1}{p(x)} w w^{\prime} \quad=(q(x)-z r(x)) y
$$
在哪里 $w(x)=p(x) y^{\prime}(x)$. 因此我们看到有一个唯一的解决方案，如果 $p^{-1}(x), q(x)$ ，和 $r(x)$ 是连续的 $I$. 事实上，如前所述，甚至可以假设 $p^{-1}(x), q(x)$ ，和 $r(x)$ 在 的每个紧子区间上可积 $I$. 我要说的是，基本 上你所要做的就是在续集中用絶对连续的 (分别在弱意义上的可微分) 替换可微分。但是，我们将假设
$$
r, q \in C^0([a, b], \mathbb{R}), p \in C^1([a, b], \mathbb{R}), \quad p(x), r(x)>0, x \in[a, b],
$$
对于本章的其余部分，在这种情况下称微分方程 (5.39) 为正则。
表示主矩阵解(5.40)经过
$$
\Pi\left(z, x, x_0\right)=\left(c\left(z, x, x_0\right) \quad s\left(z, x, x_0\right) p(x) c^{\prime}\left(z, x, x_0\right) \quad p(x) s^{\prime}\left(z, x, x_0\right)\right), \quad z \in \mathbb{C},
$$
在哪里 $c\left(z, x, x_0\right)$ 是解决方案 $(5.39)$ 对应于初始条件 $c\left(z, x_0, x_0\right)=1, p\left(x_0\right) c^{\prime}\left(z, x_0, x_0\right)=0$ 同样对于 $s\left(z, x, x_0\right)$ 但对应于初始条件 $s\left(z, x_0, x_0\right)=0, p\left(x_0\right) s^{\prime}\left(z, x_0, x_0\right)=1$.
我们知道П $\left(z, x, x_0\right)$ 是连续的 $x$ 和 $x_0$ 由定理 2.9。但相对于 $z$ 一个更强大的结果是真实的。
引理 5.6。主矩阵解П $\left(z, x, x_0\right)$ 是关于分析的 $z \in \mathbb{C}$ 对于每一个固定的 $\left(x, x_0\right) \in I \times I$.
证明。足以证明每个解决方案都是关于 $z \in \mathbb{C}$ 在附近 $x_0$ 如果初始条件不变。在这种情况下，每次迭代
(2.14) 都是解析的 (实际上甚至多项式) 关于 $z \in \mathbb{C}$. 此外，对于 $z$ 在紧集中， Lipschitz 常数可以独立于 $z$. 因此，这一系列迭代一致地收敛于 $z$ 在一个紧集中，这意味着极限再次由 Weierstraß 收敛定理分析。

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