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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Forces on a Dielectric
We wish to calculate the force acting on a piece of dielectric due to the presence of an electric field. The variation in the electrostatic energy when the unit volume of dielectric undergoes the displacement $\delta \mathrm{s}$ is given
$$
\delta U=-\int d \tau \delta \mathbf{s} \cdot \mathbf{f}
$$
where $\mathbf{f}=$ force per unit volume acting on the dielectric. We shall assume that the true charges present in the dielectric do not move, so that only the dielectric will possibly be displaced.
The electrostatic energy is given by
$$
U=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau \frac{D^2}{K}
$$
We shall call
$$
\begin{aligned}
&\mathbf{D}^{\prime}(\mathbf{x})=\mathbf{D}(\mathbf{x})+\delta \mathbf{D}(\mathbf{x}) \
&K^{\prime}(\mathbf{x})=K(\mathbf{x})+\delta K(\mathbf{x})
\end{aligned}
$$
and
$$
U^{\prime}=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau \frac{D^{\prime 2}}{K^{\prime}}
$$
But
$$
\begin{aligned}
\frac{\left(\mathbf{D}^{\prime}\right)^2}{K^{\prime}} &=\frac{(\mathbf{D}+\delta \mathbf{D})^2}{K+\delta K} \
&=\frac{D^2}{K}-\frac{D^2}{K^2} \delta K+2 \frac{\mathbf{D}}{K} \cdot \delta \mathbf{D}+\text { quadratic terms }
\end{aligned}
$$
Then
$$
U^{\prime}=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau\left(\frac{D^2}{K}-\delta K \frac{D^2}{K^2}+\frac{2}{K} \delta \mathbf{D} \cdot \mathbf{D}\right)
$$
and
$$
\delta U=U^{\prime}-U=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau\left(-\delta K \frac{D^2}{K^2}+\frac{2}{K} \delta \mathbf{D} \cdot \mathbf{D}\right)
$$
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Capacitance
A capacitor in its simplest form consists of two flat conducting plates of area, say, $A$, separated by a distance $d$ (see Fig. 2.23). If the potentials on the plates $a$ and $b$ are $V_a$ and $V_b$, respectively, with $V_a>V_b$, then the electric field is directed from plates $a$ to $b$, perpendicularly to the plates; it is constant inside the capacitor, if we neglect the edge effects, and its value is
$$
E=\frac{V_a-V_b}{d}
$$
The surface charge density on the plate $a$ is
$$
\sigma=\frac{E}{4 \pi}=\frac{V_a-V_b}{4 \pi d}
$$
and the total charge on the same plate is
$$
Q=\sigma A=A \frac{V_a-V_b}{4 \pi d}
$$
The total charge on the plate $b$ is $-Q$.
The ratio of the charge $Q$ to the potential difference is called the capacitance of the capacitor and is designated $C$.
$$
C=\frac{Q}{V_a-V_b}=\frac{A}{4 \pi d}
$$
In the ESU system of units, the capacitance is measured in centimeters. A capacitor with plate area $A=200 \mathrm{~cm}^2$ and separation $d=1 \mathrm{~cm}$ has a capacitance $C=15.9 \mathrm{~cm}$.
A capacitor may take other more complex geometrical forms, such as the one consisting of two conducting spherical shells of radii $a$ and $b$ (see) Fig. 2.24). If a charge $Q$ is distributed over the surface of the internal shell, the charge $-Q$ is distributed over the inside surface of the outer shell. The surface charge density on the internal shell is
$$
\sigma=\frac{Q}{4 \pi a^2}
$$
The electric field at the surface of the internal shell is
$$
E=4 \pi \sigma=\frac{Q}{a^2}
$$
电磁学代考
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Forces on a Dielectric
我们希望计算由于电场的存在而作用在一块电介质上的力。单位体积电介质发生位移时静电能的变化 $\delta \mathrm{s}$ 给 出
$$
\delta U=-\int d \tau \delta \mathbf{s} \cdot \mathbf{f}
$$
在哪里 $\mathrm{f}=$ 单位体积作用在电介质上的力。我们将假设存在于电介质中的真实电荷不会移动，因此只有电
介质可能会被移动。
静电能量由下式给出
$$
U=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau \frac{D^2}{K}
$$
我们将调用
$$
\mathbf{D}^{\prime}(\mathbf{x})=\mathbf{D}(\mathbf{x})+\delta \mathbf{D}(\mathbf{x}) \quad K^{\prime}(\mathbf{x})=K(\mathbf{x})+\delta K(\mathbf{x})
$$
和
$$
U^{\prime}=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau \frac{D^{\prime 2}}{K^{\prime}}
$$
但
$$
\frac{\left(\mathbf{D}^{\prime}\right)^2}{K^{\prime}}=\frac{(\mathbf{D}+\delta \mathbf{D})^2}{K+\delta K} \quad=\frac{D^2}{K}-\frac{D^2}{K^2} \delta K+2 \frac{\mathbf{D}}{K} \cdot \delta \mathbf{D}+\text { quadratic terms }
$$
然后
$$
U^{\prime}=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau\left(\frac{D^2}{K}-\delta K \frac{D^2}{K^2}+\frac{2}{K} \delta \mathbf{D} \cdot \mathbf{D}\right)
$$
和
$$
\delta U=U^{\prime}-U=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau\left(-\delta K \frac{D^2}{K^2}+\frac{2}{K} \delta \mathbf{D} \cdot \mathbf{D}\right)
$$
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Capacitance
最简单形式的电容器由两个平面导电板组成，例如， $A$, 相隔一段距离 $d$ (见图 2.23) 。如果板上的电位 $a$ 和 $b$ 是 $V_a$ 和 $V_b$ ，分别与 $V_a>V_b$ ，则电场从板引导 $a$ 至 $b$ ，垂直于板；如果忽略边缘效应，它在电容器内部是 恒定的，其值为
$$
E=\frac{V_a-V_b}{d}
$$
板上的表面电荷密度 $a$ 是
$$
\sigma=\frac{E}{4 \pi}=\frac{V_a-V_b}{4 \pi d}
$$
并且同一板上的总电荷是
$$
Q=\sigma A=A \frac{V_a-V_b}{4 \pi d}
$$
盘子上的总电荷 $b$ 是 $-Q$.
收费比例 $Q$ 到电位差称为电容器的电容，并指定 $C$.
$$
C=\frac{Q}{V_a-V_b}=\frac{A}{4 \pi d}
$$
在 ESU 单位制中，电容以厘米为单位。具有极板面积的电容器 $A=200 \mathrm{~cm}^2$ 和分禽 $d=1 \mathrm{~cm}$ 有电容 $C=15.9 \mathrm{~cm}$
电容器可以采用其他更复杂的几何形式，例如由两个具有半径的导电球壳组成的 $a$ 和 $b$ (参见) 图 2.24) 。 如果收艴 $Q$ 分布在内壳的表面上，电荷 $-Q$ 分布在外壳的内表面上。内壳表面电荷密度为
$$
\sigma=\frac{Q}{4 \pi a^2}
$$
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