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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Fast Exponentiation

Let $G$ be a group, let $g$ be an element in $G$, and let $n$ be a positive integer. To calculate the power $g^n$, one normally must calculate
$$
g^n=\overbrace{g \cdot g \cdots g \text { times }}^n,
$$
which involves $n-1$ operations. (If fact, when we implement this into a computer algorithm, since we must take into account the operation of incrementing a counter, the above direct calculation takes a minimum of $2 n-1$ computer operations.) If the order $|g|$ and the power $n$ are large, one may not notice any patterns in the powers of $g$ that would give us any shortcuts to determining $g^n$ with fewer than $n-1$ group operations.

The Fast Exponentiation Algorithm allows one to calculate $g^n$ with many fewer group operations than $n$, thus significantly reducing the calculation time.

The reason that $x$ has the value of $g^n$ at the end of the for loop is because when the algorithm terminates,
$$
x=g^{b_k 2^k+b_{k-1} 2^{k-1}+\cdots+b_1 2+b_0},
$$
which is precisely $g^n$. Note that in the binary expansion $n=\left(b_k b_{k-1} \cdots b_1 b_0\right)_2$, there is an assumption that $b_k=1$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Diffie-Hellman Algorithm

In order to describe how Diffie-Hellman works, we will introduce three players: Alice, Bob, and Eve. Alice and Bob want to talk secretly while Eve wants to eavesdrop on their conversation. We assume that Eve can hear ev erything that Alice and Bob say to each other. In the following diagram, that which is boxed stays secret to the individual and that which is not boxed is heard by everyone, including Eve. The Diffie-Hellman public key protocol works as follows (Figure 1.19).
(1) Alice (on the left) and Bob (on the right) settle on a group $G$ and a group element $g$, called the base. Ideally, the order of $g$ should be very large. (If you are doing calculations by hand, the order of $g$ should be in the hundreds. If we are using computers, the order of $g$ is ideally larger than what a typical for loop runs through, say $10^{15}$ or much more.)
(2) Alice chooses a relatively large integer $a$ and sends to Bob the group element $g^a$, calculated with Fast Exponentiation.
(3) Bob chooses a relatively large integer $b$ and sends to Alice the group element $g^b$, calculated with Fast Exponentiation.
(4) Alice calculates $\left(g^b\right)^a=g^{a b}$ using Fast Exponentiation.
(5) Bob calculates $\left(g^a\right)^b-g^{a b}$ using Fast Exponentiation.
(6) Alice and Bob will now use the group element $g^{a b}$ as the key.
The reason why Eve cannot easily figure out $g^{a b}$ is simply a matter of how long it would take her to do so. We should assume that Eve intercepts the group $G$, the base $g$, the element $g^a$, and the element $g^b$. However, Eve does not know the integers $a$ or $b$. In fact, Alice does not know $b$ and Bob does not know $a$. The reason why this is safe is that Fast Exponentiation makes it possible to calculate powers of group elements quickly while, on the other hand, the problem of determining $n$ from knowing $g$ and $g^n$ could take as long as $n$. If the power $n$ is very large, it simply takes far too long. Not knowing $a$ or $b$, Eve cannot quickly determine the key $g^{a b}$ if she only knows $g, g^a$, and $g^b$.

抽象代数代考

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Fast Exponentiation

让 $G$ 成为一个群体，让 $g$ 成为其中的一个元素 $G$ ，然后让 $n$ 为正整数。计算功率 $g^n$ ，通常必须计算
$$
g^n=\overbrace{g \cdot g \cdots g \text { times }}^n,
$$
其中涉及 $n-1$ 操作。（如果事实上，当我们把它实现到计算机算法中时，由于我们必须考虑递增计数器 的操作，所以上面的直接计算最少需要 $2 n-1$ 电脑操作。）如果订单 $|g|$ 和权力 很大，人们可能不会注意 到 $g$ 这会给我们任何捷径来确定 $g^n$ 少于 $n-1$ 组操作。
快速指数算法允许计算 $g^n$ 组操作比 $n$ ，从而显着减少计算时间。
原因是 $x$ 具有价值 $g^n$ 在 for 循环结束时是因为当算法終止时，
$$
x=g^{b_k 2^k+b_{k-1} 2^{k-1}+\cdots+b_1 2+b_0},
$$
这正是 $g^n$. 请注意，在二进制展开 $n=\left(b_k b_{k-1} \cdots b_1 b_0\right)_2$ ，有一个假设 $b_k=1$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Diffie-Hellman Algorithm

为了描述 Diffie-Hellman 的工作原理，我们将介绍三个玩家：Alice、Bob 和 Eve。Alice 和 Bob 想秘密交 谈，而 Eve 想偷听他们的谈话。我们假设 Eve 可以听到 Alice 和 Bob 对彼此说的每一句话。在下图中，装 箱的内容对个人保密，而末装箱的则被所有人听到，包括夏娃。Diffie-Hellman 公钥协议的工作原埋如下 (图 1.19)。
(1) Alice (左边) 和 Bob (右边) 在一组 $G$ 和一个组元嗉 $g$ ，称为基数。理想情况下，顺序为 $g$ 应该很大。 (如果你是手工计算，顺序 $g$ 应该是几百。如果我们使用计算机，则顺序 $g$ 理想情况下，比典型的 for 循环 运行的要大，比如 $10^{15}$ 或更多。)
（2）爱丽丝选择一个相对较大的整数 $a$ 并将组元嗉发送给 Bob $g^a$ ，用快速指数计算。
(3) Bob选择了一个比较大的整数 $b$ 并将组元素发送给 Alice $g^b$ ，用快速指数计算。
(4) Alice 计算 $\left(g^b\right)^a=g^{a b}$ 使用快速指数。
(5) Bob 计算 $\left(g^a\right)^b-g^{a b}$ 使用快速指数。
(6) Alice 和 Bob 现在将使用 group 元素 $g^{a b}$ 作为关键。
夏娃无法轻易弄清楚的原因 $g^{a b}$ 只是她这样做需要多长时间的问题。我们应该假设 Eve 拦截了该组 $G$ ，基础 $g$ ，元素 $g^a$ ，和元素 $g^b$. 然而，貝娃不知道整数 $a$ 或者 $b$. 其实爱丽丝不知道 $b$ 而鲍勃不知道 $a$. 之所以安全，是因 为 Fast Exponentiation 可以快速计算群元素的幂，而另一方面，确定的问题 $n$ 从知道 $g$ 和 $g^n$ 可能需要尽可能 长的时间 $n$. 如果电源 $n$ 非常大，它需要的时间太长了。不知道 $a$ 或者 $b$ ， Eve 无法快速确定关键点 $g^{a b}$ 如果她 只知道 $g, g^a$ ，和 $g^b$.

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