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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Field Energy in a Dielectric with Constant K

Assume that we have a dielectric liquid in which charges can move. If a true charge $Q$ is present in the liquid at $\mathbf{x}Q$, $$ \nabla \cdot \mathbf{D}(\mathbf{x})=4 \pi \rho{\text {true }}(\mathbf{x})=4 \pi Q \delta\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}Q\right) $$ If the dielectric is homogeneous, that is, if the dielectric constant is not a function of the position, $$ \mathbf{D}(\mathbf{x})=K \mathbf{E}(\mathbf{x}) $$ and $$ \mathbf{E}(\mathbf{x})=-\nabla_x \frac{Q}{K\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}{Q \mid}\right|}
$$

The field $\mathbf{E}$ is due to all charges, including true charges and polarization charges.

If we consider a test charge $q$ at $\mathbf{x}$, the field $\mathbf{E}(\mathbf{x})$ is equal to the force acting on the test charge, divided by the value of the charge. The force has the magnitude
$$
|F(\mathbf{x})|=q|\mathbf{E}(\mathbf{x})|=\frac{q Q}{K\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}Q\right|^2} $$ The dielectric has the effect of reducing the force by $K$. Therefore, for a number of charges, the electrostatic energy is given by $$ U=\frac{1}{2} \sum{\substack{s, t \ s \neq t}} \frac{q_s q_t}{K\left|\mathbf{x}_s-\mathbf{x}_t\right|}
$$
Consider now a density of true charges $\rho(\mathbf{x})$ embedded in a medium of dielectric constant $K$. We have in this case the following relations:
$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D}(\mathbf{x}) &=4 \pi \rho(\mathbf{x}) \
\rho(\mathbf{x}) &=\frac{1}{4 \pi} \nabla \cdot \mathbf{D}(\mathbf{x}) \
\phi(\mathbf{x}) &=\int \frac{\rho\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)}{K\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|} d \tau^{\prime}
\end{aligned}
$$
and
$$
\begin{aligned}
U &=\frac{1}{2} \iint d \tau d \tau^{\prime} \frac{\rho(\mathbf{x}) \rho\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)}{K\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|} \
&=\frac{1}{2} \int d \tau\left(\frac{1}{4 \pi} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{D}\right) \phi(\mathbf{x})=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau(\nabla \cdot \mathbf{D}) \phi(\mathbf{x}) \
&=-\frac{1}{8 \pi} \int d \tau \mathbf{D} \cdot \nabla \phi=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau \mathbf{E} \cdot \mathbf{D}
\end{aligned}
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Field Energy in a Dielectric for Which

We shall assume the presence of a continuous charge distribution $\rho(\mathbf{x})$. We shall set
$\delta \mathbf{s}(\mathbf{x})=$ displacement of the charge element located at $\mathbf{x} \quad(2.16 .1)$
The force acting on the true charge in $d \tau$ is given by
$$
\rho(\mathbf{x}) d \tau \mathbf{E}(\mathbf{x})
$$
The amount of work done by the forces on the charges due to the displacements $\delta s$ is given by
$$
\delta W=\int d \tau \rho(\mathbf{x})[\mathbf{E}(\mathbf{x}) \cdot \delta \mathbf{s}(\mathbf{x})]
$$
The change in field energy is given by
$$
\delta U=-\int d \tau \rho(\mathbf{x})[\mathbf{E}(\mathbf{x}) \cdot \delta \mathbf{s}(\mathbf{x})]
$$
We do not change the charges, we just displace them; we have then to take into account the continuity equation
$$
\frac{\partial \rho(\mathbf{x}, t)}{\partial t}+\nabla \cdot[\rho(\mathbf{x}, t) \mathbf{v}(\mathbf{x})]=0
$$
where we have explicitly shown the dependence of $\rho$ on $t$, and $\mathbf{v}(\mathbf{x})$ is the velocity of the charge element located at $\mathrm{x}$ :
$$
\mathbf{v}(\mathbf{x}) \delta t=\delta \mathbf{s}(\mathbf{x})
$$
We can then write
$$
\delta \rho=\delta t \frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla \cdot(\rho \mathbf{v} \delta t)=-\nabla \cdot \rho \delta \mathbf{s}
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYS3040

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Field Energy in a Dielectric with Constant K

假设我们有一种电介质液体,电荷可以在其中移动。如果一个真正的收费 $Q$ 存在于液体中 $\mathbf{x} Q$ ,
$$
\nabla \cdot \mathbf{D}(\mathbf{x})=4 \pi \rho \operatorname{true}(\mathbf{x})=4 \pi Q \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x} Q)
$$
如果介电质是均匀的,也就是说,如果介电常数不是位置的函数,
$$
\mathbf{D}(\mathbf{x})=K \mathbf{E}(\mathbf{x})
$$

$$
\mathbf{E}(\mathbf{x})=-\nabla_x \frac{Q}{K|\mathbf{x}-\mathbf{x} Q| \mid}
$$
场 $\mathbf{E}$ 是由于所有电荷,包括真电荷和极化电荷。
如果我们考虑测试费用 $q$ 在 $\mathbf{x}$ ,场 $\mathbf{E}(\mathbf{x})$ 等于作用在试验电荷上的力除以电荷值。力有大小
$$
|F(\mathbf{x})|=q|\mathbf{E}(\mathbf{x})|=\frac{q Q}{K|\mathbf{x}-\mathbf{x} Q|^2}
$$
电介质具有通过以下方式减小力的作用 $K$. 因此,对于许多电荷,静电能由下式给出
$$
U=\frac{1}{2} \sum s, t s \neq t \frac{q_s q_t}{K\left|\mathbf{x}_s-\mathbf{x}_t\right|}
$$
现在考虑真实电荷的密度 $\rho(\mathbf{x})$ 嵌入介电常数介质中 $K$. 在这种情况下,我们有以下关系:
$$
\nabla \cdot \mathbf{D}(\mathbf{x})=4 \pi \rho(\mathbf{x}) \rho(\mathbf{x}) \quad=\frac{1}{4 \pi} \nabla \cdot \mathbf{D}(\mathbf{x}) \phi(\mathbf{x})=\int \frac{\rho\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)}{K\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|} d \tau^{\prime}
$$

$$
U=\frac{1}{2} \iint d \tau d \tau^{\prime} \frac{\rho(\mathbf{x}) \rho\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)}{K\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|}=\frac{1}{2} \int d \tau\left(\frac{1}{4 \pi} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{D}\right) \phi(\mathbf{x})=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau(\nabla \cdot \mathbf{D}) \phi(\mathbf{x})=-\frac{1}{8 \pi} \int d \tau \mathbf{D}
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Field Energy in a Dielectric for Which

我们将假设存在连续的电荷分布 $\rho(\mathbf{x})$. 我们将设置 $\delta \mathbf{s}(\mathbf{x})$ =电荷元件的位移位于 $\mathbf{x} \quad(2.16 .1)$ 作用在真实电荷上的力 $d \tau$ 是 (谁) 给的
$$
\rho(\mathbf{x}) d \tau \mathbf{E}(\mathbf{x})
$$
由于位移而对电荷施加的力所做的功 $\delta s$ 是 (谁) 给的
$$
\delta W=\int d \tau \rho(\mathbf{x})[\mathbf{E}(\mathbf{x}) \cdot \delta \mathbf{s}(\mathbf{x})]
$$
场能量的变化由下式给出
$$
\delta U=-\int d \tau \rho(\mathbf{x})[\mathbf{E}(\mathbf{x}) \cdot \delta \mathbf{s}(\mathbf{x})]
$$
我们不改变收艴,我们只是取代它们; 然后我们必须考虑连续性方程
$$
\frac{\partial \rho(\mathbf{x}, t)}{\partial t}+\nabla \cdot[\rho(\mathbf{x}, t) \mathbf{v}(\mathbf{x})]=0
$$
我们已经明确展示了 $\rho$ 上 $t$ ,和 $\mathbf{v}(\mathbf{x})$ 是位于的电荷元表的速度 $\mathbf{x}$ :
$$
\mathbf{v}(\mathbf{x}) \delta t=\delta \mathbf{s}(\mathbf{x})
$$
然后我们可以写
$$
\delta \rho=\delta t \frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla \cdot(\rho \mathbf{v} \delta t)=-\nabla \cdot \rho \delta \mathbf{s}
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考

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