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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|The Force Law

We define a vector field $\mathbf{B}(\mathrm{x})$ called magnetic induction as the field that describes the force acting on a charge $q$ that moves with velocity $\mathbf{v}$ :
$$
\mathbf{F}=\text { const } q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})
$$
where the value of the eonetant will be introduced later. We can identify the field $\mathbf{B}$ by means of this force, called the Lorentz force.

To generalize these concepts, we introduce the notion of current density. If we have different charges with different velocities, the current density is given by
$$
\mathbf{j}(\mathbf{x})=\lim {\Delta \tau \rightarrow 0} \frac{\left(\sum_i q i \mathbf{v}_i\right) \text { in } \Delta \tau}{\Delta \tau} $$ In the special case in which all the particles in $\Delta \tau$ have the same velocities $$ \mathbf{j}(\mathbf{x})=\mathbf{v} \lim {\Delta \tau \rightarrow 0} \frac{\left(\sum_i q i\right) \text { in } \Delta \tau}{\Delta \tau}=\mathbf{v} \rho(\mathbf{x})
$$
where $\rho(\mathbf{x})=$ charge density.
Let us consider now a line element $d l$ long with a cross section $d S$, and let us assume that the charges contained in this element all move the same way (see Fig. 3.1). We can write
$$
\mathbf{j}(\mathbf{x}) d \tau=\mathbf{j}(\mathbf{x}) d l d S
$$
and define a vectorial line element as follows:
$$
d \mathbf{l}=d l \mathbf{n}
$$
Then
$$
\mathbf{j}(\mathbf{x}) d \tau=|\mathbf{j}| d S d \mathbf{l}=I d \mathbf{l}
$$
where $I=$ total current $=$ amount of charges that cross the plane perpendicular to $\mathrm{dl}$ in the unit time.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|The Electromagnetic System of Units

In this system of units the unit of current is defined in terms of the unit of force:
$$
\mathbf{F}{12}=\text { const }^{\prime \prime} I_1 I_2\left[\oint \oint\left(d \mathbf{l}_1 \cdot d \mathbf{l}_2\right) \nabla \frac{1}{r{12}}\right]
$$
We derive the current units from Eq. (3.3.1) in which we set const ${ }^{\prime \prime}=1$ :
$$
[F]=\left[I^2\right]
$$
This definition is analogous to that of the unit of charge in the electrostatic system, which is the charge that exercises a force of 1 dyne on a similar charge at a distance of $1 \mathrm{~cm}$. In the present case,
$$
[I]=\text { abampere }=\sqrt{\text { dyne }}
$$
or
$$
\left[I^2\right]{\mathrm{EMU}}=M L T^{-2} $$ Then $$ \left[q^2\right]{\mathrm{EMU}}=\left[I^2\right] T^2=M L
$$
On the other hand,
$$
\left[q^2\right]{\mathrm{ESU}}=\text { dyne } \mathrm{cm}^2=M L^3 T^{-2} $$ Then $$ \frac{\left[q^2\right]{\text {ESU }}}{\left[q^2\right]{\mathrm{EMU}}}=\frac{M L^3 T^{-2}}{M L}=L^2 T^{-2} $$ and $$ \frac{[q]{\text {ESU }}}{[q]_{\text {EMU }}}=L T^{-1}=\text { dimension of a velocity }
$$
Therefore, the electromagnetic unit of charge is a constant $c$ times larger than the electrostatic unit of charge. This constant has the dimensions of a velocity; it has been determined experimentally and found to be
$$
c=3 \times 10^{10} \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
$$
which is the speed of light.
We find
1 abampere $=10$ ampere
1 abcoulomb $=10$ coulomb
1 abvolt $=10^{-8}$ volt
If we have two loops such that the geometrical factor is equal to 1 , and if a current of $10 \mathrm{~A}$ passes through each of them, they will attract or repel each other with the force of 1 dyne.

电磁学代考

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|The Force Law

我们定义一个向量场 $\mathrm{B}(\mathrm{x})$ 称为磁感应作为描述作用在电荷上的力的场 $q$ 以速度运动的 $\mathbf{v}$ :
$$
\mathbf{F}=\text { const } q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})
$$
其中等分的值将在后面介绍。我们可以识别字段 $\mathbf{B}$ 通过这种力，称为洛伦兹力。
为了概括这些概念，我们引入了电流密度的概念。如果我们有不同速度的不同电荷，电流密度由下式给出
$$
\mathbf{j}(\mathbf{x})=\lim \Delta \tau \rightarrow 0 \frac{\left(\sum_i q i \mathbf{v}_i\right) \text { in } \Delta \tau}{\Delta \tau}
$$
在所有粒子在的特殊情况下 $\Delta \tau$ 具有相同的速度
$$
\mathbf{j}(\mathbf{x})=\mathbf{v} \lim \Delta \tau \rightarrow 0 \frac{\left(\sum_i q i\right) \text { in } \Delta \tau}{\Delta \tau}=\mathbf{v} \rho(\mathbf{x})
$$
在哪里 $\rho(\mathbf{x})=$ 电荷密度。
现在让我们考虑一个线元䋏 $d l$ 长有横截面 $d S$ ，让我们假设包含在这个元素中的电荷都以相同的方式移动 (见图 3.1)。我们可以写
$$
\mathbf{j}(\mathbf{x}) d \tau=\mathbf{j}(\mathbf{x}) d l d S
$$
并定义一个矢量线元溸如下:
$$
d \mathbf{l}=d l \mathbf{n}
$$
然后
$$
\mathbf{j}(\mathbf{x}) d \tau=|\mathbf{j}| d S d \mathbf{l}=I d \mathbf{l}
$$
在哪里 $I=$ 总电流=穿过垂直于平面的电荷量dl在单位时间内。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|The Electromagnetic System of Units

在这个单位制中，电流的单位是根据力的单位来定义的:
$$
\mathbf{F} 12=\text { const }^{\prime \prime} I_1 I_2\left[\oint \oint\left(d \mathbf{l}_1 \cdot d \mathbf{l}_2\right) \nabla \frac{1}{r 12}\right]
$$
我们从等式推导出当前单位。(3.3.1) 其中我们设置了 const ${ }^{\prime \prime}=1$ :
$$
[F]=\left[I^2\right]
$$
该定义类似于静电系统中电荷单位的定义，即在距离为 1 时对类似电荷施加 1 达因力的电荷 $1 \mathrm{~cm}$. 在本案 中，
$$
[I]=\text { abampere }=\sqrt{\text { dyne }}
$$
或者
$$
\left[I^2\right] \mathrm{EMU}=M L T^{-2}
$$
然后
$$
\left[q^2\right] \mathrm{EMU}=\left[I^2\right] T^2=M L
$$
另一方面，
$$
\left[q^2\right] \mathrm{ESU}=\text { dyne } \mathrm{cm}^2=M L^3 T^{-2}
$$
然后
$$
\frac{\left[q^2\right] \mathrm{ESU}}{\left[q^2\right] \mathrm{EMU}}=\frac{M L^3 T^{-2}}{M L}=L^2 T^{-2}
$$

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