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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|PATH INDEPENDENCE
That entropy is independent of the path is shown by considering two states of a system of an ideal gas, namely, $p_1, V_1, T_1$ and $p_2, V_2, T_2$ with $T_1=T_2=T$. Thus, the two states lie on an isotherm $p V=n R_0 T=$ constant and is shown in Figure 5.1. The environment is also considered to be at the same temperature $\left(T_0=T\right)$. The isothermal path is reversible and is chosen to determine the entropy change $\Delta S=S_2-S_1$. Since the internal energy of an ideal gas depends only on the temperature, we have for the isothermal path $d U=0$ and therefore the first law becomes $\delta Q_{r e v}=p d V$. Thus,
$$
\Delta S=\int \frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}=\int_{V_1}^{V_2} \frac{p}{T} d V=n R_0 \ln \frac{V_2}{V_1}
$$
We have assumed that the system exchanges heat with the environment at temperature $T_0$ and $T_0=T$. If $T_0 \neq T$, then a reversible heat pump is used to effect the reversible heat transfer as shown in Figure 5.2. Denoting $\delta Q_0$ as the reversible heat transfer during an infinitesimal part of the isothermal path from the environment at temperature $T_0$, we have from the second law
$$
\frac{\delta Q_0}{T_0}=\frac{\delta Q}{T}=\frac{p d V}{T}
$$
The entropy change in the environment is therefore
$$
\Delta S_{\mathrm{env}}=-\int \frac{\delta Q_0}{T_0}=-n R_0 \ln \frac{V_2}{V_1}
$$
But
$$
\Delta S_{\mathrm{sys}}+\Delta S_{\mathrm{eny}}=0
$$
in accord with the second law. This gives the entropy change between states 1 and 2 as
$$
\Delta S_{\text {sys }}=n R_0 \ln \frac{V_2}{V_1}
$$
which is the same as Eq. $5.1$ derived earlier.
We choose other paths between states 1 and 2: a reversible adiabatic path from 1 to $1^{\prime}$ and a constant pressure heat addition path from $1^{\prime}$ to 2 (Figure 5.3) or the reversible adiabatic path 1 to $1^{\prime}$ followed by a constant volume heat addition path to give the same state 2 (Figure 5.4).
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|REVERSIBLE WORK
It can be shown from Clausius inequality that the reversible work between two equilibrium states is the same for all reversible paths linking the two states. It also follows that the reversible work is the maximum work.
To prove the above, consider a real path $X$ linking two equilibrium states. The system exchanges heat with the environment at a temperature $T_0$. For the real path $X$ linking states 1 and 2, as shown in Figure 6.1, the first law can be written as
$$
\Delta U=Q_X-W_X
$$
where $Q_X$ and $W_X$ are the heat transfer to and work done by the system for path $X$. Similarly for a reversible path $R$ linking the two states (Figure 6.1), we write
$$
\Delta U=Q_R-W_R
$$
We can form a cycle by going from state 1 to state 2 via a path $X$ and return to state 1 by reversing along a reversible path $R$. For the cycle, we write
$$
\Delta U=0=\left(Q_X-W_X\right)-\left(Q_R-W_R\right)
$$
Thus, $Q_X-Q_R=W_X-W_R$. From Clausius inequality
$$
\sum_{\text {cycle }} \frac{Q}{T} \leq 0, \frac{Q_x}{T_0}-\frac{Q_R}{T_0} \leq 0
$$
or
$$
Q_X-Q_R \leq 0
$$
The equality sign applies if $X$ is also a reversible path. Hence, we obtain the result
$$
Q_R \geq Q_X
$$
that is, the heat transfer for the reversible path is greater than that for a real path. It follows that
$$
W_X-W_R \leq 0
$$
and
$$
W_R \geq W_X
$$
热力学代考
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|PATH INDEPENDENCE
通过考虑理想气体系统的两种状态来显示樀与路径无关，即 $p_1, V_1, T_1$ 和 $p_2, V_2, T_2$ 和 $T_1=T_2=T$. 因 此，这两种状态位于等温线上 $p V=n R_0 T=$ 常数，如图 $5.1$ 所示。环境也被认为处于相同的温度 $\left(T_0=T\right)$. 等温路径是可逆的并且被选择来确定嫡变化 $\Delta S=S_2-S_1$. 由于理想气体的内能仅取决于温 度，因此我们有等温路径 $d U=0$ 因此第一定律变为 $\delta Q_{T e v}=p d V$. 因此，
$$
\Delta S=\int \frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}=\int_{V_1}^{V_2} \frac{p}{T} d V=n R_0 \ln \frac{V_2}{V_1}
$$
我们假设系统在一定温度下与环境进行热交换 $T_0$ 和 $T_0=T$. 如果 $T_0 \neq T$ ，然后使用可逆热䂿来实现可逆 热传递，如图 $5.2$ 所示。表示 $\delta Q_0$ 作为在温度下与环境等温路径的极小部分期间的可逆热传递 $T_0$ ，我们有 从第二定律
$$
\frac{\delta Q_0}{T_0}=\frac{\delta Q}{T}=\frac{p d V}{T}
$$
因此，环境中的樀变是
$$
\Delta S_{\text {env }}=-\int \frac{\delta Q_0}{T_0}=-n R_0 \ln \frac{V_2}{V_1}
$$
但
$$
\Delta S_{\text {sys }}+\Delta S_{\text {eny }}=0
$$
符合第二定律。这给出了状态 1 和 2 之间的樀变化为
$$
\Delta S_{\mathrm{sys}}=n R_0 \ln \frac{V_2}{V_1}
$$
这与等式相同。5.1较早派生。
我们选择状态 1 和 2 之间的其他路径: 从 1 到 2 的可逆绝热路径1’和一个晅压加热路径从1’到 2 (图 5.3) 或可逆绝热路径 1 到1 $1^{\prime}$ 然后是恒定体积的热量添加路径，以提供相同的状态 2 (图 5.4)。
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|REVERSIBLE WORK
从克劳修斯不等式可以看出，对于连接两个平衡状态的所有可逆路径，两个平衡状态之间的可逆功是相同 的。也可以看出可逆功是最大功。
为了证明上述，考虑一条真实的路径 $X$ 连接两个平衡状态。系统在一定温度下与环境进行热交换 $T_0$. 对于 真正的路径 $X$ 连接状态 1 和 2 ，如图 $6.1$ 所示，第一定律可以写为
$$
\Delta U=Q_X-W_X
$$
在哪里 $Q_X$ 和 $W_X$ 是系统对路径的热传递和所做的功 $X$. 同样对于可逆路径 $R$ 连接这两种状态（图 6.1)，我 们写
$$
\Delta U=Q_R-W_R
$$
我们可以通过一条路径从状态 1 到状态 2 形成一个循环 $X$ 并通过沿可逆路径倒车返回状态 $1 R$. 对于循环， 我们写
$$
\Delta U=0=\left(Q_X-W_X\right)-\left(Q_R-W_R\right)
$$
因此， $Q_X-Q_R=W_X-W_R$ 从克劳修斯不等式
$$
\sum_{\text {cycle }} \frac{Q}{T} \leq 0, \frac{Q_x}{T_0}-\frac{Q_R}{T_0} \leq 0
$$
或者
$$
Q_X-Q_R \leq 0
$$
等号适用于 $X$ 也是条可逆的路径。因此，我们得到结果
$$
Q_R \geq Q_X
$$
也就是说，可逆路径的传热大于实际路径的传热。它遵循
$$
W_X-W_R \leq 0
$$
和
$$
W_R \geq W_X
$$
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